初三-第02讲-矩形-教案.docx

1、第02讲 矩形 温故知新复习平行四边形的性质边对边相等，对边平行角对角相等，邻角互补对角线对角线互相平分智慧乐园活动一：拿出自制平行四边形学具，分组活动,交流回答下列问题 问题一：平行四边形在拖动过程中，什么在发生变化？ 问题二：平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生什么特殊情况？这时的图形是什么图形？ 学生归纳得出矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形活动二：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？(小组讨论，得出猜测) 猜想1：矩形的四个角都是直角 猜想2：矩形的对角线相等知识要点一矩形的定义及性质 （1）矩形的定义 定义：有一个角是

2、直角的平行四边形叫做矩形。 注意：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形； 矩形必须具备的两个条件：它是一个平行四边形，它有一个直角。 （2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等； 矩形具有平行四边形的所有性质；矩形是轴对称图形。 （3）直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 典例分析例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（）A3对 B4对C5对 D6对【解析】选D例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CEBD，DE

3、AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）A2 B4 C4 D8【解析】 选A例3、如图所示，矩形ABCD中，AE平分BAD交BC于E，CAE=15，则下面的结论：ODC是等边三角形；BC=2AB；AOE=135；SAOE=SCOE，其中正确结论有（）A1个 B2个C3个 D4个【解析】正确；正确；正确；故选C例4、如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（）ADCEF BDCEFCDC=EF D无法比较【解析】E、F分别为AC、BC的中点，EF=AB，在RtABC中，D是AB的中点，CD=AB，CD=EF，故选：C例5、

4、如图，在RtABC中，ACB=90，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB，若B=50，则ACB=10【解析】ACB=90，B=50，A=40，ACB=90，CD是斜边上的中线，CD=BD，CD=AD，BCD=B=50，DCA=A=40，由翻折变换的性质可知，BCD=BCD=50，ACB=BCDDCA=10，故答案为：10例6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQCP交AD边于点Q，连接CQ（1）当CDQCPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MDMP，求AQ的长【解析】（1）CDQCPQ，DQ=PQ，PC

5、=DC，AB=DC=5，AD=BC=3，PC=5，在RtPBC中，PB=4，PA=ABPB=54=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3x，在RtPAQ中，（3x）2=x2+12，解得x=，AQ=（2）如图2，过M作EFCD于F，则EFAB，MDMP，PMD=90，PME+DMF=90，FDM+DMF=90，MDF=PME，M是QC的中点，DM=QC，PM=QC，DM=PM，在MDF和PME中，MDFPME（AAS），ME=DF，PE=MF，EFCD，ADCD，EFAD，QM=MC，DF=CF=DC=，ME=，ME是梯形ABCQ的中位线，2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，AQ=2学霸说：熟练掌握矩

6、形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键； 举一反三1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO若COB=60，FO=FC，则下列结论：FB垂直平分OC；EOBCMB；DE=EF；SAOE：SBCM=2：3其中正确结论的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】正确；错误；正确；正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B2、如图，RtABC中，ABC=90，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（）A3 B6 C D12【解析】选：D 3、已知：如图，矩形

7、ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点求证：BE=CF【解析】四边形ABCD是矩形，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，OA=OC=OB=OD，点E是AO的中点，点F是OD的中点OE=OA，OF=OD，OE=OF，在OBE和OCF中，OBEOCF（SAS），BE=CF知识要点二矩形的判定 判定方法（1）方法一：（定义判断）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）方法二：（对角线判定）对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （3）方法三：（角判定）有三个角是直角的平行四边形是矩形。 典例分析例1、在数学活动课上，老师和同学们

8、判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相互平分 B测量两组对边是否分别相等C测量对角线是否相等 D测量其中三个角是否都为直角【解析】选D例2、如图，要使ABCD成为矩形，需添加的条件是（）AAB=BC BAO=BOC1=2 DACBD【解析】选B例3、如图，在锐角ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MNBC，设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（）OE=OF； CE=CF； 若CE=12，CF=5，则OC的长为6；当AO=CO时，四边形AECF是矩形A BC D【解析】正确；错误；错误；正确

9、；故选B例4、在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF（1）求证：四边形BFDE为矩形； （2）若AE=3，BF=4，AF平分DAB，求BE的长【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，DFBE，又DF=BE，四边形BFDE是平行四边形，又DEAB，DEB=90，平行四形BFDE是矩形；（2）解：四边形BFDE是矩形，DFAB，DE=BF=4，DF=BE，DAF=FAB，又AF平分DAB，DAF=FAB，DFA=DAF，DA=DF，又DEAB，DEA=90，在RtADE中AD=5，BE=5 举一反三1、如图，四边形ABCD的对角线AC，B

10、D相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）AAB=CD BOA=OC，OB=ODCACBD DABCD，AD=BC【解析】选B2、如图，已知MNPQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是矩形【解析】矩形3、如图，将ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F（1）求证：BEFCDF；（2）连接BD、CE，若BFD=2A，求证：四边形BECD是矩形【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCDBE=AB，BE=CDABCD，BEF=CDF，EBF=DCF

11、，在BEF与CDF中，BEFCDF（ASA）；（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，A=DCB，AB=BE，CD=EB，四边形BECD是平行四边形，BF=CF，EF=DF，BFD=2A，BFD=2DCF，DCF=FDC，DF=CF，DE=BC，四边形BECD是矩形 课堂闯关 初出茅庐 l 建议用时：10分钟1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A4 B8C10 D12【解析】选B 2、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且ab，1=60，则2的度数为（）A30 B45C60 D75【

12、解析】过点D作DEa，四边形ABCD是矩形，BAD=ADC=90，3=901=9060=30，ab，DEab，4=3=30，2=5，2=9030=60故选C3、下列说法正确的是（）A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是平行四边形C平行四边形的对角线相等 D有一个角是直角的四边形是矩形【解析】选B4、如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形【解析】答案是：EB=DC 5、如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于30度【解析】在RtABC中

13、，CE是斜边AB的中线，AE=CE，A=ACE，CED是由CBD折叠而成，B=CED，CEB=A+ACE=2A，B=2A，A+B=90，A=30故答案为：30 6、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则B等于30【解析】CD是斜边AB上的中线，CD=AD，又CD=AC，ADC是等边三角形，A=60，B=90A=30故答案为：30 优学学霸 l 建议用时：15分钟1、如图，四边形ABCD中，ABC=ADC=90，E、F分别是AC、BD的中点，BAC=15，DAC=45，则的值为【解析】连接BE，ED，ABC=ADC=90且E为AC中点，DE=AC，BE=AC，BE=DE，F为BD

14、中点，EFBD，ABC=ADC=90，A，B，C，D四点共圆，BAC=15，DAC=45，BAD=60，BED=120，FED=60，EF=DE，CD=DE，=故答案为：2、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值【解析】（1）由折叠性质得：ANMADM，MAN=DAM，AN平分MAB，MAN=NAB，DAM=MAN=NAB，四边形ABCD是矩形，DAB=90，DAM=30，DM=ADtanDAM=3tan3

15、0=3=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，DMA=MAQ，由折叠性质得：ANMADM，DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，MAQ=AMQ，MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，ANM=90，ANQ=90，在RtANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，（x+1）2=32+x2，解得：x=4，NQ=4，AQ=5，AB=4，AQ=5，SNAB=SNAQ=ANNQ=34=；（3）过点A作AHBF于点H，如图2所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，HBA=BFC，AHB=BCF=90，ABHBFC，=，AHAN=3，AB=4，当点

16、N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，AD=BC，AH=BC，在ABH和BFC中，ABHBFC（AAS），CF=BH，由勾股定理得：BH=，CF=，DF的最大值=DCCF=4考场直播1、【2016秋深圳期末】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（）AAB=BC BAB=ACCAC=BD DACBD【解析】选：C2、【2016秋深圳期末】如图，在ABC中，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，BE与CD相交于点F，BF=2

17、CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G下列结论中：A=67.5；DF=AD；BE=2BG；DHBC，正确的个数是（）A1个 B2个C3个 D4个【解析】正确；正确；正确；错误故选C3、【2017深圳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC=2CAD，则BAE=22.5度【解析】四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OBOC，OAD=ODA，OAB=OBA，AOE=OAD+ODA=2OAD，EAC=2CAD，EAO=AOE，AEBD，AEO=90，AOE=45，OAB=OBA=67.5，BAE=OABOAE=

18、22.5答案为22.5套路揭密：（1）考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。自我挑战l 建议用时：30分钟 1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）AAB=CD BAD=BCCAB=BC DAC=BD【解析】选：D2、如图，在矩形ABCD中（ADAB），点E是BC上一点，且DE=DA，AFDE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）AAFDDCE BAF=ADCAB=AF DBE=ADDF【解析】选B3、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角

19、线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（）A11B16C19D22【解析】选D4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3【解析】四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，AE垂直平分OB，AB=AO，OA=AB=OB=3，BD=2OB=6，AD=3；故答案为：3 5、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长

20、是5或4或5【解析】如图所示：当AP=AE=5时，BAD=90，AEP是等腰直角三角形，底边PE=AE=5；当PE=AE=5时，BE=ABAE=85=3，B=90，PB=4，底边AP=4；当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或56、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积【解析】（1）证明：折叠，AM=AB，CN=CD，FNC=D=90，AME=B=90，ANF=

21、90，CME=90，四边形ABCD为矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CNMN，即AN=CM，在ANF和CME中，ANFCME（ASA），AF=CE，又AFCE，四边形AECF是平行四边形；（2）解：AB=6，AC=10，BC=8，设CE=x，则EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，（8x）2+42=x2，解得：x=5，四边形AECF的面积的面积为：ECAB=56=30 7、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明

22、你的结论【解析】（1）证明：AFBC，AFE=DCEE是AD的中点，AE=DEAEF=DEC，AEFDEC AF=DC，AF=BDBD=CD，D是BC的中点； （2）四边形AFBD是矩形，证明：AB=AC，D是BC的中点，ADBC，ADB=90，AF=BD，AFBC，四边形AFBD是平行四边形， 四边形AFBD是矩形8、如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且1=2（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM【解析】（1）四边形ABCD是矩形，ADE=90，AD=2，DE=1，AE=，点P为线段AE中点，AP=AE=；（2）延长BF交CD的延长线于点N，点P为线段AE中点，AP=PE，ABCD，PEN=PAB，2=N，在APB和EPN中，APBEPN（AAS），PB=PN，1=2，2=N，1=N，FN=FM，PB=PN=PF+FN=PF+FM，PB=PF+FM