北师大版八年级上册第五章5.6　二元一次方程与一次函数（教案）.docx

1、5.6二元一次方程与一次函数（教案）教学目标知识与技能：1.理解二元一次方程与一次函数的关系.2.掌握两直线在同一坐标系中的位置关系,能根据图象确定二元一次方程组的解.过程与方法：通过学生的思考、操作和观察,培养学生归纳、概括的能力.情感态度与价值观：通过积极参与数学学习活动,培养学生独立思考、积极探索、勇于创新、团结合作的精神.教学重难点【重点】理解二元一次方程组与一次函数图象的关系.【难点】应用方程与函数的联系解决问题.教学准备【教师准备】教材图5 - 1,图5 - 2的投影片.【学生准备】复习一次函数和二元一次方程组解的概念.教学过程一、导入新课导入一:师:二元一次方程x+y=5的解有多

2、少个?生:(齐答)有无数个解.师:如果我把方程x+y=5移项,变形为y=5-x.你们熟悉这个关系式吗?生:(齐答)熟悉.师:它是?生:(齐答)一次函数.师:你能说出一次函数的图象是什么吗?生:是一条直线.师:请在直角坐标系(如下图所示)中画出它的图象.学生在直角坐标系中画一次函数y=5-x的图象,教师巡视指导.完成后,利用实物投影展示学生的画图情况,及时反馈评价.师:同学们,一次函数y=5-x的图象由无数个点组成,二元一次方程x+y=5有无数个解,它们之间有什么关系?带着这个问题,让我们一起学习第五章第6节二元一次方程与一次函数.(板书课题:6二元一次方程与一次函数)设计意图通过设置问题情境,

3、让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5-x的相互转化,启发、引导学生初步感受二元一次方程与一次函数的对应关系.设置疑问,激发学生的求知欲,培养学生的学习兴趣,为新课的学习做好铺垫.导入二:过渡语随着数学学习的不断深入和知识的不断积累,我们思考问题的角度更加全面,解决问题的方法也更加灵活多样.接下来请同学们思考并解决下面的问题.二元一次方程x+y=5中:问题1：【课件1】用含x的式子表示y,则y=.问题2：【课件2】由此能判断y是x的一次函数吗?问题3：【课件3】所有二元一次方程都可以转化为一次函数的形式吗?问题4：【课件4】二元一次方程2x-y=1如何转化呢?2x-y=3呢?处理方式展示课件

4、,学生口答4个问题.(4)放给学生,先让他们自己去找二元一次方程的例子,接着转化成一次函数的形式,然后再完成给出的两个例子的转化.对于不同学生的不同回答给予及时鼓励和准确的评价.随着问题的出现和解决,自然而然地引出课题.(板书课题)设计意图通过设置问题情境,让学生经历以上4个问题的解决,初步直观地感受到二元一次方程与一次函数之间的相互关系及互相转化在本质上表示的是同一个关系,从而引出课题“二元一次方程与一次函数”.简单直观的问题串,分解学生理解的梯度,增强学习的信心,调动思考的积极性.给出的3个方程是本节课研究的主导线,为后面的学习探究做了充足的准备和铺垫.二、新知构建（1）、二元一次方程与一

5、次函数的关系过渡语同学们,如果我们以二元一次方程x+y=5每一个解的x的值作为横坐标,y的值作为纵坐标构成点的坐标,你能在直角坐标系中描出以上述方程非负整数解为坐标的点吗?思路一：生:能.师:请在直角坐标系(如下图所示)中描出来,看看你有什么发现.(学生根据转化的点的坐标描出各解对应的点)生:这些解对应的点都在一次函数y=5-x的图象上.师:在一次函数y=5-x的图象上任取一点,这个点的坐标适合方程x+y=5吗?生:适合.师:你能展示你的思考过程吗?生:我选择的点是(2,3),把点的坐标代入方程,方程两边相等.师:你真棒!同学们用掌声鼓励一下这位同学.师:方程x+y=5的解有无数个,如果我们把

6、这些以方程x+y=5的解为坐标的所有点都描出来,那么这些点组成的图象是什么?生:是一条直线.师:与一次函数y=5-x的图象相同吗?生:相同.师:由此你能得出什么结论?请在小组内交流你的想法.(学生在小组内交流,交流后代表展示,教师适时引导)生:以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同,是同一条直线.(板书)师:一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.(多媒体出示)(给学生10秒钟体会理解)思路二：出示并讨论教材第123页引例中的4个问题.(1)方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.(无数个.例如x=1,y

7、=4;x=2,y=3)(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗?(描点略,都在一次函数y=5-x的图象上)(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?(适合方程x+y=5)(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?(相同)学生经过上述讨论后,老师总结:任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个,以一个二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同,是一条直线.例如:方程x+y=5,可化为y=-x+5的形式,方程

8、x+y=5的解有无数个,以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同,是同一条直线.（2）、二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程2x-y=1与前面研究的x+y=5结合起来看:问题1：【课件1】两方程的公共解是什么?如何求解得到其公共解呢?问题2：【课件2】两方程对应的一次函数y=-x+5与y=2x-1的图象有何位置关系?为什么?问题3：【课件3】已画出了一次函数y=-x+5的图象,请在同一坐标系内画出一次函数y=2x-1的图象,并验证上一问题结论的正误.问题4：【课件4】观察并总结方程组x+y=5,2x-y=1的解与对应的两个一次函数的图象的交点坐标有何关系.

9、问题5：【课件5】对于方程组x+y=5,2x-y=1,目前你都有哪些方法求此方程组的解?处理方式学生独立在学案上完成后小组讨论交流,小组代表发言,逐步总结出二元一次方程组的解和相应的两条直线的交点的关系,教师适时点拨.例如:(1)利用投影图充分展示学生所列的方程组和其不同解法.(2)让学生回顾从函数表达式上直接判断两个一次函数图象的关系(两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2,若k1k2则它们的图象(直线l1与l2)相交).(3)学生在学案网格纸上画图象,一名同学到黑板前展示,直观验证两直线相交,并标出交点,写出坐标.(4)类比前面的方法,逐步总结、概括出来它们的关系:求二元一次方程组

10、的解可以转化为求两条直线的交点的横、纵坐标;求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.(5)教师稍加引导即可,二元一次方程组的解法有:代入消元法、加减消元法和图象法三种.给学生点出图象法的步骤(方程化成函数关系式、画图象、找交点、估坐标、写出解),要指出利用一次函数的图象可以粗略估计两直线交点坐标,也可以找到二元一次方程组的近似解.要得到准确解,一般还是用代入消元法或加减消元法解方程组.设计意图学生先自己列出二元一次方程组,再求解,比直接给出方程组求解理解更深刻,并从中展示学生不同的解法,即代入消元法和加减消元法,为(5)做铺垫.类比前面的问题和思考方

11、法,由学生自主学习,十分自然地建立了数形结合的意识,学生再次感受到了“数”(二元一次方程组)的问题可以转化为“形”(两条直线)来处理,反之“形”的问题可以转化成“数”来处理,培养了学生的创新意识和变式能力.（3）、跟踪训练1.解方程组4x-y=1,y=2x+3.2.在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=4x-1和y=2x+3的图象.观察图象,你有什么发现?处理方式四人一个小组合作交流,学生根据分工,两名同学解方程组,两名同学在学案的直角坐标系中画出一次函数y=4x-1和y=2x+3的图象.完成后,在小组内交流.教师巡回指导,气氛热烈.生:我们组将方程4x-y=1与y=2x+3都变为函数的形式:

12、y=4x-1与y=2x+3,然后在同一直角坐标系中画出它们的图象,图象的交点坐标就是这个方程组的解.师:其他小组有不同意见吗?生:(齐答)没有.师:通过大家验证,我们也可以得出,二元一次方程组4x-y=1,y=2x+3的解与相应的两个一次函数图象的交点坐标相同(如下图所示).一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.知识拓展二元一次方程组与一次函数图象的关系很好地体现了“数”与“形”的统一,二元一次方程组的解是“数”,两个一次函数图象的交点是“形”,一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当

13、于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组,相当于确定相应两条直线交点的坐标.如果方程组无解,那么两图象无交点,反之,如果两图象无交点(不重合),那么方程组无解.三、课堂总结四、课堂练习1.二元一次方程x+y=2,也可以记作y=-x+2,也就是说一次函数是二元一次方程的特殊形式,因此二元一次方程x+y=2的每一个解的一对值作为坐标(x在前,y在后)确定的点一定在直线上,反过来,直线上每一个点的所对应的一对值也一定适合对应的二元一次方程,因为直线y=-x+2上有个点,所以二元一次方程x+y=2有个解.答案:y=-x+2横、纵坐标无数无数2.以方程x+y=5的解为坐标的点一定在一次函数的图

14、象上,一次函数y=5-x的图象上的点的坐标恰是方程的解.答案:y=-x+5x+y=53.设ba,将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内,则下图中正确的是()解析:由方程组y=bx+a,y=ax+b的解,知两直线的交点为(1,a+b),根据交点的坐标可判断出图象的位置.图A中交点横坐标是负数,故图A不对;图C中交点横坐标是2,故图C不对;由图D中一条直线可知a0,与另一条直线不符,故图D不对.故选B.4.如下图所示的四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是()解析:本题实际是判断所给四个图象中哪个是函数y=12x-1的图象.将四个图象中直线

15、与x轴和y轴的交点坐标分别代入函数解析式,相吻合的就是函数y=12x-1的图象.故选C.五、板书设计6二元一次方程与一次函数一、二元一次方程与一次函数的关系二、二元一次方程组与一次函数的关系三、跟踪训练六、布置作业（1）、教材作业【必做题】教材习题5.7第1,2,3题【选做题】教材习题5.7第4题（2）、课后作业【基础巩固】1.如下图所示的是在同一坐标系内作出的两个一次函数的图象l1,l2,设y=k1x+b1,y=k2x+b2,则方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2的解是()A.x=-2y=2 B.x=-2y=3 C.x=-3y=2 D.x=-3y=32.显然方程组x+y=2,2x+2y=

16、3没有解,由此可知一次函数y=-x+2与y=-x+32的图象必定()A.重合B.平行 C.相交D.无法判断3.如图所示的四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是()4. 如下图所示,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象,可得二元一次方程组y=ax+b,y=kx的解是.5.方程组4x-y=1,y=2x+3的解是,则一次函数y=4x-1与y=2x+3的图象的交点为.6.下图中的两直线l1与l2的交点P的坐标可以看成是方程组的解.【能力提升】7.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内画出了相应的两个一次函数的图象l1,l2,如图所示,

17、则他解的这个方程组是()A.y=-2x+2y=12x-1B.y=-2x+2y=-xC.y=3x-8y=12x-3D.y=-2x+2y=-12x-18.在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x-y-2=0和x-y+3=0所对应的一次函数的图象.利用图象求:(1)方程2x-2=x+3的解;(2)方程组2x-y-2=0,x-y+3=0的解.【拓展探究】9.已知两直线y1=2x-3,y2=6-x.(1)在同一坐标系中作出它们的图象;(2)求它们的交点A的坐标;(3)根据图象指出x为何值时y1y2;(4)若直线y1=2x-3,y2=6-x分别与x轴相交于点B,C,求这两条直线与x轴所围成的ABC的面积

18、.【答案与解析】1.B(解析:仔细观察图象即可求解.)2.B(解析:当k值相等b值不相等时,两直线平行.)3.B(解析:2x-y=2,y=2x-2,当x=0时,y=-2;当y=0时,x=1.一次函数y=2x-2的图象与y轴交于点(0,-2),与x轴交于点(1,0),即可得出选项B符合要求.故选B.)4.x=-4,y=-25.x=2,y=7(2,7)6.-12x+1=y,-2x-2=y7.D(解析:由图可知直线l1过(0,2),(2,-2),因此直线l1对应的函数表达式为y=-2x+2,直线l2过(-2,0),(2,-2),因此直线l2对应的函数表达式为y=-12x-1.因此所求的二元一次方程组为y=-2x+2,y=-12x-1.故选D.)8.解析:(1)首先画出y=2x-2,y=x+3的图象,方程的解看两直线的交点,横坐标的值即x值.(2)方程组的解看两直线的交点,x=横坐标的值,y=纵坐标的值.解:画y=2x-2和y=x+3的图象如图所示.(1)根据图象可知方程2x-2=x+3的解为x=5.(2)根据图象可知方程组2x-y-2=0,x-y+3=0的解为x=5,y=8.9.解:(1)如图所示.(2)解方程组y=2x-3,y=6-x,得x=3,y=3,所以A(3,3).(3)当x3时,y1y2.(4)可求得B32,0,C(6,0),则SABC=126-323=274.