专题突破练21　圆锥曲线的定义、方程与性质.docx

1、专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质一、单项选择题1.(2021湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为178,则m的值为() A.1B.2C.12D.142.(2021四川成都七中月考)双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则其离心率为()A.3B.32C.5D.523.(2021新高考,5)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.64.(2021贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若

2、AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于()A.4B.6C.8D.105.(2021广东佛山二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1PF2,若PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于()A.3B.2C.23D.4二、多项选择题6.(2021江苏南通适应性联考)已知RtABC中有一个内角为3,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是()A.3+1B.2C.3D.2+37.(2021广东佛山模拟)已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F

3、2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为53B.双曲线的渐近线方程为3x4y=0C.PF1F2的周长为30D.点P在椭圆x2100+y275=1上8.(2021重庆调研)如图所示,用一束与平面成60角的平行光线照射半径为3的球O,在平面上形成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的()A.长轴长为3B.离心率为12C.焦距为2D.面积为39.(2021山东青岛三模)已知曲线C:x29+y2m=1,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法正确的是()A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为3B.若曲线C的离心率e=2,则m=-27C.若m=3,则

4、曲线C上不存在点P,使得F1PF2=2D.若m=3,P为C上一个动点,则PF1F2面积的最大值为32三、填空题10.(2021江苏南通一模)已知抛物线C:y=18x2上的点M到焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为.11.(2021湖北十五中学联考体联考)x29+y22=1的焦点为F1,F2,点在椭圆上,若|PF1|=4,则F1PF2的大小为.12.(2021湖南怀化模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交E于P,Q两点,且PF2F2Q,且SPF2Q=12a2,|PF2|+|F2Q|=4,则E的标准方程为.13.(2021北京昌平二模)已

5、知抛物线C:y2=4x与椭圆D:x2a2+y2b2=1(ab0)有一个公共焦点F,则点F的坐标是;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB是直角三角形,则椭圆D的离心率e=.14.(2021福建厦门外国语学校月考)点P在椭圆C1:x24+y23=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为.专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质1.B解析 由题意,知抛物线y=mx2(m0)的准线方程为y=-14m,根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-14m的距离,可得2+14m=178,解得m=2.2

6、.D解析 因为x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,所以ba=12.故b2a2=c2-a2a2=14,解得c2a2=54,所以e=52.3.C解析 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|MF1|MF2|MF1|+|MF2|2=3,则|MF1|MF2|9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|MF2|的最大值为9.4.C解析 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2

7、|MN|=2(x0+1).直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB的中点M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m=2,解得m=1.直线AB的方程为x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2(3+1)=8.5.D解析 如图,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率等于2,e=ca=2,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为ba=c2-a2a2=3,A为双曲线的右顶点,P在双

8、曲线的渐近线上,且PF1PF2,所以P(a,b),PAF1的面积为3a,可得12(a+c)b=3a,解,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.6.ACD解析 当C=3时,e=ABBC-AC=321-12=3;当B=3时,e=ABAC-BC=132-12=3+1;当A=3时,e=ABAC-BC=121-32=3+2.7.BCD解析 双曲线的标准方程为x216-y29=1,a=4,b=3,则c=5,离心率e=ca=54,A错误;渐近线方程为x4y3=0,即3x4y=0,B正确;|PF1|=62a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,PF1F2的周长为30,C正确;|PF1|+|PF2|=20,因

9、此P在椭圆x2100+y275=1(此椭圆是以F1,F2为焦点,长轴长为20的椭圆)上,D正确.8.BC解析 由题意知,OBAB,OB=3,BAO=60,OA=OBsinBAO=332=2,椭圆C长轴长2a=2OA=4,A错误;椭圆C的短轴长为球O的直径,即2b=23,b=3,c=a2-b2=4-3=1,椭圆C的焦距为2c=2,C正确;椭圆C的离心率e=ca=12,B正确;由图可知:椭圆C的面积大于球O大圆的面积,又球O大圆的面积S=3,故椭圆C的面积大于3,D错误.9.ABD解析 对于A选项,当m=-3时,曲线C:x29-y23=1表示焦点在x轴上的双曲线,渐近线方程为y=33x,故渐近线的

10、倾斜角分别为6,56,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为3,故A选项正确;对于B选项,离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-a2=36-9=27,所以m=-27,故B选项正确;对于C选项,若m=3,则曲线C:x29+y23=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6.设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,3),则cosF1MF2=a2+a2-4c22a2=-618=-130,故F1MF2为钝角,所以曲线C上存在点P,使得F1PF2=2,故C选项错误;对于D选项,若m=3,则曲线C:x29+y23=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a

11、2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,则PF1F2面积的最大值为Smax=122cb=12263=32,故D选项正确.10.26解析 抛物线C的方程可化为x2=8y.设M(x0,y0),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5,从而y0=3.将y0=3代入x2=8y,可得|x0|=26,所以点M到y轴的距离为26.11.23解析 由椭圆x29+y22=1可得a=3,b=2,c=7.根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=27,所以4+|PF2|=2a=6,解得|PF2|=2.在F1PF2中,由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|2+|PF

12、2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=16+4-28242=-12,所以F1PF2=23.12.x24+y22=1解析 如图所示,连接PF1,QF1,因为OP=OQ,OF1=OF2,所以四边形PF1QF2是平行四边形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,又因为PF2F2Q,所以平行四边形PF1QF2是矩形.设PF1=m,PF2=n,由题意得m+n=2a=4,m2+n2=4c2,12mn=12a2,解得a=2,c=2,则b2=a2-c2=2,故E的标准方程为x24+y22=1.13.(1,0)5-12解析 由抛物线的方程,得其焦点坐标为(1,0),所以抛物线C与椭圆D的公共焦点为F(1,0

13、),且抛物线准线方程为x=-1,椭圆左焦点为(-1,0),联立x=-c与椭圆x2a2+y2b2=1,可得|yA|=|yB|=b2a,因为AOB是直角三角形,所以b2a=c,即b2=ac.又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,左、右同除以a2,可得e2+e-1=0,解得e=-152,又e(0,1),所以椭圆D的离心率e=5-12.14.25-6解析 记椭圆C1:x24+y23=1的左焦点为E(-1,0),由椭圆的定义可得,|PE|+|PF|=2a=4,所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,即圆C2的圆心为(-3,4),半径为r=2,作出图形如下:由圆的性质可得,|PQ|PC2|-r=|PC2|-2,|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4|PC2|+|PE|-6|EC2|-6=(-3+1)2+42-6=25-6(当且仅当C2,Q,P,E四点共线时,等号成立).