专题提升 解直角三角形的实际应用（30题）（解析版）.docx

1、 专题第01讲 解直角三角形的实际应用专题第01讲 解直角三角形的实际应用1（2023绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CGCD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA2.5米，AD0.8米AGC32（1）求GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由（参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62）【分析】（1）根据垂直定义可得ACG90，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（

2、2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得AOB90，从而利用平行线的性质可得DMAAOB90，再根据对顶角相等可得DAMGAC58，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得ADM32，然后在RtADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答【解答】解：（1）CGCD，ACG90，AGC32，GAC90AGC903258，GAC的度数为58；（2）该运动员能挂上篮网，理由如下：延长OA，ED交于点M，OAOB，AOB90，DEOB，DMAAOB90，GAC58，DAMGAC58，ADM90DAM32，在RtADM中，AD0.8米，AMADsin32

3、0.80.530.42（米），OMOA+AM2.5+0.4242.924（米），2.924米3米，该运动员能挂上篮网2（2023长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73）【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）在

4、RtAOC中，根据直角三角形的性质得到OCAC4（km），在RtBOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OBOC4km，于是得到结论【解答】解：（1）在RtAOC中，AOC90，ACO30，AC8km，AOAC（km），（2）在RtAOC中，AOC90，ACO30，AC8km，OCAC4（km），在RtBOC中，BOC90，BCO45，BCOOBC45，OBOC4（km），ABOBOA（4）km，飞船从A处到B处的平均速度0.3（km/s）3（2023湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）假定在水流量稳定的

5、情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的O如图，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米当t0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时AOM30，经过95秒后该盛水筒运动到点B处问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732）【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒所以每秒转过360120

6、3，BOM3603953045；（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，在RtAOD中，AOD30，OA2米，ODOA（米）在RtBOC中，BOC45，OB2米，OCOB（米），CDODOC0.3（米），即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米4（2023陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上此时，测得点B的俯角22，点A的仰角16.7，并测得EF48m，FD50m已知，EFFB，CDFB，ABFB，点F，D，B在同一水平直线上

7、求楼AB与CD的高度差（参考数据：sin16.70.29，cos16.70.96，tan16.70.30，sin220.37，cos220.93，tan220.40）【分析】过点C作CGEF于G，过点E作EHAB于H，根据正切的定义分别求出EG、FB、AH，计算即可【解答】解：如图，过点C作CGEF于G，过点E作EHAB于H，EFFB，CDFB，ABFB，得矩形CDFG，矩形EFBH，CGFD50m，HBEF48m，在RtCGE中，CG50m，ECG22，则EGCGtanECG500.4020.00（m），CDFGEFEG4820.028.00（m），在RtEFB中，EF48m，EBF22，则

8、EFFBtanEBF，48FB0.40，FB120.00（m），在RtAHE中，EHFB120m，AEH16.7，则AHEHtanAEH1200.3036.00（m），ABAH+BHAH+EF36.00+4884.00（m），ABCD84.0028.0056.00（m），答：楼AB与CD的高度差约为56.00m5（2023衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30，CD长为49.6米已知

9、目高CE为1.6米（1）求教学楼AB的高度（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB【分析】（1）过点B作BMCD于点M，则DBMBDN30，在RtBDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合ABCMCDDM，即可求出结论；（2）延长EB交DN于点G，则DGEMBE，在RtEMB中，利用锐角三角函数的定义求出MBE30，从而可得DEG60，然后在RtEDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答【解答】解：（1）过点B作BMCD于点M，则DBMBDN30，在RtBDM中，BMAC24米，D

10、BM30，DMBMtanDBM2424（米），ABCMCDDM49.62425.6（米）答：教学楼AB的高度为25.6米；（2）延长EB交DN于点G，则DGEMBE，在RtEMB中，BMAC24米，EMCMCE24米，tanMBE，MBE30DGE，EDG90，DEG903060，在RtEDG中，EDCDCE48米，DGEDtan6048（米），48412（秒），经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线6（2023辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡

11、AB的坡角为30，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可【解答】解：（1）如图，过点B作BMAF于点M，由题意可知，A30，DBE53，DF600m，AB300m，在RtABM中，A3

12、0，AB300m，BMAB150mEF，DEDFEF600150450（m），答：登山缆车上升的高度DE为450m；（2）在RtBDE中，DBE53，DE450m，BD562.5（m），需要的时间tt步行+t缆车+19.4（min），答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟7（2023苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转

13、，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）已知ADBC，DH208cm，测得GAE60时，点C离地面的高度为288cm调节伸缩臂EF，将GAE由60调节为54，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8，cos540.6）【分析】当GAE60时，过点C作CKHA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BCAH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得ABCD，然后利用平行线的性质可得ADCGAE60，再根据已知可得DK80cm，最后在RtCDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当GAE54，过点C作CQHA，交HA的延长线于点Q，在R

14、tCDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答【解答】解：点C离地面的高度升高了，理由：如图，当GAE60时，过点C作CKHA，交HA的延长线于点K，BCMN，AHMN，BCAH，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADCGAE60，点C离地面的高度为288cm，DH208cm，DK28820880（cm），在RtCDK中，CD160（cm），如图，当GAE54，过点C作CQHA，交HA的延长线于点Q，在RtCDQ中，CD160cm，DQCDcos541600.696（cm），968016（cm），点C离地面的高度升高约16cm8（2023河南）综合实践活动

15、中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB30cm，顶点A处挂了一个铅锤M如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF11m，BH20cm求树EG的高度（结果精确到0.1m）【分析】由题意可知，BAEMAFBAD90，FG1.8m，易知EAFBAH，可得tanEAFtanBAH，进而求得，利用EGEF+FG即可求解【解答】解：由题意可知，BAEMAFBAD90，FG1.8m，则EAF+BAFBAF+BAH90，EAFBAH，AB30cm，BH20cm，则tanEAF，tanEAF

16、tanBAH，AF11m，则，EF，EGEF+FG1.89.1m答：树EG的高度为9.1m9（2023丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin610.87，cos610.48，tan611.80）【分析】过B作BDAC于D，则ADCADB90，设BDx nmile，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过B作BDAC于D，则ADCADB90，ABD3

17、1，CBD61，设BDx nmile，ADBDtan31，CDBDtan61，AC10nmile，xtan31+xtan61x（0.60+1.80）10，xBD4.2nmile，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2nmile10（2020秋苍梧县期末）如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60和30（1）求BPC的度数；（2）求该铁塔PC的高度（结果精确到0.1米；参考数据：1.73，1.41）【分析】（1）延长PC交直线AB于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）

18、设PCx米，根据AFPF，构建方程求出x即可【解答】解：（1）延长PC交直线AB于点F，则PFAF，依题意得：PAF45，PBF60，CBF30，BPC906030；（2）设PCx米，则CBCPx米，在RtCBF中，BFxcos30x米，CFx米，在RtAPF中，FAFP，9+xx+x，x9+3 ，PC9+3 14.2（米），即该铁塔PC的高度约为14.2米11（2022秋源汇区校级期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC18cm，灯臂CD31cm，灯罩DE24cm，BCAB，CD、D

19、E分别可以绕点C、D上下调节一定的角度经使用发现：当DCB140，且EDAB时，台灯光线最佳求此时点D到桌面AB的距离（精确到0.1cm，参考数值：sin500.77，cos500.64，tan501.19）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FGCB，即可求得DG的长，从而可以解答本题【解答】解：过点D作DGAB，垂足为G，过点C作CFDG，垂足为F，如图所示，CBAB，FGAB，CFFG，BBGFGFC90，四边形BCFG为矩形，BCF90，FGBC18cm，又DCB140，DCF50，CD31cm，DFC90，DFCDsin50310.772

20、3.87（cm），DG23.87+1841.9（cm），答：点D到桌面AB的距离约为41.9cm12（2023春巴南区期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36方向上，与C的距离是600海里（1）求点A与点B之间的距离；（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【分析】（1）由题意易得ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距

21、离；（2）过C作CDAB于D，由面积关系可求得CD的长，判断出CD500，分别在DB和DA上找点E和点F使CFCE500，分别求得DE、DF的长，可求得此时无人机飞过EF时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数【解答】解：（1）依题意有：AC800，BC600，NCA54，SCB36，ACB180543690，在RtACB中，由勾股定理得：AC2+BC2AB2，AB（米），答：点A与点B之间的距离为1000米；（2）过C作CDAB于D，SABCACBCABCD，CD480（米），480500，故分别在DB和DA上找点E和点F使CFCE500，在RtCDE中，由勾股定理得：CD2+DE2CE2，

22、DE140（米），同理得：DF140（米），当无人机处在EF段时能收到信号，由无人机的速度为10m/s，则无人机飞过此段的时间为：14（小时），无人机收到信号次数最多为+129（次）13（2022秋宁波期末）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示已知手机托盘长AC10cm，侧支撑杆BD10cm，CBD75，BDE60，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15后

23、，再将BD绕点D顺时针旋转，使点C落在水平底板DE上，求（精确到0.1）（参考数据：tan26.60.5，1.41，1.73）【分析】（1）作BFDE于点F，BGDE，AGBG于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出AG，BF的长，可得答案（2）由题意可得DBC90，在RtDBC中，已知两直角边，可求得BDC的正切值，进而可求得的度数【解答】解：（1）如图2，作BFDE于点F，BGDE，AGBG于点G，BDE60，DBF30，又BD10cm，CBD75，CBF45，ABG45，AC10cm，B是AC的中点，AB5cm，；（2）由条件，得：DBC90，又BD10cm，BC5cm，BDC

24、26.6，6026.633.414（2022秋平昌县校级期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁参考数据：1.732，sin750.966，cos750.259（1）B处离岛C 10海里（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（3）如果渔船在B处改为向东偏南15方向航行，有无触礁危险？说明理由【分析】（1）根据方向角的定义以及等腰三角形的判断可得BCAB10即可；（2）在RtBCD中，由锐角三角函数即可求出答案；（3）构造直角三角形，由锐角三角函数可求出C

25、D，比较得出结论【解答】解：（1）如图，过C作COAB于O，由题意得，CAB906030，CBO903060，ACBCAB30，（海里），故答案为10；（2）由（1）知，CO为渔船向东航行到C的最短距离，CBO60，COAB，CBO60，BC10，如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（3）过C作CDBF交BF于D，交BO于E，在RtBCD中，CBDCBO+DBO60+1575，BC10，CDsin75BC9.669，没有触礁的危险15（2022秋平城区校级期末）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75，测得小区楼房BC顶端点C处的俯

26、角为45已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米（假定点A，B，C，D都在同一平面内参考数据：，计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？【分析】（1）过点D作DEAB于点E，过点C作CFDE于点F，由题意得AB45米，DAE75，DCFFDC45，则CFDF，再由四边形BCFE是矩形，得出BECFDF，在算出DAE的正弦值用含BE的式子表示，求出BE，则DHBE即为所求；（2）求得AH，即可求得DGEH，进而即可求得无人

27、机刚好离开操控者的视线所用的时间【解答】解：（1）过点D作DEAB于点E，过点C作CFDE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形，由题意得：AB45米，DAE75，DCFFDC45，DCFFDC45，CFDF，四边形BCFE是矩形，BECFDF，在RtADE中，AED90，tanDAE2+，BE30，经检验，BE30是原方程的解，EFDHDF30+153015（米），答：此时小区楼房BC的高度为15米（2）DE15（2+）米，AE15（米），过D点作DGAB，交AC的延长线于G，作GHAB于H，在RtABC中，ABC90，AB45米，BC15米，tanBAC，在RtAGH中，GHDE15（2

28、+）米，AH（30+45）米，DGEHAHAE（30+45）15（30+30）米，（30+30）5（6+6）（秒），答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线16（2022秋岳麓区校级期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15的方向在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前

29、往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：1.73）【分析】（1）过点P作PDAB于D点，可得BDPADP90，然后在RtPBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在RtPAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；（2）过点B作BFAC，垂足为F，根据题意得：ABC105，PAD30，从而求出C45，然后在RtABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在RtBCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答【解答】解：（1）过点P作PDAB于D点，BDPADP90，在RtPBD中，PBD904545，BP20海里，DPBPsin

30、452010（海里），BDBPcos452010（海里），在RtPAD中，PAD906030，AD10（海里），ABBD+AD（10+10）海里，观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由：过点B作BFAC，垂足为F，AFBCFB90由题意得：ABC90+15105，PAD906030，C180ABCPAD45，在RtABF中，BAF30，BFAB（5+5）海里，在RtBCF中，C45，BC（10+10）海里，补给船从B到C处的航行时间6030+3081.9（分钟）83分钟，补给船能在83分钟之内到达C处17（2022秋阳泉期末）“十一”期间，王红与

31、家人开车去乡下看望爷爷和奶奶她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60时，箱盖ADE落在ADE的位置的示意图王红测得AD90厘米，DE30厘米，EC40厘米根据王红提供的信息解答下列问题：（1）求点D到BC的距离；（2）求点E运动的距离【分析】（1）通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出DH即可；（2）根据勾股定理求出AE的长，再根据弧长的计算方法求出弧EE的长即可【解答】解：（1）如图2，过点D作DH

32、AD于H，连接AE，AE，由题意可知，DEDE30cm，ADAD90cm，DADEAE60，在RtADH中，AD90cm，HAD60，DHAD45（cm），点D到BC的距离为DH+DC45+30+40（70+45）cm，答：点D到BC的距离为（70+45）cm；（2）在RtADE中，AD90cm，DE30cm，AE30（cm），弧EE的长为10（cm），答：点E运动的距离为10 cm18（2022秋鄞州区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离

33、BD、CE分别为1.8m和2.4m，BOC90（1）CEO与ODB全等吗？请说明理由（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 0.6m【分析】（1）由直角三角形的性质得出COEOBD，根据AAS可证明COEOBD；（2）由全等三角形的性质得出CEOD，OEBD，求出DE的长则可得出答案；（3）因为OAOB，由勾股定理求得OB，再根据AMOD+DMOA便可求得结果【解答】解：（1）OBD与COE全等理由如下：由题意可知CEOBDO90，OBOC，BOC90，COE+BODBOD+OBD90COEOBD，在COE和OBD中，COEOBD（AAS）；（2）CO

34、EOBD，CEOD，OEBD，BD、CE分别为1.8m和2.4m，OD2.4m，OE1.8m，DEODOECEBD2.41.80.6（m），妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM1.2m，EMDM+DE1.8（m），答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；（3）OAOB3（m），AMOD+DMOA2.4+1.230.6（m）秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m故答案为：0.619（2022秋蒙城县期末）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF如图，已知楼顶到地面的距离GE为18.5米，当小亮站

35、在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算：（1）当小亮站在B处时离教学楼的距离BE；（2）求条幅GF的长度（结果精确到0.1m，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin420.67，cos420.74，tan420.90）【分析】（1）延长AC交EG于H，根据矩形的性质得到ABCDEH1.7米，ACBD，AHBE，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由

36、（1）知CH7，4米，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）延长AC交EG于H，则ABCDEH1.7米，ACBD，AHBE，GE18.5米，HGEGHE18.51.716.8（米），在RtAGH中，GAH37，tan370.75，CH7.4，BEAH15+7.422.4（米），答：小亮站在B处时离教学楼的距离BE为22.4米；（2）由（1）知CH7.4米，在RtFCH中，FCH42，tan420.90，FH6.66，FGGHFH16.86.6610.1（米），答：条幅GF的长度约为10.1米20（2022秋北碚区校级期末）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处某同学在博物

37、馆C测得A处在博物馆C的南偏东27方向，B处在博物馆C的东南方向（参考数据：sin270.45，cos270.90，tan270.50，2.45）（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道（结果精确到个位）【分析】（1）过点C作CGAB于点G，证BCG是等腰直角三角形，得CGBG，设CGBGx米，则BCx米，再由锐角三角函数定义得AG2CG2x米，则2x184+x，解得x184，即可解决问题；（

38、2）过点C作CHBE于点H，根据题意得CBE60，在RtCBH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长即可【解答】解：（1）如图1，过点C作CGAB于点G，在RtBCG中，CBG45，BCG是等腰直角三角形，CGBG，设CGBGx米，则BCx米，在RtACG中，CAG27，tanCAGtan270.50，AG2CG2x米，AGAB+BG（184+x）米，2x184+x，解得：x184，BCx184（米），答：博物馆C到B处的距离约为184米；（2）如图2，过点C作CHBE于点H，由题意得：CBG45，DBE15，CBECBG+DBE60，由（1）可知，BC184米，在RtCBH中，CHBCsin

39、6018492225（米），答：博物馆C周围至少225米内不能铺设轨道21（2022秋辽宁期末）“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理某日，小张穿越至愚公的年代，碰到了移山的众人（1）在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知A，B间的直线距离为50里（如图1所示）线路1：折线ACDB，已知点C在点A东北方向，点B在点D东偏南53方向，CDAB，且C，D间的距离为30里；线路2：以AB为直径的半圆如果仅从远近考虑，小张应该告知愚公选取哪一条线路使得路程更短？请你通过计算说明理由（2）愚公为了能够更精确地了解所移之山MN的高度，请求小张帮其测量如图2所示，已知在山MN的后方有一座

40、高140米的小山PQ，小张站在线段QN上的点E处，EQ480米，此时小张测得点M的仰角为60，随后小张到达小山山顶点P处测得点M的仰角为21，请你帮小张求出山高MN的值（结果保留3位有效数字，以下为参考三角比与数值）；sin390.63；【分析】（1）过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为G，F，分别解RtACG，RtDBF，计算AC+CD+DB，以及半圆，即可求解；（2）设PHMN于点H，连接PE，过点E作ETMP于点T，根据已知条件得出PEQ16，解RtPTE，RtMET，RtMNE，即可求解【解答】（1）解：如图，过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为G，F，CDAB，CGAB，DFAB

41、，CGDF，依题意，CAG45，DBF53，则BDF37，AGCGDF，在RtACG中，在RtDBF中，CD30里，AB50里，解得：，AC+CD+DB16+30+1460里，AB50里，路线2，半圆的路程为里，所以线路1：折线ACDB的路程更短；（2）如图，设PHMN于点H，连接PE，过点E作ETMP于点T，则PQNH是矩形，NHPQ140，PHQN，HPNQ，依题意，MEN60，MPH21，则NMP902169，在RtPQE中，PQ140，EQ480，m，PEQ16，HPNQ，HPEPEQ16，EPTEPH+HPT16+2137，在RtPTE中，m，在RtNME中，MEN60，NME30，

42、EMTNMPNME693039，在RtMET中，在RtMNE中，（米），山高MN为412米22（2023春通河县期末）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东45）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔船C位于点B的北偏东15方向上（1）求ACB的度数；（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）作BFAC于F，国家等腰三角形的性质得到AFBF，根据勾股定理得到，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）D

43、AC45，DAB90，CAB45，EBC15，ABE90，ABC105，ACB180ABCCAB1801054530；（2）过B作BFAC于F，FABFBA45，AFBF，AB35270（海里），AB2AF2+BF2，（海里），ACB30，（海里），轮船需小时赶到C处23（2022秋静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，ACD20（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）已知平台EFDC，且AE段和

44、FC段的坡度i1：2，求平台EF的长度【参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36】【分析】（1）先过点B作GBAB，交AC于点G，根据ACD20，ABCD，得出BAG20，再根据正切定理求出BG的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；（2）根据AD的长求出CD，再过点F作FMCD，垂足为点M，过点E作ENAD，垂足为点N，设FMx，则AN9x，根据AE段和FC段的坡度i1：2，求出CM和NE的长，最后根据EFCD（CMNE），即可求出答案【解答】解：（1）过点B作GBAB，交AC于点G，ACD20，ABCD，BAG20，BGtan2060.3662.161.9不

45、会碰到头部；（2）AD9，CD25，过点F作FMCD，垂足为点M，过点E作ENAD，垂足为点N，设FMx，则AN9x，AE段和FC段的坡度i1：2，CM2x，NE2（9x）182x，CM+NE2x+182x18，EFCD（CMNE）25187（米）24（2022秋益阳期末）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮

46、出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，MO8m求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上（参考数据：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68）【分析】（1）连接OA，根据cosAOC，得AOC43，可得答案；（2）根据题意知，AOP3.4517，得POCAOC+AOP43+1760，过点P作PDOC于D，利用三角函数求出OD的长；（3）由题意知OPMN，利用cosPOM，得POM68，在RtCOM中，根据cos，得COM74，从而得出答案【解答】解：（1）如图，连接OA，由题意知，筒车每秒旋转3

47、60，在RtACO中，cosAOC，AOC43，盛水筒P首次到达最高点的时间：（秒）；（2）如图，盛水筒P浮出水面3.4秒后，AOP3.4517，POCAOC+AOP43+1760，过点P作PDOC于D，在RtPOD中，ODOPcos6031.5（米），盛水筒P距离水面距离为：2.21.50.7（米）；（3）如图，点P在O上，且MN与O相切，当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OPMN，在RtOPM中，cosPOM，POM68，在RtCOM中，cos，COM74，POH180687438，7.6（秒），至少经过7.6秒恰好在直线MN上25（2023海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M

48、位于A的北偏东30方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60方向上，测得港口C位于B的北偏东45方向上已知港口C在灯塔M的正北方向上（1）填空：AMB30度，BCM45度；（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）【分析】（1）先说明ABCM，再利用外角与内角的关系、平行线的性质得结论；（2）先利用等腰三角形的性质先说明BM与AB的关系，再在RtEBM中利用直角三角形的边角间关系得结论；（3）先说明四边形DEMC是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论【解答】解：分别过点C、M，作CDAB

49、，MEAB，垂足分别为D、E（1）DBMA+AMB60，A30，AMB30AB、CM都是正北方向，ABCMDBC45，BCM45故答案为：30，45（2）由（1）知AAMB，ABBM20海里在RtEBM中，sinEBM，EMsinEBMBMsin60202010（海里）答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里（3）CDAB，MEAB，AB、CM都是正北方向，四边形DEMC是矩形CDEM10海里，DECM在RtCDB中，DBC45，DBCDCBDBDC10海里在RtEMB中，cosDBM，EBcosDBMBMcos60202010（海里）CMDEDBEB101010（1）海里答：港口C与灯塔M的

50、距离为10（1）海里26（2023阜新）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是45，而大厦底部D的俯角是37（1）求两楼之间的距离BD（2）求大厦的高度CD（结果精确到0.1m，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【分析】（1）过点A作AECD，垂足为E，根据题意可得：AEBD，ABDE46m，然后在RtADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而求出BD的长，即可解答；（2）在RtACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，然后利用线段的和差关系求出CD的长，即可解答【解答】解：（1）过点A作AECD，垂足为E，由

51、题意得：AEBD，ABDE46m，在RtADE中，EAD37，AE61.3（m），AEBD61.3m，两楼之间的距离BD约为61.3m；（2）在RtACE中，CAE45，CEAEtan4561.3（m），CDCE+DE61.3+46107.3（m），大厦的高度CD约为107.3m27（2023盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30和45，AB40m，BD20m，BDF159，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长（结果精确到整数，参考数据：1.73，sin210

52、.36，cos210.93，tan210.38）【分析】延长AB交CE于点H，过点B作BGDF，垂足为G，根据题意可得：BGHE，CMAH，从而可得CAHMCA30，CBHMCB45，然后设BHx m，则AH（x+40）m，分别在RtACH和RtCBH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出CH的长，最后利用平角定义可得BDG21，从而在RtBDG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答【解答】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BGDF，垂足为G，由题意得：BGHE，CMAH，CAHMCA30，CBHMCB45，设

53、BHx m，AB40m，AHAB+BH（x+40）m，在RtACH中，CHAHtan30（x+40）m，在RtCBH中，CHBHtan45x（m），x（x+40），解得：x20+20，CH（20+20）m，BDF159，BDG180BDF21，在RtBDG中，BD20m，BGBDsin21200.367.2（m），BGEH7.2m，CECH+HE20+20+7.262（m），CE的长约为62m28（2023济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB1m，BC0.6m，ABC123，该车的高度AO1.7m如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在ABC处，AB与水平面的夹角BA

54、D27（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险？请说明理由（结果精确到0.01m，参考数据：sin270.454，cos270.891，tan270.510，1.732）【分析】（1）作BEAD，垂足为点E，先求出BE的长，再求出BE+AO的长即可；（2）过C作CFBE，垂足为点F，先求得ABE63，再得到CBFABCABE60，再求得BFBCcos600.3m，从而得出C到地面的距离为2.150.31.85（m），最后比较即可【解答】解：（1）如图，作BEAD，垂足为点E，在RtABE中，BAD27，AB

55、AB1m，sin27，BEABsin2710.4540.454m，平行线间的距离处处相等，BE+AO0.454+1.72.1542.15m，答：车后盖最高点B到地面的距离为2.15m（2）没有危险，理由如下：如图，过C作CFBE，垂足为点F，BAD27，BEA90，ABE63，ABCABC123，CBFABCABE60，在RtBFC中，BCBC0.6m，BFBCcos600.3m平行线间的距离处处相等，C到地面的距离为2.150.31.85m1.851.8，没有危险29（2023贵州）贵州旅游资源丰富某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图景区内修建观光索道设计示意图如图所示，以山脚A为起点

56、，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m索道AB与AF的夹角为15，CD与水平线夹角为45，A、B两处的水平距离AE为576m，DFAF，垂足为点F（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）（参考数据：sin150.25，cos150.96，tan150.26，）【分析】（1）通过解RtABE可求得AB的长；（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EFBG，CGDBGF90，再解RtCDG可求解CG的长，进而可求解【

57、解答】解：（1）在RtABE中，AEB90，A15，AE576m，AB（m），即AB的长约为600m；（2）延长BC交DF于G，BCAE，CBE90，DFAF，AFD90，四边形BEFG为矩形，EFBG，CGDBGF90，CDAB600m，DCG45，CGCDcosDCG600cos45600，AFAE+EFAE+BGAE+BC+CG576+50+1049（m），即AF的长为1049m30（2023内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为ABCAB点在A点的南偏东25方向3km处，C点在A点的北偏东

58、80方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角ABC为45（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）【分析】（1）根据题意可得：NAC80，BAS25，从而利用平角定义可得CAB75，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；（2）过点A作ADBC，垂足为D，在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在RtADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答【解答】解：（1）由题意得：NAC80，BAS25，CAB180NACBAS75，ABC45，ACB180CABABC60，行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA的度数为60；（2）过点A作ADBC，垂足为D，在RtABD中，AB3km，ABC45，ADABsin4533（km），BDABcos4533（km），在RtADC中，ACB60，CD（km），BCBD+CD（3+）km，检查点B和C之间的距离（3+）km