专题突破卷16 求数列的通项公式（解析版）.docx

1、专题突破卷16 求数列的通项公式1.周期数列1若数列中，且（），记数列的前n项积为，则的值为 【答案】【分析】根据数列的周期性，即可求解.【详解】因为，且，所以，则，发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，所以.故答案为：.2函数的部分对应值如下表所示，对于任意，点都在函数的图象上.已知，则的值是 .x12343124【答案】1【分析】根据题意求出数列的周期，再根据数列的周期性即可得解.【详解】因为点都在函数的图象上，所以，因为，所以，所以数列是以为周期的周期数列，所以.故答案为：.3已知数列满足，则=（）A3BCD【答案】C【分析】根据递推形式求数列的前几项，判断数列是周期数列，再求

2、值.【详解】，所以是周期数列，且周期为4，又，所以故选：C.4数列满足，则的前2023项和 .【答案】1351【分析】根据已知递推式求出，则可得从第3项起以3为周期的周期数列，从而可求得答案【详解】因为，所以，则从第3项起以3为周期的周期数列，所以.故答案为：13515数列满足，若，则 【答案】【分析】根据递推式得到周期为6，进而求得、，即可得结果.【详解】由题设，则，且，所以是周期为6的数列，则，故，所以.故答案为：2.累加、累乘法6数列中，若，则 .【答案】【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.【详解】由题意，可得，所以，所以.故答案为：.7已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4

3、=64，且(1)求k的值；(2)求数列的通项公式【答案】(1)2；(2).【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】（1）当时，当时，；（2）因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，所以，所以，则8北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（）A3B4C5D6【答案】C【分析】由题设及累加可得，应用等差数列前n项

4、和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果.【详解】由题意，且，累加可得，所以，得，即故选：C9已知数列满足，若表示不超过x的最大整数，则 【答案】1【分析】根据迭代法可得利用裂项求和结合的定义即可求解.【详解】由得时，当时，也符合，所以，故，故答案为：110已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（）ABCD【答案】D【分析】根据给定条件可得，利用累加法求出数列的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答.【详解】依题意，当时，而满足上式，因此，所以.故选：D11已知数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，求证：【答案】(1)(2)证明见解析

5、【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；（2）由（1）易得，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）因为，所以，所以当时， 满足条件，所以；（2）因为，所以，所以，因为，所以 .3.待定系数法12已知：，时，求的通项公式【答案】【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解.【详解】设，所以， ，解得：，又 ， 是以3为首项， 为公比的等比数列， ， 13数列满足且，则数列的通项公式是 【答案】【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设，则，又因为，所以，则，所以，因为，所以，所以为常数，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：14已知数列中，且，则数列的通项公

6、式为 .【答案】【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等比数列的定义求解即可.【详解】，等式两侧同除，可得，令，则，又，是以2为首项，2为公比的等比数列，即，即.故答案为：.15已知数列中，则（）ABCD【答案】C【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列并求出通项作答.【详解】由，得，而，因此数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即，所以.故选：C16已知数列满足，求数列的通项公式【答案】【分析】解法一：利用待定系数法可得，即可得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出其通项公式；解法二：两边同时除以得，再利用构造法计算可得；【详解】解法一：因为，设，所以，则，解得，即，则数列是首项为，公比为的

7、等比数列，所以，即；解法二：因为，两边同时除以得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.17已知数列中，求的通项公式【答案】【分析】构造法求证为等比数列并写出通项公式，再应用累加法求数列通项公式.【详解】化为，即，可得或，（所得两组数值代入上式等价），不妨令，所以是以1为首项，为公比的等比数列，则，累加法可得：，又符合上式，故.4.取倒数法、取对数法18数列中，则下列结论中正确的是（）A数列的通项公式为B数列为等比数列C数列为等比数列D数列为等差数列【答案】C【分析】求出数列的前3项，利用等比数列定义判断A，B；给定等式两边取对数可得，判断C，D作答.【详解】数列中，则，显然

8、不成等比数列，A，B都不正确；依题意，由两边取对数得：，因此，数列是首项为，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.故选：C19已知数列的递推公式，且首项，则 .【答案】/【分析】推导出，结合等差数列的定义可求得数列的通项公式，即可得出数列的通项公式.【详解】因为，且，则，以此类推可知，对任意的，在等式两边取倒数可得，则，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，故对任意的，.故答案为：.20已知数列满足，求的通项公式.【答案】【分析】两边取对数得，根据等比数列的通项公式求解，解方程即可得解.【详解】取以10为底的对数可得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，即.21（1）定义：

9、若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知：数列中，.求证：数列是“平方递推数列”；求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；（2）已知：数列中，求：数列的通项.【答案】（1）见解析；见解析；（2）.【分析】（1）依据“平方递推数列”定义，结合条件，可证数列是“平方递推数列”；令，进而有从而可证数列为等比数列；由知，数列是以为首项，2为公比的等比数列，故可求；（2）两边同乘以整理得，两边取对数得：，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列的通项【详解】解：（1）由条件，得，数列是“平方递推数列”；令，则，数列是等比数列；由知，；（2），两边取对数得：，数列是以为首项，3为公比的等比数列，

10、.22（多选）已知数列满足，则下列结论正确的有（）A为等比数列B的通项公式为 C为递增数列D的前n项和【答案】ABD【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.【详解】因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B正确；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.故选：ABD.23已知数列的前项和为，数列满足，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)对于，试比较与的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由数列的前项和为，

11、利用，能求出；（2）由，两边取倒数得，从而得到是以首项为，公比为2的等比数列，由此能求出 ；（3）将问题转化为证明成立，利用数学归纳法、二项式定理或函数的知识证明即可.【详解】（1）当时，； 当时，经检验，时，也符合上式，所以数列的通项公式为；（2）易知，两边取倒数得，整理得，是以首项为，公比为2的等比数列，；（3）由（1）（2）问可知，欲比较与的大小，即比较与的大小.当时，有；当时，有；当时，有，猜想，下面证明:方法一：当时，所以对于任意的都成立，所以.方法二：令，则令则，当时，即在单调递增，在单调递增，所以，所以，即，所以对于任意的都成立，所以.方法三：下面用数学归纳法证明当时，显然成立；

12、当时，显然成立；假设时（，猜想成立，即成立，那么当时，因为，对任意的且上式都大于0，所以有，综上所述，对于任意的都成立，所以.5.已知求通项公式24数列的前项和记为，若，则 .【答案】【分析】根据的关系即可求解.【详解】解：当时，有，但当时，不适合上式，故.故答案为:.25（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A数列是递减数列B数列是等差数列C当时，D数列有最大项，没有最小项【答案】ACD【分析】根据的关系可得通项公式，然后可以判断ABC；求出，根据单调性可判断D.【详解】当时，又，所以，则是递减数列，故A正确，B错误；当时，故C正确；是递减数列，故D正确.故选：ACD26等差数

13、列的前项和记为，满足，则数列的公差为（）ABCD【答案】D【分析】根据题意求出，然后求解公差即可；【详解】因为,所以，令解得：解得：又因为为等差数列，由此解得：故选：D27已知数列的前项和为，则数列的通项 【答案】【分析】构造并证其为等差数列，写出通项公式，应用求数列通项公式即可.【详解】由，而，故是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，则，又且，显然也满足上式，所以.故答案为：28已知数列的前项和(1)求；(2)设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小整数值【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用与的关系求解；（2）利用裂项相消求和法求出，进而可得答案【详解】（1）当时，当时，作差得，故

14、（2）当时，当时，所以当时，又，要使对任意恒成立，则，故的最小整数值为329设数列满足(1)求数列的通项公式.(2)若数列的前n项和为，求.【答案】(1)=(2)【分析】(1)由，求出时的通项公式，再检验是否满足所求通项公式即可;(2)由得到列项相消进行求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，则即又当时，则，满足故（2）由(1)可知所以6.已知或者求通项公式30（多选）已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是（）ABCD【答案】AC【分析】利用可直接求出判断A；再得出与的关系式，判断出数列的特征，即可判断B；再求出前项和即可判断C；根据即可判断D.【详解】因为，所以，A正确；两式相减可得，则

15、，时，不符合，所以从第项起，是公比为的等比数列，所以，B错误；则，C正确；则，D错.故选：AC31设是数列的前项和，已知且，则（）A101B81C32D16【答案】B【分析】分类讨论和，构造，化简得到通项公式即可求解.【详解】时，时，由得：，且n=1时也满足，故是首项为1，公比为3的等比数列，故选：B.32记数列的前n项和为，对任意，有(1)证明：为等差数列；(2)求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，令得到，令最终得到，结合等差数列定义即可证明；（2）根据等差数列定义得到，结合裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，所以，当时，两式相减得，即，即，因为，

16、所以为常数，所以是首项为2，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，所以数列的前n项和为.33已知数列的前项和为，且，是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）推导出，则，两式相减得，再由累乘法能求出的通项公式；（2）分奇数偶数两种情况讨论，利用并项求和能求出.【详解】（1）由题意可知，整理可得，则由可得，整理可得，因为，所以由累乘法可得，因为，所以，（2）当为偶数时，当为奇数时，所以，.34已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】

17、（1）由与的关系式即可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；（2）由等差数列的前n项和公式求出，再由裂项相消法可证明，即可求出实数的取值范围.【详解】（1），当时，解得.当时，即，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，.（2）因为，所以当时， ，实数的取值范围为.35（多选）已知数列的前n项和为，且满足，则（）ABC数列为等差数列D为等比数列【答案】ABC【分析】由可递推得的通项公式，一一判定即可.【详解】由得，两式相减得，又当时，则，故为首项是1，公差为的等差数列，即.显然A、C正确；，故B正确；由通项公式易得，三者不成等比数列，故D错误故选：ABC7.“和”型和

18、“积”型36已知数列是等差数列，其前n和为，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)数列满足求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列基本量相关运算直接得到的通项公式，结合已知等式令得到第二个等式，两式相减并验证的情况得到的通项公式；（2）先写出通项公式，再结合裂项相消法、等比公式求和公式，运用分组求和的方法求解答案.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，因为，所以，即，解得，所以当时，可得，所以，当时，适合，所以（2）由（1）可得，n为奇数时，n为偶数时，.37已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，则数列的前项和 【答案】【分析】根据，作差得到，即可求

19、出的通项公式，再记，当时，即可得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，再利用等边求和公式计算可得.【详解】因为，当时，解得，当时，两式相减可得，即，所以，故数列是以为首项、为公比的等比数列，故记，故当时，即，故，因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，故故答案为：38在，且.这两个条件中任选一个补充在下面问题的横线上，并解答.已知数列的前项和为，且满足_.(1)求数列的通项；(2)求数列前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）若选：将看为数列的前项和，根据和与项的关系推得，即可得出.检验，即可得出通项公式；若选：根据与的关系，推得.检验即可得出为等比数列，写出等比数列的通项公式，

20、即可得出答案；（2）设，根据错位相减法，即可得出答案.【详解】（1）若选：当时，；当时，上式相减得，所以.显然满足，所以，.若选：当时，又，所以.当时，两式相减得，即，整理可得.又满足该式，所以，所以数列成等比数列，所以，.（2）令，两式相减得，所以，.39在；两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答.已知数列的前项和为，若_.(1)求数列的通项公式；(2)当，时，求区间上所有整数的和的表达式.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推关系，得到时的表达式，相减或者相除即可求解，验证即可，（2）根据等差数列的求和公式即可求解.【详解】（1）选

21、：，时，两式相减得，即，又当时，满足上式，.选：，时，两式相除得，当时，满足上式，.（2）由（1）可知，上所有整数依次为，它们构成首项为，公差为1的等差数列，且项数为，所以40已知数列满足，若，则数列的前n项和 .【答案】【分析】变形给定的等式，利用数列前n项和与第n项的关系求出，再利用裂项相消法求和作答.【详解】数列中，由，得，当时，两式相减得，整理得，而满足上式，因此，所以.故答案为：【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的41已知数列为正项等比数列，数列满足，(1

22、)求；(2)设的前n项和为，证明：【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据前项和的定义，结合题意以及等比数列的定义，可得答案；（2）根据前项和的定义，结合数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用错位相减法，可得答案.【详解】（1）令，当时，由，则；当时，由，则.由数列为正项等比数列，设其公比为，则，所以.（2）证明：当时，则，显然时也成立，所以.，两式相减可得：，解得，因为，所以.8.因式分解型求通项42已知数列各项均为正数，且.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知条件因式分解变形，结合条件得，可知数列为等差数列，利用等差数列

23、通项公式求解即可；（2）由（1）将带入化简，写出前项和的表达式，根据条件及性质求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以所以，因为各项均为正数，所以，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，所以数列的通项公式为.（2）因为所以，则，因为，故，所以，又，所以，所以的取值范围为.43已知正项数列满足，设(1)求，；(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；(3)的通项公式，并求其前项和为【答案】(1)，(2)是，理由见解析(3)，【分析】（1）对等式进行因式分解可得递推关系，判断数列为等比数列，得到通项公式，代入求出的通项公式，即可求出结果；（2）由（1）中的通项公式作差即可证明；（3）由等差数列前

24、项和公式可求出结果.【详解】（1），当时，可得，则或，因为为正项数列，所以.数列为首项为1，公比为2的等比数列，可得；，；（2）数列为等差数列，理由：，则数列为首项为0，公差为1的等差数列；（3），前项和为44已知正项数列满足.求的通项公式；【答案】【分析】将所给等式因式分解后再用累乘法求解.【详解】由可得：，因为为正项数列，所以，所以，则，将这个式子相乘，则，又因为，所以45已知正项数列满足，且，求的通项公式【答案】【分析】通过因式分解可得，由累乘法可得的通项公式【详解】由已知，得，因为数列是正项数列，所以，即，故累乘得，又也满足上式故的通项1已知数列的前n项和为，则（）A20B19C18D

25、17【答案】B【分析】由，可得数列的通项公式，即可求得本题答案.【详解】因为，所以 ，当时， ，-得，所以，又，得，所以是等差数列，公差，又，所以，则.故选：B2已知数列的前项和为，且满足，则（）A1458B1460C2184D2186【答案】A【分析】根据的关系确定数列为等比数列，利用等比数列的前项和公式求解即可.【详解】由，可得，两式相减可得，即，当，所以数列从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列，所以，故选:A.3历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理、准晶体结

26、构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（）ABCD【答案】B【分析】列举数列，得到数列的周期为6求解.【详解】解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，所以该数列的周期为6，所以，故选：B4设是数列的前n项和，且，则（）ABCD【答案】C【分析】根据等差数列中，化简表达式，再同时除以即可得到等差数列；求出的通项公式后，再取倒数即可得到的表达式，最后计算即可得答案.【详解】解：由已知得，两边同时除以，得，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以故选：C5已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：，数列的前

27、项和为，则的值为（）A454B450C446D442【答案】A【分析】由已知可得，进而根据已知可推出当时，.进而得出，求出前5项，相加即可得出答案.【详解】由题意可得：.又，当时，-可得：，所以.又时，可得，显然满足，所以.所以.故选：A.6已知数列满足，则的通项公式为（）ABCD【答案】B【分析】由题中等式，可得，再结合时，可得.【详解】当时，有，所以，当时，由，两式相减得，此时，也满足，所以的通项公式为.故选：B.7已知是各项均为正数的数列的前项和，若对恒成立，则实数的最大值为（）AB16CD32【答案】D【分析】根据，求出和的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可求解得出.【详解

28、】，数列是首项为、公比为2的等比数列，解得或（舍），即恒成立，当且仅当即时取等号，.故选：.8如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，设各层球数构成一个数列，则（）ABCD【答案】B【分析】由累加法可得，求出，可得答案.【详解】由题意可得，时，以上各式相加可得，所以，且，所以，所以，则.故选：B.9（多选）设是数列的前项和，且，则（）A数列为等差数列BCD【答案】ABC【分析】由题设可得，应用等差数列的定义判断，并写出其通项公式，再由关系求的通项公式，即可判断各项的正误.【详解】由

29、题设，则，故，又，则是首项、公差均为的等差数列，故，则，当时，而不满足，所以，由且，则，综上，A、B、C正确，D错误.故选：ABC10（多选）已知数列满足，令，则（）AB数列是等差数列C为整数D数列的前2022项和为4044【答案】ABD【分析】由已知当时，求得，当时，由，得，两式相减化简，再利用累乘法可求得，从而可判断A，可求出，从而可判断BC，将代入中化简，然后利用分求和法求解即可判断D，【详解】因为，所以当时，故.当时，由，得，所以，整理，所以，所以，所以，所以A正确，所以，所以，所以为等差数列，所以B正确，所以不是整数，所以C错误，设数列的前n项和为，则.因为，所以.故，所以D正确，故

30、选：ABD11（多选）设数列的前n项和为，若，则（）ABC是等比数列D是单调递增数列【答案】ABD【分析】A选项，根据，赋值法求出，A正确；C选项，利用构造法得到，又，从而C错误；B选项，求出，进而得到，当时，分两种情况判断得到，B正确；D选项，比较出，结合作差法得到当时，从而证明出结论.【详解】A选项，中，令得：，即，因为，所以，A正确；C选项，当时，两式相减得：，即，设，则，所以，故，又，故当时，为等比数列，公比为2，C错误；B选项，当时，故，所以，当时，当时，当时，当时，由于，故，综上：，B正确；D选项，当时，当时，当时，又当时，故当时，综上：是单调递增数列，D正确.故选：ABD12（多

31、选）已知是数列的前项和，则（）ABCD【答案】BD【分析】由，可求得，时，两式相减可得，即可判断A；由，可得，两式相减即可判断C；由，可得，从而可求得数列的通项公式，即可判断B，求出即可判断D.【详解】因为，所以当时，因为，所以，当时，所以，当时，两式相减得，当时，所以，故A错误；因为，所以，当时，所以，故C错误；因为，所以，因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以，故B正确；，所以，故D正确.故选：BD.13已知数列满足首项，则数列的前2n项的和为_【答案】【分析】当为奇数时，由递推关系得，构造为等比数列，可求出通项，结合即可分组求和.【详解】当为奇数时，即，此时为以为

32、首项，公比为3的等比数列，故，即.故答案为：【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当为奇数或为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n项的和14已知数列满足，则_【答案】【分析】变换得到，计算，确定是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.【详解】设，令得，所以；故，所以；，所以是首项为，公比为的等比数列，从而，故故答案为：.15对于集合的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数例如集合的交替和是，集合的交替和为5当集合N中的时，集合的所有非空子集为，则它的“交替和”的总和，请你尝试

33、对、的情况，计算它的“交替和”的总和、，并根据其结果猜测集合的每一个非空子集的“交替和”的总和_【答案】【分析】根据“交替和”的定义：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和、，并根据其结果猜测集合的每一个非空子集的“交替和”的总和即可【详解】由于，当时；根据前4项猜测集合，2，3，的每一个非空子集的“交替和”的总和故答案为：.16已知数列，且满足，(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据条件，得到数列为常数列，再求通项即可；【详解】（1）因为，所以.因为，所以数列为常数列，所以即所求数列的通项公式为17已知数列满足(1)求数列的通项公式；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两式相减可得结果；（2）将不等式恒成立化为对恒成立，再利用数列的单调性求出右边的最小值即可得解.【详解】（1）当时，得，当时，整理得，即，又时，也适合上式，故.（2）若不等式对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则，则为递增数列，所以当时，取得最小值，所以.