五年级数学下册典型例题系列之第三单元长方体和正方体的体积部分（解析版）.docx

1、五年级数学下册典型例题系列之第三单元长方体和正方体的体积部分（解析版）编者的话：五年级数学下册典型例题系列是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第三单元长方体和正方体的体积部分。本部分内容考察长方体和正方体的体积，编排从易到难，考点划分较多，共划分为十个考点，建议作为本章重点内容进行讲解，欢迎使用。【考点一】直接求长方体和正方体的体积及反求。【方

2、法点拨】1.长方体的体积= 长宽高 V=abh 长= 体积宽高 a=Vbh 宽= 体积长高 b=Vah 高= 体积长宽 h= Vab2. 正方体的体积= 棱长棱长棱长 V=aaa = a 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即aaa）3.长方体或正方体底面的面积叫做底面积。（横截面积相当于底面积，长相当于高）。4.长方体的体积= 长宽高 = 底面积高 5.正方体的体积= 棱长棱长棱长=底面棱长 6.长（正）方体的体积用字母表示：V=Sh 【典型例题1】某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方分米？解析：40厘米=4分米444=64（立方分米）答：略。【典型例题2】一个长2分

3、米，宽4分米，高5分米的长方体木块，这个木块的体积是多少立方分米？解析：245=40（立方米）答：略。【对应练习1】一个正方体玻璃容器的棱长是15厘米，体积是多少立方厘米？解析：151515=3375（立方厘米）答：略。【对应练习2】希望小学有一间长10米，宽6米，高3.5米的教室。这间教室的空间有多大？解析：1063.5=210（立方米）答：略。【对应练习3】要挖一个容积是4.8立方米的长方体地窖，如果地窖的长是2米，宽是1.2米，深要挖几米？解析：4.821.2=2（米）答：略。【对应练习4】一个长方体的花坛，体积是60立方米，高是0.3米。这个花坛占地面积是多少平方米？解析：600.3=

4、200（平方米）答：略。【对应练习5】 一个长方体油箱，容积是20升，这个油箱的底面是个边长为20厘米的正方形。油箱的高是多少厘米？解析：20升=20立方分米=20000立方厘米20000（2020）=50（厘米）答：略。【考点二】求组合立体图形的体积。【方法点拨】求组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加，或用图形整体的体积减去空白部分的体积。【典型例题1】有一个形状如下图所示的零件，求它的体积。（单位：cm）解析：正方体：333=27（立方厘米）长方体：5126=360（立方厘米）组合图形：27+360=387（立方厘米）答：略。【典型例题2】下面是某

5、一零件，你能求出它的体积吗？（单位：厘米）解析：286-143=84（立方厘米）答：略。【对应练习1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？（单位：厘米）解析：4102+（6-2）210=160（立方厘米）答：略。【对应练习2】有一个形状如下图的零件，求它的体积。（单位：厘米）解析：222+426=56（立方厘米）答：略。【对应练习3】如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。解析：表面积：444+886=448（平方分米）体积：888-444=448（立方分米）【对应练习4】如图，求下面零件的体积。（单位：厘米）解析：812

6、4-444=384-64=320（立方厘米）【考点三】体积的扩倍问题。【方法点拨】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。【典型例题】长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的（ 8 ）倍。正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（ 8 ）倍。【对应练习】正方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大（ 27 ）倍。【考点四】体积进阶问题。【方法点拨】先求出对应的体积，再根据已知条件解答问题。【典型例题】一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克。这个沙坑里共装沙子多少吨？ 解析：31.521400=12600（千克）=12.6（吨）答：略

7、。【对应练习1】一块长方体钢材，长1米，宽4厘米，厚3厘米，它的体积是多少立方厘米？每立方厘米的钢重7.8克，这块钢材的质量是多少千克？解析：1米=100厘米10043=1200（立方厘米）12007.8=9360（克）=93.6（千克）答：略。【对应练习2】学校要砌围墙。已知这道围墙长24米、宽24厘米、高2.5米。如果每立方米用砖头500块，一共要用多少块砖？解析：24厘米=0.24米240.242.5=14.4（立方米）14.4500=7200（块）答：略。【对应练习3】一堆货物堆成长方体形状，长8m，宽6m，高4m。如果每立方分米货物重1.8吨，这堆货物有多少吨？解析：864=192（

8、立方米）=192000立方分米1920001.8=345600（吨）答：略。【考点五】稍复杂的求体积问题。【方法点拨】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。【典型例题1】长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解析：200（12+8）=10（厘米）12810=960（立方厘米）答：略。【典型例题2】一个正方体木块，把它锯成两个完全一样的长方体后，每个长方体的表面积比原来正方体的表面积小32平方厘米。求原正方体的体积。解析：一个面的面积：322=16（平方厘米）棱长是4厘米。444=64（立方厘米）答

9、：略。【典型例题3】一个长方体，如果高增加3厘米，就变成棱长为8厘米的正方体。原长方体的体积是多少？解析：原来的高：8-3=5（厘米）885=320（立方厘米）答：略。【对应练习1】一个长方体的棱长总和是厘米，长、宽、高之比是，求长方体的表面积和体积分别是多少？解析：长：724=8（厘米）宽：724=6（厘米）高：724=4（厘米）答：略。【对应练习2】一个长方体，如果高减少2厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少72平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？解析：724=18（平方厘米）棱长：182=9（厘米）体积：99（9+2）=891（立方厘米）答：略。【对应练习3】一个长方体，高减少正

10、好成为一个正方体，表面积减少，求原长方体的体积。解析：3242=4（厘米）体积：44（4+2）=96（立方厘米）答：略。【对应练习4】一根长2米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了100平方厘米，它的体积是多少？解析：2米=200厘米1002200=10000（立方厘米）=10（立方分米）答：略。【考点六】长方形折叠问题。【方法点拨】求出对应的长、宽、高即可。【典型例题1】一张长30厘米，宽18厘米的长方形硬纸板，在它的四角上各剪去一个边长为2厘米的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计）。这个纸盒的容积是多少毫升?解析：长：30-22=26（厘米）宽：18-22=14（厘米）高：

11、2厘米容积：26142=728（毫升）答：略。【对应练习1】在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）解析：长：25-52=15（分米）宽：20-52=10（分米）高：5分米答：略。【对应练习2】一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 解析：表面积：2621-334=510（平方厘米）体积：（26-32）（21-32）3=900（立方厘米）答：略。【对应练习3】在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个

12、边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？解析：4030-444=1136（平方厘米）答：略。【考点七】体积不变原理。【方法点拨】熔铸、锻造以及倒水等问题，体积是不变的。【典型例题】一个正方体油箱，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内。已知长方体油箱长8分米，宽5分米，这个油箱中油深多少分米？解析：85=40（平方分米）21640=5.4（分米）答：略【对应练习1】把一个棱长为的正方体的钢坯，锻造成一个长，宽的长方体钢件，这个钢件高是多少厘米？解析：888（3210）=1.6（厘米）答：略。【对应练习2】把一个长9厘米、宽7厘米、高3厘米的长方体铁

13、块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体铁块，求这个长方体铁块的高。解析：（973+555）20=15.7（厘米）答：略。【对应练习3】有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米、宽是16厘米、高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水，如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？解析：20167（1610）=14（厘米）答：略。【对应练习4】一个长方体容器长20cm，宽10cm，高8cm，里面水深5cm。把这个容器盖紧后，让宽10cm，高8cm的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？解析：20105（108）=12.5（厘米）答：略。【对应练习5】如下图所示，一个长方体密封玻

14、璃容器，里面装着水从容器里面量长是厘米、宽是厘米、高是厘米，水深是厘米如果把容器的右侧面和前面作为底面放在桌子上，容器中的水深分别是多少厘米？ 解析：20126=1440（立方厘米）14401210=12（厘米）答：略。【考点八】排水法初步。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积：排水法的公式：V物体 =V现在V原来也可以 V物体 =S(h现在- h原来) V物体 = Sh升高【典型例题】小明在一个底面积为48dm2的长方体水槽中放了一块石头（完全浸没），水面上升了2cm，这块石头的体积有多大？解析：2厘米=0.2分米480.2=9.6（立方分米）【对应练习1】一个长50厘米，宽40厘

15、米，高40厘米的长方体鱼缸中水深25厘米，放入几个梨子后，水面上升了3厘米，这几个梨子的体积是多少？解析：50403=6000（立方厘米）答：略。【对应练习2】一个金鱼缸的长是6dm，宽是2dm，里面装有4.4dm高的水，放入8条小鱼后，水面上升到4.5dm，请你算一算，平均每条小鱼的体积约是多少？解析：62（4.5-4.4）8=0.15（立方分米）答：略。【对应练习3】在一个长6分米，宽4分米，高3分米的长方体玻璃缸中，水深2分米，把一个实心球放入水中，水深2.5分米，求实心球的体积？解析：64（2.5-2）=12（立方分米）答：略。【对应练习4】一个长方体容器，从里面量长宽均为3分米，向容

16、器里倒入9升水，再把几个土豆放入水中，这时水深16厘米，这几个土豆的体积是多少？解析：9L=9立方分米16厘米=1.6分米331.6-9=5.4（立方分米）答：略。【对应练习5】一个底面长和宽都是2dm的长方体玻璃容器，里面装有5.6L水，将一个苹果浸没在水中，这时量得容器内的水深1.5dm。这个苹果的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计）解析：原来水高：5.6（22）=1.4（分米）现在水高：1.5-1.4=0.1（分米）苹果体积：0.122=0.4（立方分米）答：略。【考点九】排水法进阶。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积：排水法的公式：V物体 =V现在V原来也可以 V物体

17、=S(h现在- h原来) V物体 = Sh升高【典型例题1】在一个装满水的棱长40分米（从里面量）的正方体水缸里，有一块被水浸没了的长方体铁块，它的长20分米，宽16分米，当把铁块取出后，水位下降了4分米，求长方体铁块的高是多少？解析：40404（2016）=20（分米）答：略。【典型例题2】一个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28cm、体积为4200cm3的假石山，如果水管以每分钟8dm3的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？解析：8立方分米=8000立方厘米（462528-4200）8000=3.5（分钟）【典型例题3】一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸

18、，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？解析：现在水的体积：251820=9000（立方厘米）正方体铁块的体积：333=27（立方厘米）取出铁块后的体积：9000-27=8973（立方厘米）现在水深：89732518=19.94（厘米）答：略。【对应练习1】在一个长16分米、宽8分米、高7分米的长方体玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸没一块棱长是4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？解析：444（168）=0.5（分米）答：略。【对应练习2】一个长方体水族箱从里面量长，宽。如果每条金鱼的体积是，向水族箱中放入条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上

19、升了多少厘米？解析：6403（3225）=2.4（厘米）答：略。【考点十】排水法：溢出问题。【方法点拨】物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。【典型例题】一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深3分米，如果投入棱长4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少？解析：444+863-864=16（升）答：略。【对应练习1】西湖饭店门前有一个长7m，宽4m，高1m的水池，张叔叔先在水池中注满水，然后把两条长2m，宽1.5m，高2m的石柱竖着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？解析：21.512=6（立方米）答：略。【对应练习2】一只长方体的玻璃缸，长8dm、宽6dm、高4dm。如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？解析：444-86（4-2.8）=6.4（升）答：略。【对应练习3】一个长方体玻璃容器长，宽，高，水深如果放入一块棱长为的正方体石块，玻璃容器中的水溢出多少升？解析：555+1073.5-1075=20（升）答：略。