专题强化训练一 等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

1、专题强化训练一：等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题一、单选题1已知等差数列的前n项和为，且，则等于（）A225B250C270D3002已知等差数列中，为其前项和，则等于（）A13B14C15D163已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12018，则S2020等于（）A4040B2020C2020D40404已知数列中，若，则（）A8B9C10D115已知等差数列an满足a3+a412，3a2a5，则a5（）A3B6C9D116已知数列的前项和为，满足，则下列结论正确的是（）ABC数列是等比数列D7我国古代的天文学和数学著作周碑算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（gu）长损益

2、相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至小暑大暑立秋处暑白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至处暑霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（）尺.A1B1.25C1.5D28南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等

3、差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第15项为（）A94B108C123D1399已知等差数列满足，若，则k的最大值是（）A8B9C10D1110等差数列，满足，则（ ）A的最大值为50B的最小值为50C的最大值为51D的最小值为51二、多选题11已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（）A公差d的取值范围是BCD的最小值为112设等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（）ABC数列单调递减D对任意，有13记表示与实数x最接近的整数，数列通项公式为（），其前项和为，设，则下列结论正确的是（）ABCD1

4、4已知数列，为的前项和，其中，则下列结论正确的是（）A是等差数列B是等差数列CD15如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）ABCD16已知数列满足，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）ABC数列为单调递增的等差数列D满足不等式的正整数n的最小值为63三、填空题17记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则下列结论正确的有_(填序号)a2a30；an2n5；Snn(n4)；d2.18已知数列满足，且，则数列的通项公式为_19等差数列满足，则的取值范围是_20已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且若对任意恒成立，

5、则_21数列满足：，若，则的最大值为_.22若数列满足:对任意的，只有有限个正整数k使得成立，记这样的k的个数为，则得到一个新数列，例如，若数列，则数列是0、1、2、，若，则_四、解答题23已知等差数列 满足：的前n项和为 (1)求及 ；(2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围24已知等差数列的前项和为，记数列的前项和为.(1)求数列的通项公式及;(2)是否存在实数，使得恒成立?若存在，求出实数的取值范围;若不存在，请说明理由.25为数列的前项和已知(1)求的通项公式：(2)设，求数列的前项和26设是等差数列的前项和，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和的最

6、大值27若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为（）判断的大小关系并证明；（）求证：数列是等差数列28已知数列中，数列满足：(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求的值；(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由29在数列an中，对任意的，都有成立(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn；并求满足时n的最大值30已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.(1)

7、判断数列，是否具有性质，并说明理由；(2)设数列具有性质，求证：；(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.参考答案：1C【分析】根据条件求得的值，再由等差数列前项和公式，即可求得.【详解】等差数列an的前n项和为Sn，因为，且所以，解得，故选:C.2C【分析】设等差数列的公差为，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，即，解得，所以，故选：C3C【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】Sn是等差数列an的前n项和，数列是等差数列a12018，数列的公差d，首项为2018，2018+201

8、911，S20202020故选：C4C【分析】根据给定条件，构造新数列，求出通项公式即可计算作答.【详解】依题意，而，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，由，得，所以.故选：C5C【分析】根据等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】等差数列an满足a3+a412，3a2a5，a2+a5a3+a412，3a2a5，联立消去a2可得a59故选：C6D【分析】根据的关系以及已知条件，可以得出，即是一个等差数列.然后求出通项公式，逐个检验选项即可.【详解】由已知得，两式作差得，即，两边同时乘以可得，即是一个等差数列.又，时，有，又，所以.所以，数列首项为，公差为1的等差数列，则，所以，.则

9、，显然A不正确；，B不正确；由前面已得，数列是等差数列，C项不正确；单调递增，则又所以，所以，.故选：D.7C【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式求解，即可【详解】由题意知：十二个节气的日影子长依次成等差数列，设为，公差为，则即，解得，所以夏至的日影子长为尺，故选：C8B【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求出数列的通项公式，再求出该数列的第15项【详解】设该数列为，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则数列满足，所以，所以故选：B9B【分析】设等差数列公差为，由题意可得，从而建立关于的不等式，求解不等式即可得答案.【详解】解：设等差数列公差为，由，且

10、，得，即，当时，当时，由，得，所以，所以，即，解得，所以k的最大值是9.故选：B.10A【分析】首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.【详解】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.11AB【分析】由,且，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式

11、可判断D.【详解】由题意得,而，解得，故A正确；由，故B正确；由，可知，故C错误；由，所以有，当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.故选：AB12BC【分析】由可得，而，从而可判断ABCD.【详解】，B正确；而，故无法判断的正负，A错误；，数列单调递减，C正确；当时，有最大值，即，D错误.故选：BC13BCD【分析】A特殊值判断即可；B、C由题设可得即可判断正误；D通过归纳总结得到数列中有2个1，4个，6个，8个，根据中各对应值的项数，进而求和.【详解】由题意，记表示与实数最接近的整数且，当时，可得，则， A不正确；由，即，可得，故成立， B正确；由B分析知：，平方得：，因为且不是

12、整数，其中是右侧的最接近的整数，所以成立， C正确；当时，此时；当时，此时；当时，此时；当时，此时；归纳得：数列中有2个1，4个，6个，8个，又2，4，6，8，构成首项为2，公差为2的等差数列，其前项和，而，所以， D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：D选项，首先通过列举归纳总结出对应值出现的次数，再由等差数列前n项和公式确定项的分布情况，进而求出.14ABD【分析】由题可得，进而可得的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，可判断AB，然后通过求和公式计算可判断CD.【详解】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，+得：，即，所以的奇数项是首项为，公差为2的等

13、差数列，同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，故A，B正确；所以，故C错误；又，故D正确.故选：ABD.15ABD【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，即可求解判断D选项.【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则

14、，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；，故B正确；所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.16ABD【分析】由和递推公式，A选项正确，B选项正确；为单调递增的等差数列C选项不正确；D选项正确【详解】因为，所以，所以，则，解得，所以，所以A选项正确，B选项正确；因为，所以，所以，又，所以，所以为单调递增的等差数列，则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；，则，解得，又，所以正整数n的最小值为

15、63，所以D选项正确故选：ABD【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法.17【分析】利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算即可.【详解】S40，a1a4a2a30，正确；a5a14d5， (*)a1a4a1a13d0， (*)联立(*)(*)解得，an3(n1)22n5，正确，错误；Sn3n2n24n，正确故答案为：18【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解.【详解】由两边取倒数可得，即所以数列是首项为2，公差为3等差数列.所以，所以故答案为：.19【分析】由题设可得，令则，可得，将问题转化为在上有解，利用二

16、次函数性质求t范围即可.【详解】由题设，即，当时，为常数列，显然有矛盾，故，令，则，所以，令，则在上有解，又开口向上且对称轴为，当，即时，满足要求；当时，又，满足要求；综上，.故答案为：2066【分析】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，然后可解.【详解】因为，且数列为严格递增数列，所以或，若，则（矛盾），故由可得：， 因为，且数列为严格递增数列，所以，所以，所以故答案为：6621675【分析】由得，在取等号成立的情况下，的每一项均有最大值，此时，数列为等差数列，进而利用等差数列求解即可【详解】由得，在取等号成立的情况下，的每一

17、项均有最大值，此时，有，即在等号成立的条件下，数列为等差数列，由和可得，此时，故答案为：675【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用得，在取等号成立的情况下，的每一项均有最大值，进而得到数列为等差数列，最后求解22【分析】根据题意寻找规律，从而求出当时，再求出.【详解】由，得：，当时，当时，所以，故答案为：【点睛】对于定义新数列题目，要能正确理解题干中的信息，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，寻找规律进行求解.23(1) ；(2).【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可列出方程组，即可求得d，进而求得答案；（2）利用裂项求和法求得数列的前n项和，说明，结合数列不等式恒成立可求得参数的范围.（

18、1）设等差数列的公差为d，由题设可得： ，解得：， ， ；（2）由（1）可得：，又恒成立，即实数m的取值范围为，+）24(1)，；(2)存在，.【分析】（1）根据已知条件及等差数列的性质求基本量，即可写出的通项公式及；（2）由（1）得，应用裂项相消法求得，再由不等式恒成立，讨论的奇偶性求的范围，最后取交集.【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，首项为，由，解得，由，又，则，所以，（2）由（1）知：，所以，所以，易知为递增数列，当时，取得最小值为，又，所以，所以当为奇数时，恒成立，即，解得，当为偶数时，恒成立，即，解得，综上，实数的取值范围为25(1)=(2)【分析】（1）先用数列第项与前项和

19、的关系求出数列的递推公式，再由等差数列的定义写出数列的通项公式；（2）根据（1）数列的通项公式，再由裂项相消求和法求其前项和（1）当时，因为，所以=3，当时，=即，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（2）由（1）知，=，所以数列前项和为26(1)；(2).【分析】（1）求出等差数列的基本量后可求其通项；（2）根据通项的符号可求的最大值【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，故.（2）因为当时，当时，当时，故当或时有最大值且最大值为.27(1)的各项为：4，16，28，40；的各项和为：(2)（）,证明见解析；（）证明见解析；【分析】（1）根据题意，利用枚举法，即可

20、求解；（2）（）根据题意，均为等差数列，通过等量代换找到的关系即可；（）均为等差数列，由（）得，设，进而利用等量代换关系，得到，进而可以递推，得到，即可证明数列是等差数列【详解】（1），前15项分别为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；前15项分别为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60；的各项为：4，16，28，40；的各项和为：；（2）（）由已知得，均为等差数列，数列既是3阶也是4阶等差数列，故也为等差数列，：，设公差为，：，故，：，故，：，故，故.（）数列既是3阶也是4阶等差数列， 均为等差

21、数列，由（）得，设，对于，有，对于，有，对于，有，对于，有，整理得，故；所以，故，所以，数列是等差数列28(1)证明见详解；(2)(3)，理由见详解【分析】（1）求出和，可知数列是为首项，1为公差的等差数列，即可求出的通项公式；（2）由可知，时，时，由此去绝对值可求出答案；（3）由（1）中的通项公式代入可求出的通项公式，令，再判断得单调性，即可求出答案.（1）因为，又，数列是为首项，1为公差的等差数列.（2）由，得，即时，；时，（3）由，得又函数在和上均是单调递减由函数的图象，可得：，.29(1)(2)14【分析】（1）合理变形构造等差数列，再利用等差数列的通项公式进行求解；（2）先将通项变形

22、为，再利用裂项抵消法进行求和，进而通过解不等式进行求解.（1）因为，且对任意的，都有成立，所以，即数列是等差数列，首项为2，公差为1，所以，即（2）因为，所以，由，得，解得，所以满足时n的最大值为1430(1)数列，不具有性质；(2)证明见解析；(3)可能取值只有.【分析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，应用累加法即可证结论.（3）讨论、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.(1)数列，不具有性质.因为，和均不是数列，中的项，所以数列，不具有性质.(2)记数列的各项组成的集合为，又，由数列具有性质，所以，即，所以.设，因为，所以.又，则，.将上面的式子相加得：.所以.(3)（i）当时，由（2）知，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.（ii）当时，存在数列，符合题意，故可取.（iii）当时，由（2）知，.当时，所以，.又，即.由，得：，.由两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.综上，满足题设的的可能取值只有.【点睛】关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.