中考数学专题讲练 线段最值问题二(教师版).docx

1、线段最值问题（二）一利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型：1如图，直线和的异侧两点、，在直线上求作一点，使最小2如图，直线和的同侧两点、，在直线上求作一点，使最小3如图，直线和同侧两点、，在直线上求作一点，使最大4如图，直线和异侧两点、，在直线上求作一点，使最大5如图，点是内的一点，分别在，上作点、，使的周长最小6如图，点，为内的两点，分别在，上作点、，使四边形的周长最小7如图，点是外的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小8如图，点是内的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小9造桥选址问题二利用二次函数求最值利用二次

2、函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值一考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三易错点：1利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到题模一：利用轴对称求

3、最值例1.1.1 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（3，），（1，），点D、E的坐标分别为（m，m），（n，n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是_【答案】 4【解析】 如图所示：点D、E的坐标分别为（m，m），（n，n）（m、n为非负数），直线OD的解析式为y=x，直线OE的解析式y=x，设点C关于直线OE的对称点C所在直线CC的解析式为y=x+b，把C的坐标（1，）代入可得+b=，解得b=2，故直线CC的解析式为y=x+2，联立直线OE的解析式和直线CC的解析式可得，解得故交点坐标为（1.5， ），点C坐标为（2，0），设点B关于直线OD的对称点B所在

4、直线BB的解析式为y=x+b，把B的坐标（3， ）代入可得+b=，解得b=2，故直线BB的解析式为y=x+2，联立直线OD的解析式和直线BB的解析式可得，解得，故交点坐标为（1.5，），点B坐标为（0，2），则BC=4，即CE+DE+DB的最小值是4例1.1.2 已知抛物线经过点A（4，0）设点C（1，3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|ADCD|的值最大，则D点的坐标为_【答案】 （2，6）【解析】 抛物线经过点A（4，0），42+4b=0，b=2，抛物线的解析式为：y=x22x=（x2）22，抛物线的对称轴为：直线x=2，点C（1，3），作点C关于x=2的对称点C（3，3），直线A

5、C与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个ADC而在三角形中，两边之差小于第三边，即|ADCD|AC所以最大值就是在D是AC延长线上的点的时候取到|ADCD|=AC把A，C两点坐标代入，得到过AC的直线的解析式即可；设直线AC的解析式为y=kx+b，解得： ，直线AC的解析式为y=3x12，当x=2时，y=6，D点的坐标为（2，6）例1.1.3 如图，AOB=45，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一动点Q，OB上有一动点R若PQR周长最小，则最小周长是（）A 10B 10C 20D 2【答案】B【解析】 如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB

6、的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时PQR周长最小，连接P1O、P2O，则AOP=AOP1，OP1=OP，BOP=BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，P1OP2=2AOB=245=90，所以，P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P2=OP1=10，即PQR最小周长是10故选B例1.1.4 如图，在锐角ABC中，AB=6，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）A

7、 B 6C D 3【答案】C【解析】 如图，作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MNAB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值AD是BAC的平分线，MH=MN，BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），AB=6，BAC=45，BH=ABsin45=6=3BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3例1.1.5 如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=_A 6B 8C 10D 12【答案】B【解析】 作点A关于直线a

8、的对称点A，并延长AA，过点B作BEAA于点E，连接AB交直线b于点N，过点N作NM直线a，连接AM，A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，AA=MN=4，四边形AANM是平行四边形，AM+NB=AN+NB=AB，过点B作BEAA，交AA于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=2，AE=2+3=5，在RtAEB中，BE=，在RtAEB中，AB=8故选：B题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB（1

9、）求该抛物线的解析式；（2）当PDB的面积等于CAD的面积时，求点P的坐标；（3）当m0，n0时，过点P作直线PEy轴于点E交直线BC于点F，过点F作FGx轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值【答案】 （1）y=x2+x+2（2）（1，3）、（2，3）、（5，3）或（2，3）（3）【解析】 （1）把A（1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得解得抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）抛物线的解析式为y=x2+x+2，点C的坐标是（0，2），点A（1，0）、点D（2，0），AD=2（1）=3，CAD的面积=，PDB的面积=3，点B（4，0）、点

10、D（2，0），BD=2，|n|=322=3，n=3或3，当n=3时，m2+m+2=3，解得m=1或m=2，点P的坐标是（1，3）或（2，3）当n=3时，m2+m+2=3，解得m=5或m=2，点P的坐标是（5，3）或（2，3）综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，3）或（2，3）（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），解得BC所在的直线的解析式是：y=x+2，点P的坐标是（m，n），点F的坐标是（42n，n），EG2=（42n）2+n2=5n216n+16=5（n）2+，n0，当n=时，线段EG的最小值是：，即线段EG

11、的最小值是例1.2.2 如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BDDE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得BDM的周长为最小，并求BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得PAD的面积最大？若存在，请求出PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）y=2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）

12、【解析】 （1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=2x2+6x（2）如图1所示；BDDE，BDE=90BDC+EDO=90又ODE+DEO=90，BDC=DE0在BDC和DOE中，BDCDEOOD=AO=1D（0，1）（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B，连接BD交抛物线的对称轴与点Mx=，点B的坐标为（2，4）点B与点B关于x=对称，MB=BMDM+MB=DM+MB当点D、M、B在一条直线上时，MD+MB有最小值（即BMD的周长有最小值）由两点间的距离公式可知：BD=，DB=，BDM的最小值=+设直线BD的解析式为y=kx

13、+b将点D、B的坐标代入得：，解得：k=，b=1直线DB的解析式为y=x+1将x=代入得：y=M（，）（4）如图3所示：过点F作FGx轴，垂足为G设点F（a，2a2+6a），则OG=a，FG=2a2+6aS梯形DOGF=（OD+FG）OG=（2a2+6a+1）a=a3+3a2+a，SODA=ODOA=11=，SAGF=AGFG=a3+4a23a，SFDA=S梯形DOGFSODASAGF=a2+a当a=时，SFDA的最大值为点P的坐标为（，）例1.2.3 如图，M的圆心M（1，2），M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x

14、轴上点D（2，0）和点C（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PFy轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】 见解析【解析】 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x2）（x+4），将点M的坐标代入得：9a=2，解得：a=抛物线的解析式为y=x2x+（2）连接AM，过点M作MGAD，垂足为G把x=0代入y=x+4得：y=4，A（0，4）将y=0代入得：0=x+4，解得x=8，B（8，0）OA=4，OB=8M（1，2）

15、，A（0，4），MG=1，AG=2tanMAG=tanABO=MAG=ABOOAB+ABO=90，MAG+OAB=90，即MAB=90l是M的切线（3）PFE+FPE=90，FBD+PFE=90，FPE=FBDtanFPE=PF：PE：EF=：2：1PEF的面积=PEEF=PFPF=PF2当PF最小时，PEF的面积最小设点P的坐标为（x，x2x+），则F（x，x+4）PF=（x+4）（x2x+）=x+4+x2+x=x2x+=（x）2+当x=时，PF有最小值，PF的最小值为P（，）PEF的面积的最小值为=（）2=随练1.1 四边形ABCD中，BAD=130，B=D=90，在BC、CD上分别找一点

16、M、N，使三角形AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数为（）A 80B 90C 100D 130【答案】C【解析】 延长AB到A使得BA=AB，延长AD到A使得DA=AD，连接AA与BC、CD分别交于点M、N，此时AMN周长最小，推出AMN+NM=2（A+A）即可解决延长AB到A使得BA=AB，延长AD到A使得DA=AD，连接AA与BC、CD分别交于点M、NABC=ADC=90，A、A关于BC对称，A、A关于CD对称，此时AMN的周长最小，BA=BA，MBAB，MA=MA，同理：NA=NA，A=MAB，A=NAD，AMN=A+MAB=2A，ANM=A+NAD=2A，AMN+ANM=2（A+A

17、），BAD=130，A+A=180BAD=50MAMN+NM=250=100故选C随练1.2 如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是，B点的坐标是，在x，y轴上分别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值【答案】 如图所示：四边形PABQ的周长最短，A点的坐标是，B点的坐标是，故，则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】 利用作B点关于y轴对称点，作A点关于x轴对称点，进而连接，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案随练1.3 如图，已知，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ON上找一点P使的值最大，求P点到O点的距离【答案】 因为A、B

18、在OM上，要使的值最大，P应在OM上，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0【解析】 根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处的值最大，从而求得P点到O点的距离随练1.4 小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得的值最小小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：作点A关于直线l的对称点连结，交直线l于点P则点P为所求请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在中，点D、E

19、分别是AB、AC边的中点，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得的周长最小在图1中作出点P（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）请直接写出周长的最小值_（2）如图2在矩形ABCD中，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值_【答案】 （1）见解析8（2）【解析】 该题考查的是将军饮马问题（1）如图1，作D关于BC的对称点，由轴对称的性质可知，当、P、E共线时最小，即P为与BC的交点，1分此时，由D、E分别为

20、AB、AC中点，DE/BC且，且D到BC距离为A到BC距离一半，即为2，由轴对称的性质可知，即为D到BC距离两倍，所以，DE/BC，在Rt中，由勾股定理，；2分（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取，则CH和EF平行且相等，四边形CHEF为平行四边形，由轴对称的性质可知，当M、E、H共线时最小，连接HM与AB的交点即为E，在EB上截取即得F，4分此时，在RtDHM和RtDGC中由勾股定理：5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若抛物

21、线经过A、B两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）y=x2+2x1；（2）见解析；（3）当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2【解析】 （1）等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3）点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1

22、，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x1（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，PMx轴，交于M点，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直线AC的解析式为y=x1，直线的斜率为1，PPM是等腰直角三角形，PP=，PM=PM=1，抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，y=x2+2x1=（x2）2+1，平移后的抛物线的解析式为y=（x3）2+2，令y=0，则0=（x3）2+2，解得x1=1，x=52，平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解，得或平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点

23、（1，0）（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ，取AB中点F，连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB=2当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2随练1.6 如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且ADBCx轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的

24、取值范围；（3）如图2，过点F作FMx轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PNy轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值【答案】 （1）y=（x2）2+2=x2x+3；（2）S=m3（2m6）；（3）m=时，MN最小=【解析】 （1）过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（2，2），点C的横坐标为4，BC=4，四边形ABCD为平行四边形，AD=BC=4，A（2，6），D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x2）2+2，点D在此抛物线上，6=a（62）2+2，a=，抛物线解析式为y=（x2）2+2=x2x+

25、3，（2）ADBCx轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）E（，3），BE=，S=（AF+BE）3=（m2+）3=m3点F（m，6）是线段AD上，2m6，即：S=m3（2m6）（3）抛物线解析式为y=x2x+3，B（0，3），C（4，3），A（2，6），直线AC解析式为y=x+9，FMx轴，垂足为M，交直线AC于PP（m，m+9），（2m6）PN=m，PM=m+9，FMx轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PNy轴，MPN=90，MN=2m6，当m=时，MN最小= 作业1 如图，MON=20，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为

26、射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（ ）A 3B 3C 2D 2【答案】D【解析】 作A关于ON的对称点A，点B关于OM的对称点B，连接AB，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA，OB，则PB=PB，AQ=AQ，OA=OA=2，OB=OB=4，MOB=NOA=MON=20，AQ+PQ+PB=AQ+PQ+PB=AB，AOB=60，cos60=，=，OAB=90，AB=2，线段AQ+PQ+PB的最小值是：2作业2 阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值解：+=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距

27、离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值设点A关于x轴的对称点为A，则PA=PA，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以PA+PB的最小值为线段AB的长度为此，构造直角三角形ACB，因为AC=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值为3根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B_的距离之和（填写点B的坐标）（2）代数式+的最小值为_【答案】 （1）（2，3）（2）10【解析】 （1）原式化为+的形

28、式，代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）原式化为+的形式，所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A，则PA=PA，PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，PA+PB的最小值为线段AB的长度，A（0，7），B（6，1）A（0，-7），AC=6，BC=8，AB=10，故答案为：10作业3 定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高

29、点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”（1）若P(1，2)，Q(4，2)在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是 ；若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标【答案】 （1）A、B（2）见解析（3）Q（，）或Q（，）【解析】 解:（1）A、B2分（2）如图，作点P关于x轴的对称点P，连接PQ，PQ与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段PQ的长. 3分P (1，2)， P (1，2).设直线PQ的表达式为，

30、根据题意，有，解得.直线PQ的表达式为.4分当时，解得.即.5分根据题意，可知PP4，PQ3， PQPP，“等高距离”最小值为5.6分（3）Q（，）或Q（，）.8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点在x轴上，线段OA，OB的长分别为方程x28x+12=0的两个根（OBOA），点C是y轴上一点，其坐标为（0，3）（1）求A，B两点的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点当CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请

31、求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由【答案】 （1）A（2，0），B（6，0）（2）y=（x+2）（x6）=x2x3（3）有；M（0，3）、（0，3）、（0，5）或（0，）M（0，）N（，0）【解析】 （1）x28x+12=0，（x2）（x6）=0，解得：x1=2，x2=6，OBOA，OA=2，OB=6，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0）（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x6）（a0），将C（0，3）代入得：3=12a，解得：a=，经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=（x+2）（x6）=x2x3（3）依据题意画出图形，如图1所示设点M的坐标为

32、（0，m），抛物线的关系式为y=x2x3=（x2）24，点E（2，4），CE=，CM=|m+3|，ME=CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM时，有=|m+3|，解得：m=3或m=3，此时点M的坐标为（0，3）或（0，3）；当CE=ME时，有=，解得：m=3（舍去）或m=5，此时点M的坐标为（0，5）；当CM=ME时，有|m+3|=，解得：m=，此时点M的坐标为（0，）综上可知：当CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（0，3）、（0，3）、（0，5）或（0，）四边形DEMN有最小值作点E关于y轴对称的点E，作点D关于x轴对称的点D，连接DE交x轴于点N，交y轴于点M，此时以D、E、M、N位顶

33、点的四边形的周长最小，如图2所示点C（0，3），点E（2，4），点D（4，3），DE=E、E关于y轴对称，D、D关于x轴对称，EM=EM，DN=DN，点E（2，4），点D（4，3），EM+MN+DN=DE=，C四边形DEMN=DE+EM+MN+DN=+设直线DE的解析式为y=kx+b，则有，解得： ，直线DE的解析式为y=x令y=x中x=0，则y=，点M（0，）；令y=x中y=0，则x=0，解得：x=，点N（，0）故以D、E、M、N位顶点的四边形的周长有最小值，最小值为+，此时点M的坐标为（0，），点N的坐标为（，0）作业5 已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B（1）当

34、AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当AB=2，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示PAB的面积当AB=2，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；当AB=m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大（1）若AB的中点落在y轴上，那么A、B的横坐标互

35、为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A、B的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c的取值范围；（2）由于直线AB的斜率为1，当AB=2时，A、B两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x的方程，那么A、B的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b、c的关系式，即可得到c的最小值以及对应的b的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）在（2）中已经求得了b、c的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y轴，那么c=1，可据此求出b的值；进而可确定抛物线的解析式，过P作PQy轴，交AB于Q，可根据抛物线

36、和直线AB的解析式表示出P、Q的纵坐标，进而可求出PQ的表达式，以PQ为底，A、B横坐标的差的绝对值为高即可求出PAB的面积，进而可得出关于S（t）和t的函数关系式，根据函数的性质即可求出PAB的最大面积及对应的P点坐标；结合（2）以及（3）的方法求解即可（1）由x2+bx+c=x+1，得x2+（b-1）x+c-1=0设交点A（x1，y1），B（x2，y2） （x1x2）AB的中点落在y轴，A，B两点到y轴的距离相等，即A，B两点的横坐标互为相反数，x1+x2=0，故c1；（3分）（2）AB=2，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，直线y=x+1与x轴的夹角为45，AB

37、G为等腰直角三角形，而AB=2，AG=2，即|x1-x2|=2，（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，c=(b-1)20c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）AB=2由(2)知c=(b-1)2成立又抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入，得c-1=0，c=1这一交点为（0，1）；(b-1)2=1b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQy轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2

38、+2t；S（t）=PQAB=-t2+2t=-（t-1）2+1；当t=1时，S（t）有最大值，且S（t）最大=1，此时P（1，1）；当b=3时，y=x2+3x+1，同上可求得：S（t）=PQAB=-t2-2t=-（t+1）2+1；当t=-1时，S（t）有最大值，且S（t）最大=1，此时P（-1，-1）；故当P点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S（t）最大，且最大值为1；同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m2，即b=1m；当b=1+m时，y=x2+（1+m）x+1，P（t，t2+（1+m）t+1），Q（t，t+1）；PQ=t+1-t2+（1+

39、m）t+1=-t2-mt；S（t）=PQAB=（-t2-mt）m=-m（t+）2+m3；当t=-时，S（t）最大=m3，此时P（-m，-+1）；当b=1-m时，y=x2+（1-m）x+1，同上可求得：S（t）=-m（t-）2+m3；当t=m时，S（t）最大=m3，此时P（m，m2+m+1）；故当P（-m，-+1）或（m，m2+m+1）时，S（t）有最大值，且最大值为m3作业6 如图，抛物线y=ax22ax+c过坐标系原点及点B（4，4），交x轴的另一个点为A（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C，使得SABO=SCBO，求出点C的坐标；（3）连结BO交对称轴于点D，以半径为作D

40、，抛物线上一动点P，过P作圆的切线交圆于点Q，使得PQ最小的点P有几个？并求出PQ的最小值【答案】 （1）故抛物线的解析式为： ，对称轴x=1（2）点C的坐标为：C1（2，0），C2（22，42），C3（2+2，4+2）（3）点P有2个，PQ的最小值为【解析】 （1）抛物线y=ax22ax+c过坐标系原点及点B（4，4），解得：，故抛物线的解析式为：，对称轴x=1；（2）当y=0，0=x2x，解得：x1=0，x2=2，故A（2，0），B（4，4），直线BO的解析式为：y=x，作BO的平行线y=x2，则 ，解得：x1=x2=2，则y=0，故C1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x+2，组

41、成方程组： ，解得： ，可得C2（22，42），C3（2+2，4+2），综上所述：点C的坐标为：C1（2，0），C2（22，42），C3（2+2，4+2）；（3）y=x2x=（x1）2+1，可得D（1，1），设P（x，y），由相切得：DQPQ，则PQ2=PD2DQ2，故=，故x=0，2时PQ最小，故点P有2个，PQ的最小值为作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx2与x轴交于点A（3，0）B（1，0），与y轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC为半径的O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）

42、若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出PDE的面积关于x的函数关系式，并写出PDE面积的最大值【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=x2+x2（2）DC=（3）PDE的面积关于x的函数关系式为SPDE=x+2（x0），且PDE面积的最大值为【解析】 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标，根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标，由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90即可得出COMCDE，根据相似三角形的性质即可得出，代入数据即可求出DC的长度；（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，

43、令其y=0，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点P作PPy轴于点P，过点D作DDy轴于点D，通过分割图形求面积法找出SPDE关于x的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出PDE面积的最大值解：（1）将点A（3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx2中，得：，解得：，抛物线的函数解析式为y=x2+x2（2）令y=x2+x2中x=0，则y=2，C（0，2），OC=2，CE=4A（3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，M（1，0），CM=CE为O的直径，CDE=90，COMCDE，DC=（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为y=x2+x2+

44、=x2+x，令y=x2+x中y=0，即x2+x=0，解得：x1=，x2=点P在第三象限，x0过点P作PPy轴于点P，过点D作DDy轴于点D，如图所示（方法一）：在RtCDE中，CD=，CE=4，DE=，sinDCE=，在RtCDD中，CD=，CDD=90，DD=CDsinDCE=，CD=，OD=CDOC=，D（，），D（0，）P（x， x2+x），P（0， x2+x）SPDE=SDDE+S梯形DDPPSEPP=DDED+（DD+PP）DPPPEP=x+2（x0），SPDE=x+2=+，0，当x=时，SPDE取最大值，最大值为故：PDE的面积关于x的函数关系式为SPDE=x+2（x0），且PDE面积的最大值为（方法二）：在RtCDE中，CD=，CE=4，DE=，CDE=CDD=90，DCE=DCD，CDECDD，DD=，CD=，OD=CDOC=，D（，），D（0，）P（x， x2+x），P（0， x2+x）SPDE=SDDE+S梯形DDPPSEPP=DDED+（DD+PP）DPPPEP=x+2（x0），SPDE=x+2=+，0，当x=时，SPDE取最大值，最大值为故：PDE的面积关于x的函数关系式为SPDE=x+2（x0），且PDE面积的最大值为