中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（解析版）.docx

1、中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理一、填空题1如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为，当点D运动到点H，此时线段BE的长为【答案】 【分析】由“SAS”可得ABDCBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ABC，BDE都是等边三角形， BA=BC，BD=BE，ABC=DBE=60， ABD=CBE， 在ABD和CBE中， ABDCBE（SAS）， AD=EC， 点D从点A运动到点

2、H， 点E的运动路径的长为，当重合，而（即）为等边三角形，故答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题2如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为【答案】【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到，从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，作，则即为的最小

3、值，作，可知四边形为矩形，则.故答案为【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键3如图，等边中，O是上一点，且，点M为边上一动点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为【答案】/【分析】过点N作于点D，过点O作于点H，则，证明，可得，从而得到点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N， 即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，求出，即可求解【详解】解：如图，过点N作于点D，过点O作于点H，则，为等边三角形，根据题意得：，点

4、N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N， 即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，ACN的周长的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题4如图，正方形的边长为，点是边上的一动点，连接，将绕点顺时针方旋转后得到，连接，则点在整个运动过程中，线段所扫过的图形面积为【答案】【分析】根据题意画出点在上移动的过程，线段所扫过的面积就是的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等

5、三角形的判定和性质，得出线段所扫过的图形面积，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可【详解】解：如图，当点在点时，相应的点落在点，当点移动到点时，相应的点在点，扫过的面积就是的面积，由题意可知，、都是等边三角形，四边形是正方形，是等边三角形，即是等腰直角三角形，线段所扫过的图形面积，故答案为：【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提5如图，点D是等边边上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转得点E，所得的边与交于点F，则的最小值为 【答案】/【

6、分析】由旋转的性质得为等边三角形，由得到，即，从而得到当最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当时，值最小，作出对应图形，利用“是含角的直角三角形”求出，从而得解【详解】解：由旋转的性质得：，为等边三角形，即为定值，当最小时，比值最小根据“垂线段最短”可知：当时，值最小，过点C作于D，并补全图形如下：是等边三角形，设，则，此时，即的最小值为故答案为：【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将转化为是解题的关键6如图，在中，点D是边上的一动点，连接，将线段绕点A按逆时针方向

7、旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值是【答案】/【分析】过点A作于点F，在上取点N，使，连接，过点N作点于点M，证明，求出，得出当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当点D与点M重合时，最小，则最小，求出最小结果即可【详解】解：过点A作于点F，在上取点N，使，连接，过点N作点于点M，如图所示：根据旋转可知，即，当最小时，最小，垂线段最短，当点D与点M重合时，最小，则最小，解得：（负值舍去），的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明7如图，点A的坐标为，点B是x轴

8、正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点C的坐标为，则k的值为 【答案】【分析】连接，过A点作轴于F，C作轴于点D，于点E，则四边形是矩形，根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，由点A的坐标为，有，而，根据，可得，解方程可得答案【详解】解：连接，过A点作轴于F，C作轴于点D，于点E，则四边形是矩形，如图：将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，是等边三角形，点A的坐标为，在中，在中，设，则，化简变形得：，解得（舍去）或，或（不符合题意，舍去），故答案为：【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k的代数式表示相关线段的长度8如

9、图，在边长为的等边中，直线，是上的一个动点连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是【答案】【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示为等边三角形，且为的对称轴，当时，最小，点为的中点，此时故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出9如图，在中，点在边上，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为【

10、答案】【分析】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，当点F开始运动时，ECDFGD，故点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BFGF时，BF有最小值，根据直角三角形的性质计算即可【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，绕点顺时针方向旋转得到，DEF是等边三角形，GDC=FDE=60，ED=FD，GDC-GDE=FDE-GDE，EDC=FDG，DEF是等边三角形，CD=GD，ECDFGD，EC=GF，ECD=FGD=90，点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BFGF时，BF有最小值，如图，当旋转到BFDG时,BFGF，垂足为F，过点D作DHBF，垂

11、足为H，FGD=90，四边形FGDH是矩形，GDH=90，GD=FH=2，GDC=60，BDH=30，BD=BC-CD=5-2=3，BH=，BF=FH+BH=2+=，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键10如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将烧点E顺时什旋转60得到，连接，则的最小值为【答案】【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形

12、获得CG最小值【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EBH为等边三角形，EBFEHG，EHG=ABC=90，HE=BE=1，BEH=60，点G在垂直于HE的直线HN上作CMHN，则CM即为CG的最小值，作EPCM，可知四边形HEPM为矩形，CEP=180-60-90=30，CP=CE=(4-1)=，则CM=MP+CP=，即的最小值为故答案为【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动

13、点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型11如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将ACD绕点C逆时针旋转60得BCE，则旋转过程中BDE周长的最小值【答案】2+4【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CDAB时，BDE的周长最小，于是得到结论【详解】将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，DCE=60，DC=EC，CDE是等边三角形，由旋转的性质得，BE=AD，

14、CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，CDE是等边三角形，DE=CD，CDBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CDAB时，BDE的周长最小，此时，CD=2，BDE的最小周长=CD+4=2+4，故答案为2+4【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键12如图，在中，直线，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是【答案】2【分析】根据题意取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及FCD=ECG，由旋转的性质可得

15、出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出FCDECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示，为等边三角形，且AD为的对称轴，在和中，当时，EG最小，点G为AC的中点，此时故答案为2【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键13如图，等边AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段B

16、P的中点绕点P按顺时针方向旋转60得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA在点P从O向A运动的过程中，当PCA为直角三角形时t的值为.【答案】2或【详解】如图（1）过点P作PDOB于点D，过C作CEOA于E，PDO=PEC=90，O=60，OPD=30，OD=t，BD=4-t，PD=t，线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60得点C，BPC=60，BP=2PC，OPD=30，BPD+CPE=90，DBP=CPE，PCEBPD， ，CE=t，PE=2-t，OE=2+t，如图（2）当PCA=90度时，作CFPA，PCFACF，PCFACF，CF2=PFAF，PF=2-t，AF=4-OF=2-

17、t， CF=t，（t）2=（2-t）（=2-t），t=2，这时P是OA的中点；如图（3）当CAP=90时，此时OA=OE，2+t=4，t=，故答案为2或.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE的长是解题的关键.二、解答题14在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C（0，4），求ABC的面积；（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且CBA=CDE，求D点的坐标；（3）如图2，若CBA=60，以CD

18、为边，在CD的右侧作等边CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离【答案】（1）ABC的面积为12；（2）D点的坐标为（-2，0）；（3）A，E两点之间的距离为【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a，b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出，从而得到，然后利用勾股定理求出，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出，得到，进一步推出，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：（1）

19、，由非负性可知，解得：，；（2）由（1）知，在和中，在和中，；（3）由（2）可知CB=CA，CBA=60，ABC为等边三角形，BCA=60，DBC=120，CDE为等边三角形，CD=CE，DCE=60，DCE=DCB+BCE，BCA=BCE+ECA，DCB=ECA，在DCB和ECA中，即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，要使得OE最短，如图所示，当OEPQ时，满足OE最短，此时OEA=90，当OE最短时，A，E两点之间的距离为【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形

20、的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键15在ABCD中，ABC60，AB4，BC6点E在BC边上且4，将B绕点B逆时针旋转a得到BE（0a180）(1)如图1，当EBA90时，求SBCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G求线段BF的取值范围；当EBF120时，求证：BCDG2BF；(3)如图3当EBA90时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值【答案】(1)SBCE=6；(2)1BF5；证明见解答；(3)BN的最小值为-，BN的最大值为2【分析】（1）如图1，过点E作EFBC交CB

21、的延长线于点F，根据题意求得EBF=180-EBA-ABC=180-90-60=30，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算出结果；（2）如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：BE=CK=4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案；可证EKBBGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论；（3）连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证ABE是等腰直角三角形，得出：AE=AB=4，再由点P是AE的中点，可得：BPAE，且BP=AP=EP=2，利用勾股定理得BQ

22、=，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ=-，当点S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的最大值=BP=2【详解】（1）解：如图1，过点E作EHBC交CB的延长线于点H，EHC=90，ABC=60，EBA=90，EBH=180-EBA-ABC=180-90-60=30，点在BC边上且=4，将B绕点B逆时针旋转得到BE，BE=B=4，EH=BE=4=2，又BC=6，SBCE=BCEH=62=6；（2）解：如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，EF=FC，BF=FK，四边形BCKE是平行四边形，BE=CK=4，BC=6，在BCK中，BC-CKBKBC+CK，6-4B

23、K6+4，即22BF10，1BF5；证明：四边形ABCD是平行四边形，且ABC=60，AB=4，A=180-ABC=180-60=120，ADBC，AD=BC，BE=AB，EBF=120，即EBK=120，EBK=A，EKBC，EKAD，EKB=BGA，在EKB和BGA中，EKBBGA（AAS），BK=AG，由知：BK=2BF，又AG=AD-DG，2BF=BC-DG；（3）解：连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，ABE=90，AB=BE=4，ABE是等腰直角三角形，AE=AB=4，点P是AE的中点，BPAE，且BP=AP=EP=2，N是AM的中点，P是AE的中点

24、，PN是AEM的中位线，PNEM，ANP=AME=90，点Q是AP的中点，QN=PQ=AP=，在RtBPQ中，BQ=，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ=-，当点S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的最大值=BP=2【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题16如图，线段AB10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正ACD和正BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、

25、BD交于H，连接CH.(1)求sinAHC；(2)连接DE，设ADx，DEy，求y与x之间的函数关系式；(3)把正BCE绕C顺时针旋转一个小于60的角，在旋转过程中H到DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若AC2，旋转过程中某一时刻2AH3DH，此刻ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值.【答案】(1)；(2)y（0x10）；(3)2【分析】（1）过点C作CTAE于点T，CRBD于点R，先证ACEDCB得CAMHDM，由直角三角函数可得，从而得CH平分AHB，进而求得AHCBHC60即可求解；（2）如图2中，如图，过点D作DPC

26、E于点P，先由三角函数求得CPCDx，DPx，又由AB10cm，得CECB（10x）cm，进而得PE|10xx|10x|，最后由勾股定理即可求得y与x之间的函数关系式；（3）如图3中，以AD为边向外作等边ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH过点D作DSAH于H，过点W作WGAD于点G，过点H作HKAD于K，过点W作WQHK于点Q假设AH3k，DH2k，由勾股定理得AH6，DH4，DS=2，进而利用面积公式求得HK，利用勾股定理得DK，于是可得WQKG，GWKW，从而有HQ，利用勾股定理即可求得WH的长即PA+PD+PH的最小值【详解】（1）解：过点C作CTAE于点T，CRBD于点RA

27、DC，ECB都是等边三角形，CACD，CECB，ACDECB60，ACEDCB，在ACE和DCB中，ACEDCB（SAS），CAMHDM，CTAE，CRBD，CH平分AHB，AMCDMH，AHMACM60，AHCBHC60，sinAHC；（2）解：如图2中，如图，过点D作DPCE于点PACCDx（cm），DCE60，CPCDx，DPx，AB10cm，BCABAC（10x）cm，CECB（10x）cm，PE|10xx|10x|，yDE（0x10）；（3）解：如图3中，以AD为边向外作等边ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH过点D作DSAH于H，过点W作WGAD于点G，过点H作HKAD于

28、K，过点W作WQHK于点Q2AH3DH，可以假设AH3k，DH2k，DHS60，DSAH，SHDHk，DSk，AM2k，AD2AS2+DS2，（2）2（2k）2+（k）2，k2（负根已经舍弃），AH6，DH4，DS=2，AHDSADHK，HK，DK，AGDG，四边形WQKG是矩形，WQKG，GWKW，HQKH+KQ，WH2PA+PD+PH的最小值为2【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键17在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究（1）问题梳理，问题呈现：如图

29、1，点在等边的边上，过点画的平行线，在上取，连接，则在图1中会产生一对旋转图形请结合问题中的条件，证明：；（2）初步尝试：如图2，在中，点在边上，且，将沿某条直线翻折，使得与重合，点与边上点重合，再将沿所在直线翻折，得到，则在图2中会产生一对旋转图形若，连接，求的面积；（3）深入探究：如图3，在中，点是边上的任意一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转75，得到线段，连接，求线段长度的最小值【答案】（1）见解析；（2）9；（3）33【分析】（1）根据ABC是等边三角形，可得ABAC，BACB60，进而利用SAS可证明ABDACE（2）如图2，过点E作EHAD于H，由翻折可得ACEABDACF，可

30、得AEAD6，EH3，再运用SADEADEH，即可求得答案（3）如图3中，在AB上截取ANAC，连接DN，作NHBC于H，作AMBC于M利用SAS证明EACDAN，推出当DN的值最小时，EC的值最小，求出HN的值即可解决问题【详解】（1）如图1，ABC是等边三角形，ABAC，BACB60，CEAB，ACEBAC60，BACE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）如图2，过点E作EHAD于H，由翻折可得：ACFABD，ACEACF，ACEABDACF，AEAD6，CAEBAD，DAEBAC30，EHAD，EHAE3，SADEADEH639；（3）如图3中，在AB上截取ANAC，连接

31、DN，作NHBC于H，作AMBC于MCABDAE，EACDAN，AEAD，ACAN，EACDAN（SAS），CEDN，当DN的值最小时，EC的值最小，在RtACM中，ACM60，AC6，,AM3，MABBACCAM753045，为等腰直角三角形，AB3，NBABAN36，在RtNHB中，B45，为等腰直角三角形，NH=33，根据垂线段最短可知，当点D与H重合时，DN的值最小，CE的最小值为33【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题18

32、（一）发现探究在ABC中ABAC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在DEF中，DE6，EDF60，DEF90，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值【答案】【发现】BQ PC；【探究】BQ PC仍

33、然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为3【分析】发现先判断出BAQCAP，进而用SAS判断出BAQCAP，即可得出结论；探究结论BQPC仍然成立，理由同【发现】的方法；应用在DF上取一点H，使DHDE，连接PH，过点H作HMEF于M，构造出DEQDHP，得出EQHP，当HPEF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可【详解】发现由旋转知，AQAP，PAQBAC，PAQBAPBACBAP，BAQCAP，ABAC，BAQCAP（SAS），BQCP，故答案为：BQPC；【探究】结论：BQPC仍然成立，理由：由旋转知，AQAP，PAQBAC，PAQBAPBACBAP，BAQCAP，ABA

34、C，BAQCAP（SAS），BQCP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DHDE，连接PH，过点H作HMEF于M，由旋转知，DQDP，PDQ60，EDF60，PDQEDF，EDQHDP，DEQDHP（SAS），EQHP，求EQ最小，就是求HP最小，当HPEF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，EDF60，DEF90，F30，DE6，DF2DE12，DHDE=6，FH6，F30，HM=3线段EQ长度的最小值为3 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键