华东师大版八年级上册 13.3 等腰三角形（2） 讲义（无答案）.docx

1、等腰三角形（2）_1、了解等腰三角形的概念；2、掌握等腰三角形的性质；3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题1等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等【简称：_ _ _】 说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法 等腰三角形的判定和性质互逆； 判定定理在同一个三角形中才能适用2. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 等边三角形是特殊的_ _三角形 它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； 可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等

2、腰三角形的特殊情况 在等边三角形中，腰 和底、顶角和底角是相对而言的 （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于_ _ 等边三角形是轴对称图形，它有_ _对称轴； 它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴3. 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的 边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同 样具备_ _ _的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用 （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30角的直

3、角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等 （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60的角判定4含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的_ _（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时

4、，要注意找准30的角所对的直角边，点明斜边参考答案：1. 等边对等角2.（1）等腰；（2）60 三条3.（1）三线合一 4.（1）一半1. 等腰三角形的判定【例1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A6 B7 C8 D9【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰ABC底边；AB为等腰ABC其中的一条腰解：如上图：分情况讨论AB为等腰ABC底边时，符合条件的C点有4个；AB为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个故选：C练1. 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD，CE分别

5、为ABC，ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A5个 B6个 C7个 D8个【解析】由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得解：设CE与BD的交点为点O，AB=AC，A=36，ABC=ACB，再根据三角形内角和定理知，ABC=ACB=72，BD是ABC的角的平分线，ABD=DBC=ABC=36=A，AD=BD，同理，A=ACE=BCE=36，AE=CE，DBC=36，ACB=72，根据三角形内角和定理知，BDC=1807236=72，BD=BC，同理CE=BC，BOC=1803636=108，ODC=DO

6、C=OEB=EOB=72，ABC，ADB，AEC，BEO，COD，BCE，BDC，BOC都是等腰三角形，共8个故选D练2. 如图，在RtABC中，ACB=90，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A4个 B5个 C6个 D7个【解析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可解：如图，AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；以B为圆心，BA为

7、半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）2+（31）+（31）=6，符合条件的点有六个故选C2. 等腰三角形的判定；坐标与图形性质【例2】如图，坐标平面内一点A（2，1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A2 B3 C4 D5【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论： OA为等腰三角形底边；OA为等腰三角形一条腰 解：如上图：OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个综上所述，符合条件的点P的个数共4个故选C总结：本题考查了等腰三

8、角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解练3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A5个 B4个 C3个 D2个【解析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，2）（0，4）故选B3. 等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质【例3】如图所示，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则DFC的度数

9、为（）A60 B45 C40 D30【解析】因为ABC为等边三角形，所以BAC=ABC=BCA=60，AB=BC=AC，根据SAS易证ABDCAE，则BAD=ACE，再根据三角形内角和定理求得DFC的度数 解：ABC为等边三角形BAC=ABC=BCA=60AB=BC=AC在ABD和CAE中BD=AE，ABD=CAE，AB=ACABDCAEBAD=ACE又BAD+DAC=BAC=60ACE+DAC=60ACE+DAC+AFC=180AFC=120AFC+DFC=180DFC=60故选A练4. 如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连P

10、Q交AC边于D，则DE的长为（）A B C D不能确定【解析】过P作BC的平行线，交AC于M；则APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得PMDQCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解解：过P作PMBC，交AC于M；ABC是等边三角形，且PMBC，APM是等边三角形；又PEAM，AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）PMCQ，PMD=QCD，MPD=Q；又PA=PM=CQ，在PMD和QCD中PMDQCD（AAS）；CD=DM=CM；DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B4等边三角形的判定与性

11、质【例4】如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（）A25 B30 C45 D60【解析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论解：ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，E为AB中点，ABC是直角三角形，CE=BE=AE，BEC是等边三角形B=60，A=30，故选：B练5. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20的方向行驶40海里到达C地

12、，则A、C两地相距（）A30海里 B40海里 C50海里 D60海里【解析】由已知可得ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离解：由题意得ABC=60，AB=BCABC是等边三角形AC=AB=40海里故选B5平移的性质；等边三角形的性质【例5】如图，将边长为2个单位的等边ABC沿边BC向右平移1个单位得到DEF，则四边形ABFD的周长为（）A6 B8 C10 D12【解析】根据平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等计算出四边形ABFD各边的长度解：AC与DF是对应边，AC=2，则DF=2，向右平移一个单位，则AD=1，BF=3，故其周长为

13、2+1+2+3=8故选B总结：根据平移的性质，找出对应边，求出四边形各边的长度，相加即可练6下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cmA30 B40 C50 D60【解析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+22，x+22，x+32所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+22）+（x+32）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长解：设AB=x，等边三角形的边长依次为x，x+x+2

14、，x+2，x+22，x+22，x+32，六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+22）+（x+32）=7 x+18，AF=2AB，即x+6=2x，x=6cm，周长为7 x+18=60cm故选D总结：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系1如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm2在ABC中，AB=AC，高线AD=BC，AE为BAC的平分线，则CAD的度数为3如图，ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则A=4如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相

15、交于点F（1）求证：ABECAD；（2）求BFD的度数5如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由_1ABC中，AB=AC，ABC=36，D，E是BC上的点，BAD=DAE=EAC，则图中等腰三角形有个2如图，在ABC中，AD平分BAC，AB=ACBD，则B：C的值是3如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC=DAC；ABC是正三角形请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）4如图所示，在ABC中，BAC=10

16、6，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则EAN=（）A58 B32 C36 D345在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的大小关系是（）AAC2AB BAC=2AB CAC2AB DAC2AB6已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形7如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC（1）图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）证明：ABC是正三角形8已知：如图ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，

17、交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你 的结论9如图，在等边ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F（1）求证：AD=CE；（2）求DFC的度数参考答案：当堂检测1.考点：多边形内角与外角；等边三角形的判定与性质分析：延长并反向延长AB，CD，EF，构成一个等边三角形，再将这个六边形以外的多边形减去即可得这个六边形的周长解：如图，延长并反向延长AB，CD，EF六边形ABCDEF的每个内角都是120，G=H=N=60，GHN

18、是等边三角形，六边形ABCDEF的周长=HN+AG+CD=（9+9+5）+（1+9）+9=42故答案为：42点评：本题考查了多边形的周长解决本题的关键是构造等边三角形，根据等边三角形的三边相等的性质求解2 考点：等腰三角形的性质；直角三角形的性质分析：根据题意画出图形，高线AD同时也是ABC的BAC的角平分线即AE，从而可得ABD和ACD为等腰直角三角形，在ADC中可求得CAD解：由AB=AC，ABC为等腰三角形，又高线BC=2AD可得ABD和ACD为等腰直角三角形，CAD=45故答案为：45点评：本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，难度不大，关键掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

19、底边上的高相互重合3 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质 分析：题中给出了多条线段的相等关系，要求角的度数，首先应先想到利用等腰三性质，寻找问题中的等量关系，列方程求解解：设A的度数为xAB=AC，B=BCA=（180x）EF=FA，FEA=A=x，DFE=A+FEA=2xDE=EF，FDE=DFE=2xDEC=A+ADE=x+2x=3xDE=DC，DCE=DEC=3x，EDC=180DCEDEC=1806xBC=CD，CDB=B=（180x）ADE+EDC+CDB=2x+1806x+（180x）=180解得：x=20故答案为：204考点：全等三角形的判定；等边三角形的

20、性质分析：（1）根据等边三角形的性质可知BAC=C=60，AB=CA，结合AE=CD，可证明ABECAD（SAS）；（2）根据BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60解：（1）证明：ABC为等边三角形，BAE=C=60，AB=CA，在ABE和CAD中，ABECAD（SAS）（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，

21、然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件5 考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质分析：根据等边三角形的性质得出BC=AC，DC=EC，BCA=ECD=60，从而得出BCD=ACE，利用SAS判定BDCAEC解：BDCAEC理由如下：ABC、EDC均为等边三角形，BC=AC，DC=EC，BCA=ECD=60从而BCD=ACE在BDC和AEC中，BDCAEC（SAS）点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，

22、角必须是两边的夹角家庭作业1 考点：等腰三角形的判定与性质分析：先根据已知条件计算出一些角的度数，再根据等腰三角形的判定和性质得出解：ABC中，AB=AC，ABC=36，ACB=ABC=36，BAC=108，BAD=DAE=EAC，BAD=DAE=EAC=ACB=ABC，ABC，ABD，ADE，ACE，ABE，ACD都是等腰三角形故图中等腰三角形有6个点评：本题计算出一些角的度数，根据等角对等边，对题目进行探究是解题的关键2 考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质 分析：在AC上截取AE=AB，构造两个全等的三角形和等腰三角形，利用三角形内角和外角的关系解答解：在AC

23、上截取AE=AB=X，于是AB=AE又AD平分BACBAD=EAD又AD=ADABDAED1=B，DE=BD=CE=X在等腰三角形DEC中，B=1=2CB：C=2：1或2点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质；解答此题的关键是在AC上截取AE=AB，利用了全等的三角形和等腰三角形的性质和三角形内角和外角的关系3 考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质分析：由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论解：AB=AC，AC=AD，AB=ADAC平分DABAC垂直平分BD，正确；DC=CB，易知DCDE，BCDE，错；D

24、、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，根据圆周角定理，得DBC=DAC，正确；当ABC是正三角形时，CAB=60那么DAB=120，如图所示是不可能的，所以错误故对点评：本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化4考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理分析：先由BAC=106及三角形内角和定理求出B+C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出B=BAE，C=CAN，即B+C=BAE+CAN，由EAN=BAC（BAE+CAN）解答即可解：ABC中，BAC=106，B+C=180BAC=180106=74，EF、MN

25、分别是AB、AC的中垂线，B=BAE，C=CAN，即B+C=BAE+CAN=74，EAN=BAC（BAE+CAN）=10674=32故选B点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出B+C=BAE+CAN=74是解答此题的关键5考点：三角形三边关系；三角形的外角性质分析：延长CB到D，使DB=AB，连接AD，从而可得到BAD=D，再根据三角形的外角的性质可推出ABC=2D，从而不难得到ADC是等腰三角形，根据三角形三边关系即可得到2AB与AC的关系解：如图，延长CB到D，使DB=AB，连接AD，在ABD中，AB=BD，BAD=D，ABC是ABD的外角，A

26、BC=2D，ABC=2C，C=D，AD=AC，在ABD中，AB+BDAD=AC，即2ABAC故选D6 考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定分析：（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得再结合已知条件可证出AEFCDE（2）有（1）中的全等关系，可得出AFE=CED，再结合DEF是等边三角形，可知DEF=60，从而得出BAC=60，同理可得ACB=60，那么ABC=60因而ABC是等边三角形证明（1）BF=AC，AB=AE（已知）FA=EC（等量加等量和相等）DEF是等边三角形（已知），EF=DE（等边三角形的性质）又AE=CD（已知），AEFCDE（SSS）（2

27、）由AEFCDE，得FEA=EDC（对应角相等），BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF（等量代换），DEF是等边三角形（已知），DEF=60（等边三角形的性质），BCA=60（等量代换），由AEFCDE，得EFA=DEC，DEC+FEC=60，EFA+FEC=60，又BAC是AEF的外角，BAC=EFA+FEC=60，ABC中，AB=BC（等角对等边）ABC是等边三角形（等边三角形的判定）点评：本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60，那么就是等边三角形）7 考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定

28、分析：（1）利用全等三角形的判定可以得出图中共有四对全等三角形，分别是ABCCDA，AEFDEC，DECAEC，AEFAEC；（2）利用等边三角形的判定可证明ABC为正三角形解：（1）图中有四对全等三角形，分别为ABCCDA，AEFDEC，DECAEC，AEFAEC；（5分）（2）证明：CF垂直平分AD，AC=CD（6分）又四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA（7分）AB=BC=ACABC为正三角形（8分）点评：此题考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根

29、据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件8 考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；等边三角形的判定分析：（1）根据已知等边三角形的性质可推出ADG是等边三角形，从而再利用SAS判定AGEDAC；（2）连接AF，由已知可得四边形EFCD是平行四边形，从而得到EF=CD，DEF=DCF，由（1）知AGEDAC得到AE=CD，AED=ACD，从而可得到EF=AE，AEF=60，所以AEF为等边三角形解：（1）证明：ABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=ABC=ACB=60EGBC，ADG=ABC=60AGD=ACB=60ADG是等边三角形AD=DG=AGDE=DB，EG=AB

30、GE=ACEG=AB=CA，AGE=DAC=60，在AGE和DAC中，AGEDAC（SAS）（2）解：AEF为等边三角形证明：如图，连接AF，DGBC，EFDC，四边形EFCD是平行四边形，EF=CD，DEF=DCF，由（1）知AGEDAC，AE=CD，AED=ACDEF=CD=AE，AED+DEF=ACD+DCB=60，AEF为等边三角形点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定的理解及运用9 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：根据等边三角形的性质，利用SAS证得AECBDA，所以AD=CE，ACE=BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到DFC=FAC+ACF=FAC+BAD=BAC=60解：（1）证明：ABC是等边三角形，BAC=B=60，AB=AC又AE=BD，AECBDA（SAS）AD=CE；（2）解：（1）AECBDA，ACE=BAD，DFC=FAC+ACF=FAC+BAD=BAC=60点评：本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解