专题突破卷09 奇偶性、对称性与周期性（解析版）.docx

1、专题突破卷09 奇偶性、对称性与周期性1.对称轴1定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，给出下列三个命题：的图象关于点对称；在区间上是减函数；其中所有真命题的序号是 【答案】【分析】根据给定条件，结合赋值法推理判断；利用奇函数性质、函数对称性推理判断；导出函数的周期，计算判断作答.【详解】因为是R上的奇函数，则，即，从而，即有，因此的图象关于点对称，是真命题；因为是R上的奇函数，且在区间上是增函数，则在区间上是增函数，由知，函数的图象关于直线对称，因此在区间上是减函数，是真命题；由知，则，即是周期为4的函数，因此，是假命题，所以所有真命题的序号是故答案为：2已知函数的定义域为，是偶函数，

2、当时，则不等式的解集为 【答案】【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数上单调递增，由可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，则，即，所以，函数的图象关于直线对称，当时，则函数在上单调递减，故函数在上单调递增，因为，则，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集为.故答案为：.3设函数的定义域为R，当时，则函数在区间上零点的个数为（）A4B5C6D7【答案】D【分析】分析函数的性质，结合幂函数的图象，作出在上的图象，再作出在上的图象，求出两图象的交点个数作答.【详解】由，得的图象关于y轴对称，由，得的图象关于直线对称，令，得，函数是周期为1的偶函数，当时，在同一

3、坐标系内作出函数在上的图象，函数在上的图象，如图，观察图象知，函数与的图象在上的交点有7个，所以函数在区间上零点的个数为7.故选：D4（多选）若函数满足，且，则（）A为偶函数BCD若，则【答案】AC【分析】先由函数的对称性可找到对称轴，即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定BCD选项.【详解】由题意可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，则在上单调递减，且的图象关于直线对称，由偶函数图象的特征得A正确结合函数的单调性和图象的对称性得，距离越近，函数值越小，所以B不正确对C，所以C正确对D，若，则直线距离直线更远，即，解得或，所以D不正确故选：AC5函数满足，

4、且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（）.A线段AD和线段BC上B线段AD和线段DC上C线段AB和线段DC上D线段AC和线段BD上【答案】B【分析】根据函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得函数解析式并画出图象，根据值域，可得的取值范围，可得答案.【详解】函数满足，故函数的图象关于直线对称，且开口向上下，所以，.再根据，画出函数的图象，如图所示：故有，.且当时，；时，故坐标所表示的点在图中的线段AD和线段DC上，故选：B.2.对称中心6（多选）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，下列说法正确的是（）A3是函数的一个周期B函数的图象关于直线对称C函数是偶函数D【答案】

5、ACD【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.【详解】对A，因为，所以，即，所以3是函数的一个周期，A正确；对B，因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，B错误；对C，因为，所以，即，即，所以函数是偶函数，C正确；对D，所以，所以，D正确；故选:ACD.7（多选）函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，也是奇函数，则（）A函数是周期为4的周期函数B函数是周期为2的周期函数C函数的图像关于点对称D大小关系为【答案】ACD【分析】A选项，根据与均是定义在R上的奇函数，得到，得到是周期

6、为4的周期函数；C选项，根据的周期及对称性得到C正确；B选项，由及的周期得到的周期；D选项，根据对称性及周期得到，结合在上单调递增，比较出大小关系，D正确.【详解】A选项，由题意得，又，所以，又是定义在R上的奇函数，所以，即，所以函数周期为4，故A正确，B错误；C选项，因为的图像关于点对称，周期为4，所以函数的图像关于点对称，故C正确；由，得，即函数是周期为4的周期函数，故B错误.D选项，因为是定义在R上的奇函数，所以，由，且在上单调递增，得，所以，故D正确.故选：ACD.8（多选）已知定义在R上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中正确的是（）A函数是周期函数B函数为R上的偶函数C函数

7、的图象关于点对称D函数为R上的单调函数【答案】AC【分析】由题可得即可判断A；由为奇函数可得，即可判断B；由、可得，即可判断C；根据为R上的奇函数，结合单调函数的定义即可判断D.【详解】A选项，由，得，即，故A正确；B选项，因为为奇函数，用换x，得，又，所以，即函数为R上的奇函数，故B错误；C选项，因为为奇函数，所以，则的图象关于点对称，故C正确；D选项，因为函数为R上的奇函数，其图象关于原点对称，函数在和的单调性相同，但函数在R上不一定为单调函数，故D错误.故选：AC.9设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（）A关于点中心对称B关于点中心对称C关于直线对称D关于直线对称【答案】A【分析】根

8、据奇函数的性质，结合对称性，即可得出答案.【详解】因为为奇函数，所以，所以函数图象关于点中心对称.故选：A.10已知函数为奇函数，则函数的图象（）A关于点对称B关于点对称C关于点对称D关于点对称【答案】A【分析】根据为奇函数，得到关于对称，进而得到答案.【详解】函数为奇函数，图像关于对称，则函数关于对称，所以函数的图象关于对称故选：A.11已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（）A函数的图象关于点对称B函数的图象关于直线对称C函数的最小正周期为2D当时，【答案】C【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称，结合时，即可画出函数的图象，由图象即可逐一判断.【详解

9、】因为函数对任意都有，即恒成立，所以的周期为4.因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以的图象关于对称，故，因此的图象关于对称，设，则，因为函数对任意都有所以，所以 所以选项D错误.作出的图象如图所示：由图象可知，函数的图象关于点中心对称，关于直线对称，故A，B错误；对于C：函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故C正确.故选：C3.奇偶性，对称性与周期性的相互转化12（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是（）AB在上为减函数C点是函数的一个对称中心D方程仅有3个实数解【答案

10、】CD【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合判断D作答.【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，由为偶函数，得，即，则，即，于是，函数是周期为的周期函数，当时，对于A，A错误；对于B，函数在上单调递增，由，知函数图象关于点对称，则函数在上单调递增，即有函数在上单调递增，因此在上单调递增，B错误；对于C，由及，得，即，因此函数图象关于点对称，C正确；对于D，当时，由函数图象关于点对称，知当时，则当时，由，知函数图象关于直线对称，则当时，于是当时，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，在同一

11、坐标系内作出函数与的部分图象，如图，观察图象知，函数与图象在上有且只有3个公共点，而当时，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D正确.故选：CD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.13（多选）已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（）A为奇函数BC，D若的值域为，则【答案】BCD【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.【详解】，关于对称，故C正确；关于对称，为偶函数，为偶函数，故A错误；，图象关于点

12、中心对称，存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，故D正确；由得，又，所以，由得，所以，故B正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.14（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（）A的图象关于对称B是的一个周期CD【答案】ACD【分析】由函数的图象关于对称

13、，可得，即可判断A；先求出最小正周期为，再推出由可判断B；令，求出可判断C；求出，可判断D.【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.对于B，令由，所以，所以关于对称.由，所以，所以，所以，关于对称.令等价于，则，又因为，所以令等价于，所以，所以可得出最小正周期为.，所以不是的周期，所以B错误.对于C，令，则，所以，所以C正确.对于D，因为图象关于对称，所以，因为，因为最小正周期为，所以，所以，有，选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性和周期性得到的性质，即可求解.15（多选）已知定义在R上的函数满足，且为偶

14、函数，则下列说法一定正确的是（）A函数的周期为2B函数的图象关于直线对称C函数为偶函数D函数的图象关于点对称【答案】BCD【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断A、B；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性意义判断C、D.【详解】对于选项A：因为，则，可得，所以函数的周期为4，故A错误；对于选项B： 因为为偶函数，则，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对于选项C：因为函数的图象关于直线对称，则，由函数的周期为4，可得，所以函数为偶函数，故C正确；对于选项D：因为，且，可得，又因为函数的周期为4，则，所以函数的图象关于点对称，D正确；故选：BCD.16设函数的定义域为，为奇函数，为

15、偶函数，当时，.若，则（）ABC为偶函数D的图象关于对称【答案】C【分析】根据为奇函数，为偶函数，求出函数的周期，并结合求出a，b的值，即可判断A；由的周期可求出即可判断B；为偶函数得，结合的周期即可判断C；由即可判断D.【详解】为奇函数，令，则；用替换，则，又为偶函数，令，则；用替换，则，用替换，则，则的一个周期为4，由，解得，故A错误；，故B错误；由，得，得为偶函数，故C正确；时，不关于对称，故D错误，故选：C.17已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A函数图象关于直线对称B函数的周期为2C函数图象关于点中心对称D【答案】D【分析】由易得图象关于直线对称，

16、再由为奇函数，得到图象关于对称，进而结合得到，有函数的周期为4判断.【详解】解：因为满足，所以，所以函数图象关于直线对称，因为为奇函数，所以，即，则函数图象关于对称，则，令得，由，得，所以函数的周期为4，所以，故选：D4.比大小18已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（）ABCD【答案】B【分析】根据题意得到函数关于对称，所以，结合单调性，即可求解.【详解】由函数是偶函数，可得函数关于对称，所以函数关于对称，所以，因为函数在上单调递增，且，所以.故选：B.19已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（）ABCD【答案】A【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质,结合函数的对称性即可求

17、解.【详解】因为时，恒成立，所以，所以在上单调递增，因为是偶函数，所以的图象关于对称，因为，因为，所以，即，所以故选：A20定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，则，的大小关系为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得的大小关系，可得答案.【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，因为当时，由，则，即，所以在上单调递增，则在上单调递减，由，由，根据函数在上单调递增，则；由，根据函数在上单调递增，则.由函数在上单调递减，则，即.故选：B.21已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，若，则a，b，c的大小关系

18、为（）ABCD【答案】D【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数的周期性，及在上的单调性即可判断作答.【详解】由为奇函数，得，即，又由为偶函数，得，即，于是，即，因此的周期为8，又当时，则在上单调递增，由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，显然，即有，即，所以a，b，c的大小关系为.故选：D【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.22定义在R上函数满足以下条件：函数图像关于轴对称，对任意，当时都有，则，的大小关系为（）ABCD【答案】B【

19、分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小【详解】解：函数图像关于对称，且对任意，当时都有，在，上单调递减，在单调递增，故选：B5.解不等式23（ 2023江苏统考二模）（多选）已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有（）ABCD【答案】BC【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增，进而得到，利用参变分离和的取值范围求出的取值范围，进而求解.【详解】由函数的图象关于点对称且在区间上单调递增可得，函数的图象关于对称，函数为上单调递增，由可得，也即，则有恒成立，即因为，所以，当时，得到恒成立；当时，则

20、有，令，则，因为函数在上单调递增，且，所以，则，所以BC适合题意，AD不合题意.故选：BC.24（ 2023西藏林芝统考二模）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.【详解】函数为偶函数，即，函数的图象关于直线对称，又函数定义域为，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，由得，解得.故选：D.25已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且对任意的，满足，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【分析】首先根据的图象关于点对称，得出是定义在上的奇函数，由对任意的，满足，得出在上单调递减，然后根

21、据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可【详解】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，对任意的，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，又所以，且，所以当时，；当时，所以由可得或或，解得或，即不等式的解集为故选：C.26已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】确定函数的图象关于中心对称，在上单调递减，且，不等式转化为或或，解得答案.【详解】依题意，故，故函数的图象关于中心对称，当时，单调递减，故在上单调递减，且，函数的图象关于中心对称，在上单调递减，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集为，故选：B.27已知函数的定义域为，其导函数为，若为奇函数，为偶函数，记

22、，且当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【分析】由为奇函数可得两边求导得到，即，同理可得，即可得到的对称性与周期，画出与的图象，数形结合即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，即，两边同时求导得，即，所以的图象关于直线对称，且；又为偶函数，所以，即，两边求导得，即，所以的图象关于点中心对称，且；由得，即，所以，所以的一个周期为，因为当时，当时，则，所以，当时，则，所以，作出函数与的图象如图所示，由，解得，由，解得，结合图象可知不等式的解集为.故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是找到函数的对称性与周期性，再利用数形结合法.28定义在上函数满足，.当时，则下列选项能使成立的为（）ABCD【

23、答案】D【分析】由已知可得出函数的对称性以及函数的周期为4.进而根据对称性可求出在以及上的解析式，作出函数图象，即可得出的解集.分别令取，即可得出答案.【详解】因为，所以关于点对称，所以；又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.所以，所以有，所以，所以的周期为4.当时，所以，所以时，.当时，所以.作出函数在上的图象如下图当时，由可得，解得，所以；当时，由可得，解得，所以.根据图象可得时，的解集为.又因为的周期为4，所以在实数集上的解集为.令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；令，可得区间为，故B项错误；令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；令，可得区间为，故D项正确.故选：D.29

24、已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（）ABCD【答案】C【分析】利用函数的对称性，构造，原不等式可化为，利用其单调性去函数符号解不等式即可.【详解】由题意可知，设，显然有，又是定义在上的增函数，易知在上是增函数.原不等式可化为，即，解不等式组可得.故选：C6.结合导数30（多选）定义在R上的函数，的导函数为，是偶函数.已知，则（）A是奇函数B图象的对称轴是直线CD【答案】ABC【分析】对于A，利用题中条件解出，利用奇函数得定义即可；对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到，从而判定出的对称轴；对于C,对题中得两个条件进行变化，对进行赋值，即可；对于D,证明的性质

25、，从而得到结论.【详解】,，又为奇函数，故A正确.是偶函数，则又，则，所以，则则，故的图象关于对称，故B正确.因为，所以，令得，又，令，得=，故C正确.，又，是奇函数，是奇函数，则，则，故，D错误.故选：ABC.31（多选）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）AB为偶函数C的图象关于点对称D的一个周期为【答案】BCD【分析】由，可设，（、为常数），再根据所给条件推出，即可得到，从而判断A，即可得到，在两边求导，即可判断C，根据为奇函数，得到求导，即可判断B，最后推出的周期性，即可判断D.【详解】因为，所以，（、为常数），又因为，所以，即，令，则，所以

26、，所以，故A错误；所以，所以，所以的图象关于点对称，故C正确；因为为奇函数，所以，则，即，所以，所以为偶函数，故B正确；因为，且，所以，即，所以，所以的一个周期为，又，所以，所以的一个周期为，故D正确；故选：BCD32已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（）ABCD【答案】D【分析】由为奇函数得，由关于直线对称得 为偶函数，对于选项A，由为偶函数满足即可判断；对于选项B，由得即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由得到的对称性，从而得到导数的关系即可判断.【详解】解法一：由为奇函数得，令，则，所以，即，所以；因

27、为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，所以.对于选项A，因为为偶函数，所以，所以，故选项A错误.对于选项B，由得，所以，故选项B错误.对于选项C，因为的图像关于轴对称，所以轴左右两边对称点的切线关于轴对称，所以切线的斜率互为相反数，即，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，因为，所以关于点中心对称，因为，所以和关于点对称，所以在和处切线的斜率相等，即，所以，故选项D正确.故选：D.33（ 2023河北唐山统考三模）（多选）函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（）A为偶函数BC的图象关于对称D若，则为奇函数【答案】AC【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，

28、利用特殊值判断B，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断C.【详解】因为为奇函数且在定义域上可导，即，所以两边对取导可得，即，所以为偶函数，故A正确；对于B：令，显然为奇函数，且最小正周期，即满足，则，则，故B错误；对于C：因为且为上的奇函数，所以，即，所以，即，所以的图象关于对称，故C正确；对于D：因为，则，即为奇函数，由A可知为偶函数，故D错误；故选：AC34（多选）设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（）A函数的图象关于点对称B函数的图象关于直线对称C函数的一个周期为8D函数为奇函数【答案】AC【分析】由，可得，由的图象关于直线对称

29、，则，据此可判断各选项正误.【详解】因，两边求导可得.的图象关于直线对称，则.A选项，由可得，由可得，则，即函数的图象关于点对称，故A正确；B选项，若函数的图象关于直线对称，则.又，则.即是常函数，但不一定是常函数，故B错误；C选项，由可得.由可得，又，则，则函数的一个周期为8，故C正确；D选项，若函数为奇函数，则.由可得.又，则，得的一个周期为4，但题目条件不足以说明的周期情况，故D错误.故选：AC35（多选）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，若，且，则（）A4为函数的一个周期B函数的图象关于点对称CD【答案】ABC【分析】根据题中条件可得即可判断A,由的关系可判断B，由得进而可得 ，结

30、合周期性即可判断CD.【详解】由得，由求导得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4为函数的一个周期，A正确；，故，因此，故函数的图象关于点对称，B正确，在中，令由得 为常数，故， 由函数的图象关于点对称，因此，所以由于的周期为4，所以的周期也为4，由于，所以， ，所以，故C正确，由于,故D错误，故选:ABC36已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称因为在上单调递增，所以在上单调递减因为，所以，解得故选：A.

31、1（2023春辽宁高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，则（）A2020B2022C2024D2026【答案】C【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.【详解】由题意可知，且，所以，则，所以是以4为周期的周期函数.由可知，则，所以，由得，所以，则，所以，所以.故选：C.2（2023四川遂宁统考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，下列结论错误的是（）A函数的图像关于直线1对称B2CD若函数在1，2上单调递减，则在区间0，2024上有1012个零点【答案】B【分析】根据偶函数的性质，结合

32、函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.【详解】因为是偶函数，所以，所以函数函数的图像关于直线x1对称，因此选项A正确；因为g(x2)为偶函数，所以有，因此函数关于直线对称，由，因此函数关于点对称，由，所以函数的周期为4，在中，令，得，在中，令，得，所以，故选项B不正确；由，令，得，因此选项C正确；因为函数关于点对称，且在1，2上单调递减，所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，所以函数在上单调递增，且，所以当时，函数有两个零点，当时，由函数的周期为4，可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，故选：B.3（2023陕西安康陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则（）

33、AB0CD2023【答案】D【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的周期为4，代入特殊值求得，问题即可得到解决.【详解】由可知函数的对称中心为，由可知函数的对称轴为，故函数的周期.将代入得，将代入得，将代入得，而，将代入得，将代入得，所以.故选：D4（2023河南南阳南阳中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（）AB的一个周期是4C是奇函数D【答案】B【分析】根据函数的周期性，对称性和奇偶性的公式推导即可求解.【详解】因为是奇函数，所以，又，所以，所以，所以函数是周期为4的周期函数，所以，故选项A错误；，所以，所以的一个周期是4，故选项B正确；因为，所以，所以，所以，所以是偶

34、函数，故选项C错误；例如，满足是奇函数且且，所以，可得，故选项D错误；或根据得关于直线轴对称，因而在处有极值，所以或不存在，故D选项错误.故选：B.5（2023安徽合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，则下面判断错误的是()A的图象关于点中心对称B与均为周期为4的周期函数CD【答案】C【分析】由为偶函数可得函数关于直线轴对称，结合和可得的周期为4，继而得到的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【详解】因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称，因为等价于，又，+得，即，即，所以，故的周期为4，又，所以的周期也为4，故选项B正确，代入得，故的图象关于点

35、中心对称，且，故选项正确，由，可得，且，故，故，因为与值不确定，故选项错误，因为，所以，所以，故，故，所以选项D正确，故选:.6（2023春广东珠海高二统考期末）设函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】A【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】，函数关于对称，又，恒成立，则是增函数，得，故选：A7（2023春浙江丽水高二统考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，当时，则下列选项不正确的是（）A在区间上单调递减B的图象关于直线对称C的最大值是1D当时恒有【答案】B【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变

36、换可得，所以的图象关于点对称，的图象关于直线对称，进而得出周期为4.根据在上的解析式，结合函数的对称性可得出在上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出在上的值域，根据对称性即可得出C、D项.【详解】因为函数是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，；因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，.所以，所以周期为4.对于A项，因为的图象关于点对称，的图象关于直线对称，所以也是的对称中心.因为时，则，所以.根据函数的对称性可知，所以.所以当时，单调递减.又的图象关于点对称，所以在区间上单调递减，故A项正确；对于B项，因为的图象关于点对称，周期为4，所以的图象关于点对称，

37、故B项错误；对于C项，由A知，当时，所以.又的图象关于直线对称，所以当时，有.综上所述，当时，有.因为周期为4，所以的最大值是1，故C项正确；对于D项，由已知当时，.又的图象关于直线对称，所以当时，.综上所述，当时，恒成立.因为的图象关于点对称，所以，当时，恒有，故D项正确.故选：B.8（2023春浙江绍兴高二统考期末）已知函数的定义域为R，且，为奇函数，则（）ABC0D【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则，所以，周期为4，所以

38、.由，令，则有，所以，.因为为奇函数，所以，所以，所以函数关于点对称，所以，.令，则.令可得，所以，所以，所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，.所以，所以，.故选：B.【点睛】方法点睛：抽象函数求解函数值，常用赋值法.根据已知关系，推得函数的周期以及对称性，根据已知函数值，赋值求出其他函数值.9（2023浙江温州乐清市知临中学校考二模）（多选）已知函数的定义域为的导函数的图象关于中心对称，且函数在上单调递增，若且，则（）ABCD【答案】ACD【分析】根据给定条件，可得函数的图象对称轴，结合给定等式探求出正数a，b的关系，再逐项分析判断作答.【详解】因为函数的图象关于中心对称，则有，而，即，

39、令，为常数，当时，因此，即函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递增，则函数在上单调递减，由，得，A正确；而，即有，因此，B错误；显然，即，则，因此，C正确；，D正确.故选：ACD10（2023春湖南高二统考期末）（多选）已知函数的定义域为，函数为偶函数，且是的导函数.则下列结论正确的是（）A是周期为2的周期函数B的图象关于直线对称C的图象关于直线对称D【答案】BCD【分析】根据题意得到，结合，得到，可判定A错误；由，两边同时取导数可得，可判定B正确；由由，得到成立，可判定C正确；根据题意求得，进而判定D正确.【详解】由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，所以函数的图象关于对称，所以，又由，

40、可得，所以函数是周期为的周期函数，所以A错误；由，可得，两边同时取导数，可得，所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；由，可得成立，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确；由且，当时，可得，当时，可得，所以，当时，可得，当时，可得，所以，所以，因为函数的周期为，所以，所以D正确.故选：BCD.【点睛】结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论：（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），则；.（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），则；.（3）对于函数，若其图象关于点对称，则；.11（2023春河南信阳高一信阳高中校考阶段练习）（多选）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，

41、为奇函数，且当时，则（）A的一个周期为3B当时， C D直线与曲线共有7个不同的交点【答案】BCD【分析】根据函数的对称性、奇偶性推出周期性，单调性，利用函数的周期性、单调性和函数图象逐项分析可得答案.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，用替换，得 因为是奇函数，所以，即结合，得，所以所以，所以的一个周期为4，故A错误；由，令，得所以，即由，得，即，联立两式，得，所以当时，设，则，故B正确；因为在上单调递增，又的图象关于直线对称，所以在上单调递减所以当时，当时，所以，当时，所以又函数的一个周期为4，所以作出的图象如图所示：，结合图象可得，所以，故C正确；作直线，由图可知，直线与曲线共有7

42、个不同的交点，故正确故选：BCD12（2023春湖南长沙高一湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知函数，的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】AB【分析】由的图象关于直线对称，则，结合得，推出为偶函数，结合推出，采用赋值法即可求得的值，判断；继而对，赋值，求得，判断A；再推得函数的周期性，利用周期性求得的值，判断D.【详解】由题意知函数，的定义域均为，的图象关于直线对称，则，故为偶函数，由，得，代入，得，令，则，则，故B正确，C错误；，令，则，即，A正确；由，故，故由得，故，是以4为周期的周期函数，由，令，则，得，则，又，令得，得，又，故，D错误故选：A

43、B【点睛】方法点睛：解答此类抽象函数的相关问题时，要根据题设条件推出函数具有的相关性质，这里主要用到整体代换的方法，从而推出抽象函数具有的相关等式，推出其具有的奇偶性以及对称性和周期性等，求函数值时，常常要采用赋值法，即令取特殊值代入求值.13（2023春河南洛阳高一统考期末）（多选）设函数的定义域为R，且满足，当时，则下列说法正确的是（）AB为偶函数C当时，的取值范围为D函数与图象仅有个不同的交点【答案】BCD【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.【详解】依题意，当时，当时，函数的定义域为，由，可知的图象关于对称，由，则，的图象关于对

44、称，又，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，又，令可得，所以，对于A，故A不正确；对于B，所以函数为偶函数，B正确；对于C，当时，有，则，当时，所以，所以当时，的取值范围为，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有个交点，因此方程仅有个不同实数解，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.14（2023春浙江宁波高二校联考期末）（多选）已知函数的定义域为，是偶函数，的图象关

45、于点中心对称，则下列说法正确的是（）ABC，D，【答案】BCD【分析】根据是偶函数可得函数关于直线对称，由的图象关于点中心对称可得关于点成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A，再由函数的周期求出判断B，由周期性及对称性可判断C，由以上分析利用求解可判断D.【详解】因为是偶函数，所以，可得，故关于直线对称，因为的图象关于点中心对称，所以关于点成中心对称，所以，又由可得，所以，即，所以，两式相减可得，即，所以，故A错误；由周期，又，所以，即，故B正确；由周期，由可得，故C正确；由上述分析可知，又因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：当函数满足时，函数关于直线对称，当函

46、数满足时，函数关于点成中心对称.15（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，则 【答案】0【分析】由函数的图象关于直线对称，可得为偶函数，再由可得函数的周期为8，然后利用周期结合已知可求得答案.【详解】由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于轴对称，故为偶函数由，得，所以是周期的偶函数，所以，故答案为：016（2023春陕西西安高二长安一中校考期末）已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则 .【答案】678【分析】由的图象关于点中心对称结合导数可知，再结合为偶函数可知的一个周期为3，.又注意到即可得答

47、案.【详解】因的图象关于点中心对称，则.因为偶函数，根据函数的伸缩变化可知也是偶函数，所以.则，即的一个周期为3.令，由可得.注意到，则.故答案为：67817（2023春河北石家庄高二正定中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 【答案】2525【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.【详解】因为为偶函数，则，即，则，即，故的图象关于点对称，且；又为偶函数，则，则，即，故的图象关于点对称，且，又将代入得，则；令，由可得，则；同理可得，则；，则，由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，故，故答案为：2525