专题训练　巧用抛物线的对称性解题.docx

1、专题训练巧用抛物线的对称性解题类型之一利用对称性求交点1如图3ZT1，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x1，且经过点P(3，0)，则abc的值为()A0 B1 C1 D2图3ZT1 图3ZT22如图3ZT2，菱形ABCD的三个顶点在二次函数yax22ax(a0)的图像上，A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为_3如图3ZT3，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x2.点C在抛物线上，且位于点A，B之间(点C不与点A，B重合)若ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为_(用含a的式子表示)图3ZT

2、34已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为(1，4)，抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，求此抛物线的表达式类型之二利用对称性求对称轴5已知抛物线yax2bxc与x轴的公共点的坐标是(4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线_6如图3ZT4，已知二次函数yx2bxc的图像经过点(1，0)，(2，0)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_图3ZT47已知抛物线yx2(6)xm3与x轴有两个公共点A，B，且点A，B关于y轴对称求此抛物线的表达式类型之三利用对称性判断函数值的大小8已知在二次函数yax2bxc中，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014点A(

3、x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图像上，则当1x12，3x24时，y1与y2的大小关系正确的是()Ay2y1 By1y2y1Cy2y3y1 Dy1y3y211如图3ZT5，二次函数yax2bxc的图像过原点O与点A(3，0)(1)判断b的符号，并求出c的值和该二次函数图像的顶点的横坐标；(2)若M(m，y1)，N(mn，y2)(n0)是该二次函数图像上的两点，当y1y2时，求m，n之间的数量关系图3ZT5类型之四利用对称性求面积12如图3ZT6，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx22x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为()A2 B4 C8 D16图3ZT6

4、 图3ZT713二次函数yx2的图像如图3ZT7所示，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数yx2的图像上，四边形OBAC为菱形，且OBA120，则菱形OBAC的面积为_类型之五利用对称性解决线段和最小问题14如图3ZT8，二次函数的图像经过点D(0， )，且顶点C的横坐标为4，该图像在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的表达式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标图3ZT8152019枣庄如图3ZT9，已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为点B.(1)若直线ymxn

5、经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标图3ZT9教师详解详析1A解析 因为该抛物线的对称轴为直线x1，且经过点(3，0)，所以由其对称性可知该抛物线也经过点(1，0)，所以当x1时，abc0.2(2，)解析 抛物线yax22ax的对称轴是直线x1，与y轴的交点坐标是(0，)，点B的坐标是(0，)菱形ABCD的三个顶点在二次函数yax22ax(a0)的图像上，A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，点B与点D关于直线

6、x1对称，点D的坐标为(2，)3a4解析 因为二次函数图像的对称轴为直线x2，所以OB4，AOAB.因为ABC的周长ABBCCAa，四边形AOBC的周长AOOBBCCAABBCCAOBa4.4解：设抛物线的表达式为ya(x1)24.因为抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，对称轴为直线x1，所以(2，0)是抛物线与x轴的一个交点把(2，0)代入ya(x1)24，解得a，则y(x1)24x2x，所以抛物线的表达式为yx2x.5x1解析 抛物线与x轴的公共点为(4，0)，(2，0)，两公共点关于抛物线的对称轴对称，此抛物线的对称轴是直线x1，即x1.6x解析 由抛物线经过点(1，0)，(2，0)，可

7、知抛物线的对称轴为直线x，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x.7解：因为A，B是抛物线与x轴的公共点，且点A，B关于y轴对称，所以抛物线的对称轴为y轴，即直线x0.解得m6或m6.当m6时，抛物线的表达式为yx23.此时，b24ac024()360，方程x230有两个不相等的实数根，抛物线yx23与x轴有两个公共点，符合题意当m6时，抛物线的表达式为yx29.此时，b24ac024()(9)180，方程x290没有实数根，抛物线yx29与x轴没有公共点，不符合题意，舍去因此，抛物线的表达式为yx23.8B解析 由表格中的数据可以看出，当x1时，y1，当x3时，y1，所以抛物线的对称轴是直

8、线x2.当x2时，y0，故抛物线的顶点坐标是(2，0)当x0时，y4，所以c4，由此可判断抛物线的开口向上，因此当1x12，3x24时，y1y2.9A解析 抛物线过A(2，0)，O(0，0)两点，抛物线的对称轴为直线x1.a0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知点D离对称轴比点C离对称轴远，y1y2.故选A.10A解析 因为a0，所以二次函数图像的开口方向向下又因为yx27x(x7)232，所以抛物线的对称轴为直线x7.当x0，c0，该二次函数图像的顶点的横坐标为.(2)M(m，y1)，N(mn，y2)(n0)是该二次函数图像上的两点，且y1y2，点M，N关于对称轴对称，即，2

9、mn3.12B132 解析 本题考查二次函数、菱形的相关知识连接CB交OA于点D.因为四边形OBAC是菱形，所以CDBD，ADOD，OABC.因为OBA120，所以OBD60，BOD30.设B(x，y)，因为点B在抛物线yx2上，所以B(x，x2)，即BDx，ODx2，tanBOD，即，所以x1，所以BD1，OD，所以OA2 ，BC2，所以菱形OBAC的面积为AOBC2 .14解：(1)设二次函数的表达式为ya(xh)2k.顶点C的横坐标为4，且过点(0， )，ya(x4)2k， 16ak.又对称轴为直线x4，图像在x轴上截得的线段长为6，A(1，0)，B(7，0)，把点A(1，0)代入，得0

10、9ak.由解得a，k，二次函数的表达式为y(x4)2.(2)点A，B关于直线x4对称，PAPB，PAPDPBPDDB，当点P在线段DB上时，PAPD取得最小值，直线DB与对称轴的交点即为所求的点P.设直线x4与x轴交于点M.PMOD，BPMBDO.又PBMDBO，BPMBDO，PM，点P的坐标为(4，)15解：(1)依题意，得解得抛物线的表达式为yx22x3.对称轴为直线x1，且抛物线经过点A(1，0)，B(3，0)把点B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn，得解得直线BC的函数表达式为yx3.(2)设直线BC与对称轴的交点为M，则此时MAMC的值最小把x1代入yx3，得y2，M(1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为(1，2)(3)设P(1，t)B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.综上所述，点P的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，)或(1，)