二次函数压轴题（2021年一模）（解析版）.docx

1、二次函数压轴题（2021年一模）1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，顶点为点（1）求点、的坐标；（2）如图1，点在直线下方抛物线上运动（不含端点、），记的面积为，记的面积为，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将该抛物线沿直线平移，设平移后的新抛物线的顶点为（与不重合），新抛物线与直线的另一个交点为点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）B(6,0)；D(2,-8)；（2）； ；（3）或或或【分析】（1）令y=0，解一元二次方程，即可求出A和B的坐标，将抛物线解析式配方为顶点

2、式，即可求得顶点D的坐标；（2）过点P作PMy轴交BC于M，交BD于N，设点P的坐标后，则可分别把 和用点P的两个坐标分别表示出来，进而可求解；（3）分为矩形的对角线、为矩形的对角线、为矩形的对角线三种情况讨论，利用矩形的性质、中点公式分别求解即可解决【详解】（1）令，解得：，；令x=0，得y=-6B(6,0)，C(0,-6)D(2,-8)（2）设直线BC的解析式为，把点B的坐标代入得：解得：直线BC的解析式为y=x-6同理，可得直线BD的解析式为y=2x-12设点P的坐标为，其中2m6过点P作PMy轴，交BC于点M，交BD于点N，如图所示则M(m,m-6)，N(m,2m-12)， ，当时，有

3、最大值，且最大值为 此时点P的坐标为 （3）设 抛物线沿BD方向平移后的解析式为： 平移后的新抛物线与直线BD交于点和点E解方程组 ，消去y得： 解得：x=n，x=n+4y=2n-12，y=2n-4E(n+4,2n-4)当为矩形的对角线时，则有 解得： ，符合题意此时F(-4,-14)当为矩形的对角线时，则有 解得：F(2n+4,4n-10) 或2，符合题意此时或(8,-2)当为矩形的对角线时，设点F的坐标为(a,b)点E、C、的坐标分别为(n+4,2n-4)、(0,-6)、(n,2n-12)由中点公式得： 解得： 点F的坐标为(4,2)综上所述，点F的坐标为或或或【点睛】本题是二次函数的综合

4、题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、矩形的性质、面积的计算等知识，第三问要注意分类讨论，避免遗漏2如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，抛物线经过点（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接、，点P是线段下方抛物线上一点，过点P作轴，分别交线段、于点F、E，过点P作于点G，求的最大值，及此时点P的坐标（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标【答案】（1）；（2）的最大值为，此时点P的坐标为；（3）当以为直角边的等腰直角三角形，点M的坐标为或或或【分析】（1）

5、由题意易得点，然后把点和代入解析式求解即可；（2）由（1）及题意易得顶点D坐标为，点C的坐标为，过点D作DHx轴于点H，由两点距离公式可得，易求直线BD的解析式为：，直线BC的解析式为：，然后设点P的坐标为，则有，最后根据二次函数的性质可求解；（3）设点N的坐标为，点M的坐标为，当以为直角边的等腰直角三角形，则可分：当时，且点M在x轴的下方，则有，过点N作NPx轴，分别过点M、A作NP的垂线，垂足分别为D、E，延长DM，交x轴于点F，当时，且点M在x轴的上方，当时，且点M在x轴的下方，则有，当时，且点M在x轴的上方，则有，进而根据“K”型全等模型来求解问题即可【详解】解：（1），把点和代入得：

6、，解得：，抛物线的解析式为；（2）由（1）可得：把化为顶点式为，顶点D坐标为，点C的坐标为，过点D作DHx轴于点H，如图所示：，由两点距离公式可得，设直线BD的解析式为：，则把点B、D的坐标代入得：，解得：，直线BD的解析式为：，设直线BC的解析式为：，则把点B、C坐标代入得：，解得：，直线BC的解析式为：，设点P的坐标为，轴，由可得，当时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为；（3）存在，理由如下：设点N的坐标为，点M的坐标为，令y=0，则有，解得：，当以为直角边的等腰直角三角形，则可分：当时，且点M在x轴的下方，则有，过点N作NPx轴，分别过点M、A作NP的垂线，垂足分别为D、E，延长DM

7、，交x轴于点F，如图所示：，（AAS），解得：（不符合题意，舍去），点M的坐标为；当时，且点M在x轴的上方，则有，过点N作NPx轴，分别过点M、A作NP的垂线，垂足分别为D、E，延长DM，交x轴于点F，如图所示：同理可得：，解得：（不符合题意，舍去），点M的坐标为；当时，且点M在x轴的下方，则有，过点A作APy轴，分别过点M、N作AP的垂线，垂足分别为D、E，MD交y轴于点F，如图所示：同理可得，点M的纵坐标为-1，解得：（不符合题意，舍去），点M的坐标为；当时，且点M在x轴的上方，则有，过点A作APy轴，分别过点M、N作AP的垂线，垂足分别为D、E，MD交y轴于点F，如图所示：同理可得：点M

8、的纵坐标为1，解得：（不符合题意，舍去），点M的坐标为，综上所述：当以为直角边的等腰直角三角形，点M的坐标为或或或【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数与几何综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键3如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，3是关于的一元二次方程的两个根（1）求该抛物线的解析式；（2）过点作交抛物线于点，与轴交于点，为直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，在平面内找一点，是否存在以点，为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说

9、明理由【答案】（1）；（2）的最大值为，此时的坐标为；（3）存在，的坐标为，【分析】（1）把方程的两个根转化为抛物线与x轴交点的横坐标，代入解析式求解即可；（2）作轴，交与，设，则，用含有m的代数式表示指定三角形的面积，求解即可；（3）根据两点间的距离公式，利用勾股定理，分类求得动点M，后利用矩形的性质，采用直线相交法分类确定n的值【详解】（1）由题意知抛物线与x轴的两个交点的坐标为，将，代入，得，解得，抛物线的解析式为：；（2）设解析式为，代入，得，解得，的解析式为；设的解析式为，代入，得，解得，的解析式为，得到，作轴，交与，设，则，即，当时，此时的坐标为（3）的坐标为，由（1）（2）知，设

10、直线PA的解析式为y=mx+n，解得，PA的解析式为；矩形以为边，则或，当，设M（x，y），根据勾股定理，得整理，得y=-x-1，解得，x=-1，与点A重合，舍去，y=，设直线AM的解析式为，解得，AM的解析式为；四边形AMNP是矩形，AMPN，PAMN，设直线PN的解析式为y=-x+，直线PN的解析式为y=-x+4，同理可证，直线MN的解析式为y=x-10，x-10=-x+4,x=7,y=-3,即；当，设M（x，y），根据勾股定理，得整理，得y=4-x，解得x=2，与点P重合，舍去，y=2，设直线PM的解析式为，解得，PM的解析式为；四边形AMNP是矩形，PMAN，PAMN，设直线AN的解析

11、式为y=-x+，直线AN的解析式为y=-x-1，同理可证，直线MN的解析式为y=x，-x-1=x,x=,y=,即；的坐标为，【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法确定解析式，动点坐标表示三角形的面积，二次函数的最值，矩形的性质，一次函数的平行，熟练掌握待定系数法，灵活运用动点坐标表示图形的面积，运用分类思想求解是解题的关键4如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1m4）连接BC，DB，DC（1）求抛物线的函数解析式；（2）BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在

12、（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，D的坐标为（2，6）；（3）存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（，0）或（，0）【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可；（2）先根据函数解析式求出点C、D坐标，再将过点D作y轴的平行线交BC于点E，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而得出点E坐标，然后根据得出的面积表达式，最后利用二次函数的性质求出的面

13、积取最大值时m的值，从而可得点D坐标；（3）根据平行四边形的定义分两种情况：BD为平行四边形的边和BD为平行四边形的对角线，然后先分别根据平行四边形的性质求出点N坐标，从而即可求出点M坐标【详解】（1）抛物线经过点解得故抛物线的解析式为；（2）的面积存在最大值求解过程如下：，当时，由题意，设点D坐标为，其中如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点E设直线BC的解析式为把点代入得解得直线BC的解析式为可设点E的坐标为由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小则当时，取得最大值，最大值为6此时，故的面积存在最大值，此时点D坐标为；（3）存在理由如下：由平行四边形的定义，分以

14、下两种情况讨论：当BD是平行四边形的一条边时如图2所示：M、N分别有三个点设点点N的纵坐标为绝对值为6即解得（与点D重合，舍去）或或则点的横坐标分别为点M坐标为或或即点M坐标为或或如图3，当BD是平行四边形的对角线时此时，点N与C重合，且点M在点B右侧，即综上，存在这样的点M，使得以点为顶点的四边形是平行四边形点M坐标为或或或【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的定义与性质等知识点，较难的是题（3），依据平行四边形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键5如图，若抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线yx3经过点B，C（1）

15、求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PHx轴于点H，交BC于点M，连接PC线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）有，；存在，(2，3)或(3，24)【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）根据PM（x3）（x22x3）（x）2+即可求解；分PMPC、PMMC两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）对于yx3，令x0，y3，y0

16、，x3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设：点M（x，x3），则点P（x，x22x3），有，理由：PM（x3）（x22x3）（x）2+，10，故PM有最大值，当x时，PM最大值为：；存在，理由：PM2（x3x2+2x+3）2（x2+3x）2；PC2x2+（x22x3+3）2；MC2（x3+3）2+x2；（）当PMPC时，则（x2+3x）2x2+（x22x3+3）2，解得：x0或2（舍去0），故x2，故点P（2，3）；（）当PMMC时，则（x2+3x）2（x3+3）2+x2，解得：x0或3（舍去0

17、和3+），故x3，则x22x324，故点P（3，24）综上，点P的坐标为：(2，3)或(3，24)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏6在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB8，tanCAB3（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD/AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标（3）将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y

18、1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点在（2）中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x6；（2）最大值为4，此时P（4，6）；（3）存在，（1，5）或（，）或（3，3）或（3，3）【分析】（1）由C（0，6）以及tanCAB3，进而求得OA的长度，再确定点A、点B的坐标，最后运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC、BC的表达式，设点P的横坐标为m，由PD/AC求出直线PD的解析式，再与直线BC的解析式组成方程组求出点E的坐标，再用含字母m的式子表示BE，最后根据二次函数的性质求出

19、BE的最大值及点P的坐标即可；（3）先根据AOC沿射线CA方向平移2个单位后的位置，确定抛物线y1的表达式及顶点G和点F的坐标，求出直线FG的函数表达式，再根据（2）中求出的点P的坐标求出点E的坐标，再按照PE为边、对角线等情况画出相应的菱形，求出点N的坐标【详解】解：（1）C（0，6），tanCAB3，AO2，A（2，0），B（6，0），解得，该抛物线的表达式为y-x22x6；（2）如图1，作PHx轴于点H，交BC于点J，作EIPH于点I、EKx轴于点K设直线BC的函数表达式为ykx6，则6k60，解得k1，yx6；设直线AC的函数表达式为ypx6，则2p60，解得p3，y3x6.设P（m，

20、-m22m6），由PD/AC，设直线PD的函数表达式为y3xn，则m22m63mn，解得nm2m6，y3xm2m6.由，得，E（，）AC2，BC6，且PEICAO，BEKBCO，EI：PI：PEOA：OC：AC1：3：，EK：BK：BECO：BO：BC1：1：，PEEI，PE10EI10（m）mm2，BEBK，BE2BK2（6）12，BEmm2（12）m28m12（m4）24，当m4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）；（3）存在如图2，由（2）得，AC2，将AOC沿射线CA方向平移2个单位，相当于将AOC向左平移2个单位，再向下平移6个单位，该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6

21、个单位，原抛物线为yx22x6（x2）28，y1x22，抛物线y1与坐标轴的交点分别为F（2，0）、D（2，0）、（0，2），且顶点为G（0，2），点F（2，0）为抛物线y1与原抛物线的交点P（4，6），C（0，6），且PD/AC，D（2，0），点D与点D重合设直线FG的函数表达式为yqx2，则2q20，解得q1，yx2.如图2，点M1在点P左侧，PE、EM1为菱形的邻边连接PC，则CGPC，可得BC垂直平分PG，设垂足为点Q，则点N1与点E关于点Q对称；PCEBDE，PEDE，E（3，3），Q（2，4），N1（1，5）；如图3，PE为菱形的对角线，M2N2垂直平分PE，设垂足为点R，R为PE

22、的中点，R（，），连接并延长BG交AC于点H，则BGOCAO，GBOACO，GBOCAOACOCAO90，BHAC，BH/M2N2；设直线BH的函数表达式为yrx2，则6r20，解得r，yx2，设直线M2N2的函数表达式为yxt，则 t，解得t，yx；由，得，M2（，），点N2与点M2（，）关于点R（，）对称，N2（，）；如图4，点M3在点P右侧，PE、PM3为菱形的邻边由EN3/FG，设直线的函数表达式为yxs，则3s3，解得s0，点N3在直线yx上，连接OE，则点O、E、N3在同一直线上 设N3（d，d），OE3，EN3PE，d（3）3，N3（3，3）点M4在点P左侧，PE、PM4为菱形的

23、邻边 设N4（e，e），则e（3）3，N4（3，3）综上所述，点N的坐标为（1，5）或（，）或（3，3）或（3，3）【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形等知识的综合应用，正确作出辅助线并找到等量关系列出相应的表达式或方程是解答本题的关键7如图，在平面，在平面直角坐标系中，地物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0）与y轴交于点C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；（3）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位，平移后的抛物线与

24、y轴交于点E，点M为直线BC上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）（-，）【分析】（1）把A（1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线解析式得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组可得b、c的值，从而得到抛物线的表达式；（2）作PHx轴，交直线BC于H点，求出直线BC的解析式，表示出P，H的坐标，得到PH的长，根据平行四边形的性质得到四边形CPBD面积关于x的函数，由二次函数的最值即可求解；（3）先求出平移后的抛物线，根据矩形的性质求出M点坐标，再根据全等三角形的性质即可找

25、到N点位置及坐标【详解】解：（1）由题意可得：，解之得：，抛物线的函数表达式为；（2）作PHx轴，交直线BC于H点，令x=0，=-2C（0，-2）设直线BC的解析式为y=kx+b把B（3，0）、C（0，-2）代入得解得直线BC的解析式为y=x-2设P（x，），则H（x，x-2）PH=（x-2）-（）=四边形CPBD是平行四边形，S四边形CPBD=2SBCP=3（）=当x=时，四边形CPBD面积的最大值为；（3）=OC=2，OB=3BC=将该抛物线沿射线CB方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位、向上平移1个单位平移后的抛物线为y=平移后的抛物线与y轴交于点E，令x=0，y=E（0，）点C

26、，E，M，N为顶点的四边形为矩形，BCEM由（2）可知直线BC的解析式为y=x-2设直线EM的解析式为y=-x+n把E（0，）代入y=-x+n，解得n=直线EM的解析式为y=-x+联立，解得M（，）如图，作MTy轴，NSy轴在RtENS和RtCMT中RtENSRtCMTES=CT，NS=MT，=即，解得N点坐标为（-，）【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、待定系数法的运用及矩形的性质特点8如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24（1）求抛物线的解析式（2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点

27、，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为在（2）的条件下，在直线上是否存在一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）面积的最大值为，点P的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或或【分析】（1）由题意易得点A、B的坐标，则，然后由的面积为24可得，设抛物线解析式为，进而把点C的坐标代入求解即可；（2）由（1）易求直线AC的解析式，进而可得直线DE的解析式为，过点P作PHy轴，交DE的延长线于点H，设点，的面积为S，则

28、，然后根据铅垂法可得，最后问题可求解；（3）由题意易得点C、F重合，由（2）可得，由题意可设，然后根据菱形的性质可分当时，当时，当时，进而根据两点距离公式可进行分类求解【详解】解：（1）两点的横坐标分别是和2，的面积为24，即，设抛物线解析式为，把点的坐标代入得：，解得：，抛物线解析式为，即为；（2）由（1）可得：抛物线解析式为，点，设直线AC的解析式为，把点A、C代入得：，解得：，直线AC的解析式为，直线DE与AC的斜率相等，即k相等，设直线DE的解析式为，把点代入得：，解得：，直线DE的解析式为，过点P作PHy轴，交DE的延长线于点H，如图所示：设点，的面积为S，则，根据铅垂法可得的水平宽

29、为点D、E的水平距离，即为2，铅垂高为PH的长，即为，当时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为；（3）存在点M、N，使得以为顶点的四边形是菱形，理由如下：将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，结合（1）可得：平移后的解析式为，点C、F重合，由（2）可得直线AC的解析式为，点P的坐标为，设，四边形是菱形，当时，由两点距离公式可得：，解得：，点；当时，同理可得：，解得：（舍去），点；当时，同理可得：，解得：，点或；综上所述：当以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质与菱形的性质是解题的关键9如图所示，在平面直角坐标

30、系由抛物线与轴的两个交点分别为，点在抛物线上，且直线与轴形成的夹角为求该抛物线的函数表达式；若点为直线上方抛物线上的动点，求点到直线距离的最大值；将满足中到直线距离最大时的点，向下平移个单位长度得到点，将原抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）或或【分析】（1）待定系数法求函数表达式即可；（2）点到的距离转化为，求的最大值来转化；（3）根据条件先求出，的坐标，再根据为平行四边形的边和对角线进行分类讨论【详解】解：（1）

31、抛物线与轴的两个交点分别为，（2）作于，轴交于点，交轴于，设，则，当时，最大为9，的最大值为，即到的最大距离为，（3）由（2）知：，直线与抛物线交点坐标为，抛物线向右平移2个单位后解析式为：，对称轴为：直线，当为边时，如图，若平移到，平移到，则的横坐标为，将代入平移后解析式：得，当为边时，若平移到，平移到，则的横坐标为，将代入平移后解析式：得，当为对角线时，可看作平移到，平移到，的横坐标为，将代入平移后解析式：得，综上所述：或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，点的平移以及抛物线的平移、平行四边形、斜化直等知识和方法，综合性较强，要求学生具有较强的分析能力10已知，二次函

32、数yx2x2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC（1）如图1，请判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DPAC交抛物线于点P，过P作PEx轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FGPE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线yax2bxc（a0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）最大值为3，；（3）

33、存在，或【分析】（1）此题根据抛物线解析式，可以令和，分别求出、点坐标，继而求得、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形，此题也可以根据相似三角形的判定来解决；（2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；（3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直

34、角，构造一线三等角相似，即可求得点坐标【详解】解：（1）令，则，令，则，解得：，在中，同理，又，即为直角三角形；（2）设直线为，代入点，得，直线为，同理，直线为，轴，轴，设，轴，轴，又，当最大时，取得最大值，又，当时，最大值为，最大值为3，可设直线为，代入点，得，直线为：，令，解得，此时最大值为3；（3）存在这样的点，使以、为顶点的四边形为矩形，当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移3个单位，平移后得抛物线为：，对称轴为直线，当，为对角线，构成矩形时，如图1，过作轴于点，又，又，由坐标与平移关系可得，当，为对角线，构成矩形时，如图2，由坐标与平移关系可得，综上所述，为或【点睛】此题是一道二次函数综合题，即考查了直角三角形的判定，又考查了面积最值问题，还考查了平面直角坐标系中直角的应用，设参解决问题是基本功，考虑函数最值问题，一定要根据取值范围，数形结合来讨论，讨论特殊四边形存在性问题，一定要数形结合，分类讨论