五年级上册数学培优奥数讲义-第15讲 余数定理.docx

1、第15讲 余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。初级挑战1（1）2354（ ） （2）1084271653（ ） 214453（ ）3957（ ） 322480（ ）（3）155351（ ） 230376（

2、） 3853128（ ）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（ ）。如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。能力探索11、快速计算：（234123732）3的余数。2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。（甲数乙数丙数）9的余数是多少？答案：1、0 2、（365）915，所以余数是5。初级挑战2（1）12

3、97183 （2）237547（ ） 717101 200540 58782 3757（ ）（3）93423（ ） 3047（ ） 63415（ ）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？来源:学+科+网思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（ ）。当不够减时，可先加上除数再减。答案：（2）2、2；（3）1、2、3发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的差，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的差。能力探索21、快速计算：（1583634）9的余数。答案：42、甲数除以19的余数是7，乙数除以19的余数是13，那么甲数减去乙数的差再除

4、以19的余数是多少？答案：13中级挑战1（1）已知：17532 12522计算：（1712）5的余数。（2）已知：1257176 3457492计算：（125345）7的余数。思维点拨：余数定理三：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之（ ）。如果余数之积大于除数，继续除以除数得到余数。答案：（1）224；（2）（62）715能力探索31、已知51211466 34611315计算：（512346）11的余数。来源:Zxxk.Com答案：（65）1128，所以余数是8。2、计算：17354409672除以3所得的余数。 答案：03、求（53535353）5的余数。 答案：1中级

5、挑战2计算：（785259182473）7的余数。思维点拨：根据余数定理一、二、三，分别算出每个数除以7的余数，再将余数按照运算符号进行计算求得结果。答案：6能力探索4计算：（6456725234）6的余数。来源:Z|xx|k.Com来源:学科网答案：1聪明泉婚礼五岁的女儿第一次参加婚礼，看到新娘穿着白色的礼服，她好奇地问我：“新娘穿白色的衣服代表着什么？”我告诉她：“白色代表幸福和快乐，今天是她一生中最幸福的日子。”女儿沉思了片刻，不解的问道：“那么新郎穿着黑色的衣服又代表了什么呢？”拓展挑战5的余数是多少？思路引领：表示2013个18相乘，要求除以5的余数，因为185的余数是3，根据余数定

6、理三，本题实际上可转化为求5的余数。因为：5余3 5余4 5余2 5余1 5余3 5余4 5余2 5余1所以这些被除数除以5后，余数是3、4、2、1循环，每4个数循环一次，201345031所以5的余数是3，那么5的余数为3。能力探索56的余数是多少？答案：6 的余数为2，那么6的余数与6的余数相等。又因为：余2，余4，余2，余4由规律可知这些被除数除以6后，余数是2、4，每2个数循环一次，50225，所以6的余数是4，即6的余数是4。课堂小测1、已知203、109除以5的余数分别是3和4，那么203109除以5的余数是多少？答案：22、（34578124）3的余数是多少？答案：23、甲数除以

7、11的余数为9，乙数除以11的余数为7，丙数除以11的余数为6，那么：（甲数乙数丙数）11的余数为_；（甲数乙数丙数）11的余数为_；（甲数乙数丙数）11的余数为_；（甲数乙数丙数）11的余数为_。来源:学_科_网答案：0；10；4；84、计算：（53329812345287101）9的余数。答案：65、1991被7除，余数是多少？答案：199172843，那么19917的余数与37的余数相同。37余3，37余2，37余6，37余4，37余5，37余1，37余3。课后作业1、a除以7余5，b除以7余4，ab除以7余数是几？答案： 22、求（24611356047）11的余数。答案：53、135137139除以5的余数是多少？答案：4