九年级数学：圆的切线的证明——拔高题.docx

1、圆的切线证明拔高题训练1.如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DFAB，垂足为F，连接DE(1)求证：直线DF与O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长2.如图，已知RtABC，ABC=90，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD(1)若AD=3，BD=4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切3.如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，DGAC于点G，交AB的延长线于点F(1)求证：直线FG是O的切线；(2)若AC=10，cosA=25，求CG的长4.如图，ABC的边A

2、B为O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DEAC于E(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为O的切线；(3)若AB=13，sinB=1213，求CE的长5.在RtABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况若AC、AB的长是方程x210x+24=0的根，求直角边BC的长6.如图，AB是O的直径，B=CAD(1)求证：AC是O的切线；(2)若点E是BD的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值7.如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线

3、交于点P，AC=PC，COB=2PCB(1)求证：PC是O的切线；(2)求证：BC=12AB；(3)点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值8.已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E(1)求证：DE是O的切线；(2)若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径9.如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延长线于点E(1)求证：BCA=BAD；(2)求DE的长；(3)求证：BE是O的切线10.如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交O于点D，F是BA延长线上一

4、点，若CDB=BFD(1)求证：FD是O的一条切线；(2)若AB=10，AC=8，求DF的长11.如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DEBC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)若GE=1，BF=32，求EF的长12.如图，AB是O的直径，点E是AD上的一点，DBC=BED(1)求证：BC是O的切线；(2)已知AD=3，CD=2，求BC的长13.如图，已知，O为ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EFBC，点G在FE的延长线上，且GA=GE(1)求证：AG与O相切(2)若AC=6，AB=8，BE=3，求

5、线段OE的长14.如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F(1)求证：EF是O的切线；(2)若EF=8，EC=6，求O的半径15.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且D=BAC(1)求证：AD是半圆O的切线；(2)若BC=2，CE=2，求AD的长16.如图，已知AB是O的直径，P为O外一点，且OP/BC，P=BAC(1)求证：PA为O的切线；(2)若OB=5，OP=253，求AC的长17.在RtABC中，ACB=90，D是AB边上的一点，以BD为直径作O交AC

6、于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F且BD=BF(1)求证：AC与O相切(2)若BC=6，AB=12，求O的面积18.如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C(1)求证：CD是O的切线；(2)若CB=2，CE=4，求AE的长19.如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB(1)求证：DC为O的切线；(2)若O的半径为3，AD=4，求AC的长20.已知：如图，在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分ABC交AE于点M，经过B，M两点的O交BC于点G，交AB于

7、点F，FB恰为O的直径(1)求证：AE与O相切；(2)当BC=4，cosC=13时，求O的半径21.如图，在RtABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F(1)求证：AC是O的切线；(2)已知AB=10，BC=6，求O的半径r答案1.(1)证明：如图，连接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，OD/AB，DFAB，ODDF，点D在O上，直线DF与O相切；(2)解：四边形ACDE是O的内接四边形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，BDAB=BEBC，OD/

8、AB，AO=CO，BD=CD=12BC=3，又AE=7，37+BE=BE6，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=92.(1)解：AB为直径，ADB=90，即BDAC在RtADB中，AD=3，BD=4，由勾股定理得AB=5ABC=90，BDAC，ABDACB，BDAD=BCAB，即43=BC5，BC=203；(2)证明：连接OD，OD=OB，ODB=OBD；又E是BC的中点，BDAC，DE=BE，EDB=EBDODB+EDB=OBD+EBD=90，即ODE=90，DEODED与O相切3.(1)证明：如图1，连接OD，AB=AC，C=ABC，OD=OB，ABC=ODB，ODB=C，OD/AC

9、，ODG=DGC，DGAC，DGC=90，ODG=90，ODFG，OD是O的半径，直线FG是O的切线(2)解：如图2，AB=AC=10，AB是O的直径，OA=OD=102=5，由(1)，可得ODFG，OD/AC，ODF=90，DOF=A，在ODF和AGF中，DOF=AF=FODFAGF，ODAG=OFAF，cosA=25，cosDOF=25，OF=ODcosDOF=525=252，AF=AO+OF=5+252=352，5AG=252352，解得AG=7，CG=ACAG=107=3，即CG的长是34.(1)证明：连接AD，AB是O的直径，ADB=90ADBC，又D是BC的中点，AB=AC；(2)

10、证明：连接OD，O、D分别是AB、BC的中点，OD/AC，ODE=DEC=90，ODDE，DE是O的切线；(3)解：AB=13，sinB=1213，ADAB=1213，AD=12，由勾股定理得BD=5，CD=5，B=C，DECD=1213，DE=6013，根据勾股定理得CE=25135.解：(1)DE与半圆O相切证明：连接OD、OEO、E分别是BA、BC的中点，OE/AC，BOE=BAC，EOD=ADO，OA=OD，ADO=BACBOE=EODOD=OB，OE=OE，OBEODEODE=OBE=90DE与半圆O相切(2)AC，AB的长是方程x210x+24=0的两个根，解方程x210x+24=

11、0得：x1=4，x2=6ABAC，AB=4，AC=6，BC=AC2AB2=6242=3616=256.解：(1)AB是O的直径，ADB=ADC=90，B=CAD，C=C，ADCBAC，BAC=ADC=90，BAAC，AC是O的切线(2)BD=5，CD=4，BC=9，ADCBAC（已证），ACBC=CDAC，即AC2=BCCD=36，解得：AC=6，在RtACD中，AD=AC2CD2=25，CAF=CAD+DAE=ABF+BAE=AFD，CA=CF=6，DF=CACD=2，在RtAFD中，AF=DF2+AD2=267.(1)证明：OA=OC，A=ACO又COB=2A，COB=2PCB，A=ACO

12、=PCB又AB是O的直径，ACO+OCB=90PCB+OCB=90即OCCP，OC是O的半径PC是O的切线(2)证明：AC=PC，A=P，A=ACO=PCB=P又COB=A+ACO，CBO=P+PCB，COB=CBO，BC=OCBC=12AB(3)解：连接MA，MB，点M是AB的中点，AM=BM，ACM=BCMACM=ABM，BCM=ABMBMN=BMC，MBNMCBBMMC=MNBMBM2=MNMC又AB是O的直径，AM=BM，AMB=90，AM=BMAB=4，BM=22MNMC=BM2=88.(1)证明：连接ODOA=OD，OAD=ODAOAD=DAE，ODA=DAEDO/MNDEMN，O

13、DE=DEM=90即ODDED在O上，OD为O的半径，DE是O的切线(2)解：AED=90，DE=6，AE=3，AD=DE2+AE2=62+32=35连接CDAC是O的直径，ADC=AED=90CAD=DAE，ACDADEADAE=ACAD353=AC35则AC=15(cm)O的半径是7.5cm9.(1)证明：BD=BA，BDA=BAD，BCA=BDA（圆周角定理），BCA=BAD(2)解：BDE=CAB（圆周角定理）且BED=CBA=90，BEDCBA，BDAC=DEAB，即1213=DE12，解得：DE=14413(3)证明：连结OB，OD，在ABO和DBO中，AB=DBBO=BOOA=O

14、D，ABODBO(SSS)，DBO=ABO，ABO=OAB=BDC，DBO=BDC，OB/ED，BEED，EBBO，BE是O的切线10.(1)证明：CDB=CAB，CDB=BFD，CAB=BFD，FD/AC（同位角相等，两直线平行），AEO=90，FDO=90，FD是O的一条切线；(2)解：AB=10，AC=8，DOAC，AE=EC=4，AO=5，EO=3，AE/FD，AEOFDO，AEFD=EODO，35=4FD，解得：FD=20311.(1)证明：连接OD，如图，AB为半圆O的直径，D为AC的中点，OD为ABC的中位线，OD/BC，DEBCDEDO，又点D在圆上，DE为半圆O的切线；(2)

15、解：AB为半圆O的直径，AFB=90，而DEBC，GEB=GFE=90，BGE=EGF，BGEEGFGEGB=GFGE，GE2=GFGB=GF(GF+BF)GE=1，BF=32，GF=12，在RtEGF中，EF=GE2GF2=3212.(1)证明：AB是O的切直径，ADB=90，又BAD=BED，BED=DBC，BAD=DBC，BAD+ABD=DBC+ABD=90，ABC=90，BC是O的切线；(2)解：BAD=DBC，C=C，ABCBDC，BCCA=CDBC，即BC2=ACCD=(AD+CD)CD=10，BC=1013.(1)证明：如图，连接OA，OA=OB，GA=GEABO=BAO，GEA

16、=GAEEFBC，BFE=90，ABO+BEF=90，又BEF=GEA，GAE=BEF，BAO+GAE=90，即AG与O相切(2)解：BC为直径，BAC=90，AC=6，AB=8，BC=10，EBF=CBA，BFE=BAC，BEFBCA，BFBA=BEBC=EFACEF=1.8，BF=2.4，0F=0BBF=52.4=2.6，OE=EF2+OF2=1014.(1)证明：连接OD交于AB于点GD是AB的中点，OD为半径，AG=BGAO=OC，OG是ABC的中位线OG/BC，即OD/CE又CEEF，ODEF，EF是O的切线(2)解：在RtCEF中，CE=6，EF=8，CF=10设半径OC=OD=r

17、，则OF=10r，OD/CE，FODFCE，FOFC=ODCE，10r10=r6，r=154，即：O的半径为15415.(1)证明：AB为半圆O的直径，BCA=90又BC/OD，OEACD+DAE=90D=BAC，BAC+DAE=90AD是半圆O的切线(2)解：BC/OD，AOEABC，BA=2AO，AOBA=AEAC=12，又CE=2，AC=2CE=22在RtABC中，AB=AC2+BC2=(22)2+22=23，D=BAC，ACB=DAO=90，DOAABCADAC=OABC即AD22=32AD=616.(1)证明：AB是O的直径，ACB=90，BAC+B=90又OP/BC，AOP=B，B

18、AC+AOP=90P=BACP+AOP=90，由三角形内角和定理知PAO=90，即OAAP又OA是的O的半径，PA为O的切线；(2)解：由(1)知，PAO=90OB=5，OA=OB=5又OP=253，在直角APO中，根据勾股定理知PA=PO2OA2=203，由(1)知，ACB=PAO=90BAC=P，ABCPOA，ABPO=ACPA10253=AC203，解得AC=8即AC的长度为817.证明：(1)连接OE，OD=OE，ODE=OED，BD=BF，ODE=F，OED=F，OE/BF，AEO=ACB=90，AC与O相切；(2)解：由(1)知AEO=ACB，又A=A，AOEABC，OEBC=AO

19、AB，设O的半径为r，则r6=12r12，解得：r=4，O的面积42=1618.(1)证明：连接OE，AE平分BAF，BAE=DAEOE=OA，BAE=OEAOEA=DAEOE/ADADCD，OECDCD是O的切线(2)解：设r是O的半径，在RtCEO中，CO2=OE2+CE2，即(2+r)2=r2+42，解得r=3OE/AD，CEOCDA，COAC=OEAD=CECD，即58=3AD=44+ED解得AD=245,ED=125AE=AD2+ED2=(245)2+(125)2=125519.(1)证明：连接OCOA=OCOAC=OCAAC平分DABDAC=OACDAC=OCAOC/ADADCDO

20、CCD直线CD与O相切于点C；(2)解：连接BC，则ACB=90DAC=OAC，ADC=ACB=90，ADCACB，ADAC=ACAB，AC2=ADAB，O的半径为3，AD=4，AB=6，AC=2620.(1)证明：连接OM，则OM=OB1=2BM平分ABC1=32=3OM/BCAMO=AEB在ABC中，AB=AC，AE是角平分线AEBCAEB=90AMO=90OMAE点M在圆O上，AE与O相切；(2)解：在ABC中，AB=AC，AE是角平分线BE=12BC，ABC=CBC=4，cosC=13BE=2，cosABC=13在ABE中，AEB=90AB=BEcosABC=6设O的半径为r，则AO=6rOM/BCAOMABEOMBE=AOABr2=6r6解得r=32O的半径为3221.(1)证明：连接ODOB=OD，OBD=ODB（等角对等边）；BD平分ABC，ABD=DBC，ODB=DBC（等量代换），OD/BC（内错角相等，两直线平行）；又C=90（已知），ADO=90（两直线平行，同位角相等），ACOD，即AC是O的切线；(2)解：由(1)知，OD/BC，ODBC=AOAB（平行线截线段成比例），r6=10r10，解得r=154，即O的半径r为154