中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆（解析版）.docx

1、中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆一、填空题1如图，四边形中，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为【答案】【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，四边形为等腰梯形，点在以点为圆心，2为半径的圆上，当三点共线时，有最小值，面积的最小值为【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键2如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为【答案】【分析】根

2、据题意可知：点C在半径为的B上在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值【详解】解：如图，点C为坐标平面内一点，C在B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，AM=CM，OD=OA，OM是ACD的中位线，OM=CD，即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，OB=OD=6，BOD=90，BD=，CD=，且C(2,8),OM=CD，即OM的最大值为，

3、M是AC的中点，则M（4,4），故答案为：（4,4）【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点3如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为【答案】38【分析】首先连接AC，过B作BHAC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可【详解】解：连接，过作于，当G在BH上时，ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小

4、值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24连接BG，由G是EF中点，EF=4知，BG=2，故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，由勾股定理得：AC=10，ACBH=ABBC，BH=4.8，即四边形面积的最小值=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹4如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，D是AC上一点，且CD3，E是BC边上一点，将DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的

5、最小值为【答案】/【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，C90，AC8，AB10，BC=6，在RtBCD中，由勾股定理得：BD=，BF=BDDF=，故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键5如图，已知，外心为，分别以，

6、为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是【答案】【分析】由与是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论【详解】解：与是等腰直角三角形，在与中，在以为直径的圆上，的外心为，如图，当时，的值最小，则的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键6如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 【答案】5

7、【分析】因为DGEF2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI1，可证GDICDG，从而得出GICG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在RtDEF中，G是EF的中点，DG，点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI1，连接GI，GDICDG，GDICDG，IG，BG+BG+IGBI，当B、G、I共线时，BG+CG最小BI，在RtBCI中，CI3，BC4，BI5，故答案是：5【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键7如图，在锐角ABC中，AB2，AC，ABC60D是平面内一动点，且ADB30，则CD的最小值是【

8、答案】/【分析】作AHBC于H，证明ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作O，根据ADB=30，可得点D在O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为O的直径减去BC的长【详解】解：如图，作AHBC于H，AB=2，AC=，ABC=60，BH=AB=1，AH=，CH=，ACH为等腰直角三角形，ACB=45，BC=CH+BH=+1，在BC上截取BO=AB=2，则OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作O，ADB=30，点D在O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，最小值为4-（+1）=3-故答案为：【点睛】本题考查了

9、勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理解题的关键是得出点D在O上运动8如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，ACD30，AD2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为【答案】【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到ACD=ABD=30，根据题意知点E在以FG为直径的P上，连接PD交P于点E，此时DE长度取得最小值，证明APD=90，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：BAD=BCD=90，四边形ABCD是圆内接四边形，ACD=ABD=30，ADB=60，AD=2，BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、G，

10、并连接FG，EF，EG， E是AC的中点，EFBC，EGCD，AEF=ACB，AEG=ACD，AEF+AEG =ACB+ACD=90，即FEG =90，点E在以FG为直径的P上，如图：当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，F、G分别是AB、AD的中点，FGBD，FG=BD=2，ADB=AGF=60，PA=PG，APG是等边三角形，APG=60，PG=GD=GA，且AGF=60，GPD=GDP=30，APD=90，PD=，DE长度的最小值为() 故答案为：()【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在以

11、FG为直径的P上是解题的关键9如图，点，的坐标分别为，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为【答案】【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论【详解】解：如图，点C为坐标平面内一点，BC=2，C在B上，且半径为2，当C在AB的延长线上时，AC最大，过点C作CDx轴，点，的坐标分别为，是等腰直角三角形，CDx轴，是等腰直角三角形，即，解得：，C点的纵坐标为，点为线段的中点，点的纵坐标为故答案为：【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时

12、点C的位置是解题的关键10如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ4，若点P从点B出发沿BCDA的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿ABCD的路线向点D运动，到达点D停止运动它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为【答案】【详解】解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于3，故答案为：311如图，RtABC中，ACB90，CAB60，AB4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为【答案】【详解】解：AQCQ

13、，AQC90，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在RtABC中，AB4，B30，ACAB2，点Q的运动路径长为12如图，ABC为等边三角形，AB2，若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则点P运动的路径长为【答案】【详解】解：ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACAB2，PABACP，PAC+ACP60，APC120，点P的运动轨迹是，如图所示：连接OA、OC，作ODAC于D，则ADCDAC1，所对的圆心角2APC240，劣弧AC所对的圆心角AOC360240120，OAOC，OAD30，ODAC，ODAD，OA2OD，的长为；故答

14、案为：13如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CEAD于E，过点E作EFAB交BC于点F，则CF的最大值是 【答案】【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T证明OEAC1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与O相切时，CF的值最大【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于TACB90，AB4，B30，CAB60，ACAB2，CEAD，AEC90，AOOC1，OEAC1，点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，当FT与O相切时，CF的值最大，直线CF，直线EF都是O的切线，FCFE

15、，FCEFEC，CAE+ACE90，ACE+ECF90，CAEFCE，CEF+AET90，AET+EAT90，FECEAT，CAEEAT30，CFFE，OCOE，OFEC，ADCE，OFAD，COFCAD30，CFOCtan30，CF的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角形30角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与O相切时，CF的值最大14如图，中，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为.【答案】2：【分析】首先证明点P在以AB为直径的O上，连接OC与O交于点P，此时PC最小，利用勾股定

16、理求出OC即可解决问题【详解】PAB+PBA=90APB=90点P在以AB为直径的弧上（P在ABC内）设以AB为直径的圆心为点O，如图接OC，交O于点P，此时的PC最短AB=6，OB=3BC=4PC=5-3=2【点睛】此题考查了三角形与圆的综合题，重点是发现满足什么条件时PC有最小值.关于三点共线的最短距离是中考偏好考的考点之一，此类问题借助图形进行理解，发现点O的位置是关键.15如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EB F，连接B D，则B D的最小值是【答案】.【分析】如图所示，点B在以E为圆心EA为半径的圆上运

17、动，当D、B、E共线时，BD的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知BE=BE=2，即可求出BD【详解】如图所示点B在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B、E共线时，BD的值最小，根据折叠的性质，EBFEBF，B=EBF，EB=EBE是AB边的中点，AB=4，AE=EB=2AD=6，DE2，BD=22故答案为22【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B在何位置时，BD的值最小是解决问题的关键16如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足PAB=PBC，则线段CP的最小值是【答案】4【分析】连接OC与圆O

18、交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即可.【详解】ABC=90，ABP+PBC=90，PAB=PBC，BAP+ABP=90，APB=90，OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RTBCO中，OBC=90，BC=5，OB=4，OC=，PC=OCOP=4PC最小值为4故答案为4【点睛】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距离和最小距离是解题的关键.二、解答题17如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形

19、，射线与边交于点M，连接、(1)如图1，求证：；(2)若正方形的边长为4，如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值；如图3，取中点P，连接，求长度的最大值【答案】(1)见解析(2)，当P、B、F三点共线时，PF有最大值为【分析】（1）对角线是正方形的对称轴，即可得；（2）当G、C、M三点共线时，根据，进而即可求得的值；连接，证明，求出相似比，求出，当P、B、F三点共线时，即可求出最大值【详解】（1）如图1，对角线是正方形的对称轴，；（2）如图2，当G、C、M三点共线时，又，又，如图3，；在中，当P、B、F三点共线时，PF有最大值：【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌

20、握相似三角形的性质与判定是解题的关键18已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处(1)如图，当时，求点的坐标；(2)如图，连接，当时求点的坐标；连接，求与重叠部分的面积；(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）如图，连接 交于 过作于 由对折可得：证明是等边三角形，可得再利用三角函数可得答案；（2）利用平行线的性质证明从而可得答案；如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于 再分别求解的坐标，利用函数解析式与三角形的面积公式可得答案；（3）如图，由对折可得 则在以为圆心，为半径的上运动

21、，与不重合，连接AC，交于 当重合时，取得最小值，从而可得答案【详解】（1）解：如图，连接 交于 过作于由对折可得：是等边三角形，（2） 而如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于由得：设 则解得： （不符合题意的根舍去） 而设为 则解得：为同理可得：AM为OB为 解得： 即所以 即同理可得：与重叠部分的面积为：（3）如图，由对折可得在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，连接AC，交于当重合时，取得最小值，此时所以的取值范围为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问

22、题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键19如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OBOC(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当PBACBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；（3）接，取的中点，连接,

23、根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可【详解】（1）令，解得令，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线与轴的交点为解得（2）如图，过点作轴于点，是直角三角形，且又在抛物线上，整理得解得（舍）在第三象限，（3）如图，连接，取的中点，连接,是的中位线根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，即设直线的解析式为，代入

24、点，即解得直线的解析式为设直线的解析式为解得则的解析式为设点，解得（舍去）【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键20问题发现：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图放置，AB4，AE2.5，则_问题探究：（2）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P在矩形的内部，BPC135，求AP长的最小值问题拓展：（3）如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB6，ACCD，ACD90，ACB45，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）AP的最

25、小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证ADGACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据DABCAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值【详解】解：（1）如图，连接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2

26、.5，AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，又DAG=DAC-GAC=45-GAC，CAF=GAF-GAC=45-GAC，DAG=CAF，DGACFA，故答案为；（2）如图，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC， 以O为圆心BO为半径画圆，则BPC作为圆周角刚好是135，P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，作OE垂直AB延长线于点E，BOC为等腰直角三角形，BC=4，OB=OC=BC=4=2，OBC=45，OBE=90-OBC=90-45=45，又OEAE，BEO为等腰直角三角形，BE=OE=OB=2=2，又AB=3，AE=AB+

27、BE=3+2=5，OP=OB=2，AP=AO-OP=-2，即AP的最小值为-2；（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，则EAB=45，AC=AD，ACD=90，DAC=45，DAB=CAE=45，DABCAE，BD=CE，当CE最大时，BD取最大值，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，AOB=90，ACB=45，点C在优弧AB上，由图知当C在OE延长线C位置时CE有最大值，此时CE=OE+OC，AB=6，AOB和AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，四边形AOBE为正方形，OE=AB=6，OC=OA=AB=3，CE的最大值为6+3，BD=CE，BD的最大值为（6+3）=6+6【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键