四川省泸州市泸县第四中学2021-2022学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）.docx

1、泸县四中高 2021 级高一下学期期中考试 数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第 I 卷客观题（60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin18 cos27cos18 sin27的值是（）A.22B.12C.32D.22【答案】A【解析】【分析】根据式子特点，逆用两角和的正弦公式，即可计算出【详解】

2、解：sin18 cos27cos18 sin27sin 1827=si2=2n45=.故选：A2.在 ABC中，60,3,2C=AB=BC=，那么 A 等于 A.135B.105C.45D.75【答案】C【解析】【详解】分析：由C 的度数求出sinC 的值，再由c 和 a 的值，利用正弦定理求出sin A 的值，由c 大于 a，根据大边对大角，得到C 大于 A，得到 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数.详解：60,3,2CABcBCa，由正弦定理 sinsincaCA，得32sin22sin23aCAc，又 ac，得到60AC，则45A o，故选 C.点睛：本题主要考查正弦

3、定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.正方形数列1,4,9,16,25,的一个通项公式是（）A.2nn1B.1(1)2 n n C.2nD.1(2)3 n n【答案】C【解析】【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式；【详解】解：依题意211 1a ，2242a，2393a，即可归纳出数列的一个通项公式为2nan；故选：C4.设(4,2),(6,)aby，且/

4、ab，则 y （）A.3B.12C.-12D.-3【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为(4,2),(6,)aby，且/ab，所以42 6y，解得3y；故选：A5.设 ABC 的内角,A B C 所对的边分别为,a b c，若 coscossinbC cBaA，则 ABC的形状为（）A.锐角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得sin A，由此得到2A，进而得到 ABC 的形状.【详解】由正弦定理得：2sincossincossinBCCBA，即2sinsinsin

5、sinBCAAA，又0,A，sin0A，sin1A，2A，ABC为直角三角形.故选：C.6.在等比数列 na中，3456783,24a a aa a a，则91011a a a 的值为（）A.48B.72C.144D.192【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质求解【详解】数列 na是等比数列，则334543a a aa，3678724a a aa，而3310733748aaaa，故39 10 111024 8192a a aa 故选：D7.若 ABC 的对边分别为,a b c，且1a，45B,2ABCS,则b A.5B.25C.41D.5 2 【答案】A【解析】【详解】在 ABC中，1a

6、，045B，可得1 14522ABCScsin ，解得4 2c 由余弦定理可得：22222214 22 1 4 252bacaccosB 8.在 ABC 中，若 tantantantan1ABAB，则cosC 的值是（）A.22 B.22 C.12 D.12【答案】B【解析】【分析】由两角和的正切公式求出 tan()1AB ，再根据三角形内角和定理及诱导公式求出4C=，从而得解；【详解】解：由 tantantantan1ABAB，得 tantan(1tantan)ABAB，tantantan()11tantanABABAB，tan()tanABC.tan1C .又0C，2,coscos442C

7、C.故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式及诱导公式的应用，属于基础题.9.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元，为还清这笔贷款，该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的 m 年后还清，若银行按年利率为 p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 A.amB.11(1)(1)1mmapppC.1(1)1mmapppD.(1)(1)1mmappp【答案】D【解析】【分析】根据题意建立方程 211111mmapxxpxpxp，再结合等比数

8、列求和公式，即可求出 x 的值.【详解】设每年偿还的金额为 x，则 211111mmapxxpxpxp，所以 11111mmpapxp，解得111mmappxp故选 D.【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解.10.已知1tan42，且02，则2sin22sin等于 A2 55B.25C.25D.2 55【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得 tan 的值，然后求得sin,cos 的值，由此求得题目所求表达式的值.【详 解】依 题 意1tan11tan,tan41 tan23，由

9、22sin1cos3sincos1 及02，解得13sin,cos1010，故2sin22sin222sincos2sin5，故选 B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.11.设函数 221122xax xf xx 是 R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（）A.,2B.13,8C.0,2D.13,28【答案】B【解析】【分析】根据()f x 在 R 上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即20a，且211222a ，即可求解.【详解】因为()f x 在 R 上的单调递减，所以2201

10、1222aa ，即2138aa，所以实数a 的取值范围为13,8，故选：B【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.12.已知1sin()sin()25，且(0,)，则 tan()4 （）A.17B.17C.7D.7【答案】A【解析】【分析】由题意化简得1sincos5，平方求得242sincos25 ，进而求得7sincos5，联立方程组，求得sin,cos，得到4tan3 ，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由1sin()sin()25，可得1sincos5，两边平方得112sincos25，可得242sincos025 ，因为(0,)，所以sin0,co

11、s0，所以sincos0，所以22449(sincos)1()2525 ，所以7sincos5，联立方程组，可得43sin,cos55，所以sintans43co，所以41tantan134tan()4471 tantan143 .故选：A.第 II 卷主观题（90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在等差数列 na中，已知4816aa，则该数列前 11 项和11S _【答案】88.【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前 n 项和公式即可求解.【详解】因为 na等差数列，所以1114811111111 1688222aaaaS，故答案为：88.14.在 A

12、BC 中，若a，b，c 成等差数列，30B，ABC 的面积为 32，则b _.【答案】31b【解析】【分析】根据三角形面积公式可知 ac 的值，然后结合余弦定理表示出b 的边，然后结合由,a b c 成等差数列知2acb，而6ac 可知解得b 的值【详解】abc、成等差数列，2bac，22242bacac,13sin22SacB，6ac 2222cos,bacacB由得242 3,3 1bb .故答案为：31b .15.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度 BC 等于_.【答案】12031 m【解析】【分析】由题意画出

13、图形，由两角差的正切求出 15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到 DC和 DB 的长度，作差后可得答案【详解】由图可知，15DAB=tan 45tan30tan15=tan 4530=231+tan 45 tan30在 Rt ADB中，60AD=DB=AD tan15=6023=12060 3在 Rt ADC中，60=60DAC=,ADtan6060 3DC=AD?60 312060 3=1203 1BC=DCDB=m河流的宽度 BC 等于1203 1 m故答案为：1203 1 m.【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在 B,C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的

14、知识，属于中档题16.ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且3ADCD，2 7BD，则CD _；sinABD_.【答案】.2.3 2114【解析】【分析】由3ADCD可得2ACCD，在BCD中利用余弦定理可求得 CD 的长，在ABD中，利用正弦定理可求得sinABD的值.【详解】如图所示，等边 ABC 中，3ADCD，所以2ACCD.又2 7BD，所以2222cosBDBCCDBC CDBCD，即2222 722 2cos120CDCDCD CD o，解得2CD，所以6AD；由 sinsinADBDABDA，即62 7sinsin60ABD o，解得3 21sin14ABD.

15、故答案为：2；3 2114.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数23()3cossincos2f xxxx(1)求()f x最小正周期；(2)求()f x 在区间,6 4 上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值为13,最小值为3 【解析】【详解】(1)3(cos21)13sin 2222xxsin(2)33x，（2）因为，所以，当时，即时，的最大值为13，当时，即时，的最小值为3.18.已知向量(1,2)a，向量(3,2)b （1）当 k 为可值时，kab与3ab垂直；

16、（2）求a 向量在b 向量上的投影【答案】（1）19k（2）1010【解析】【分析】（1）利用向量坐标的运算法则求出kab与3ab，根据垂直得到方程可求出k；（2）利用向量的投影公式进行求解.【小问 1 详解】(1,2)(3,2)(3,22)kabkkk，(1,2)3(3,2)3(10,4)ab，因为()(3)kabab，所以10(3)4(22)2380kkk，解得：19k 【小问 2 详解】10b，341a b a 在b 上的投影1010a bb.19.已知4 311sin,cos()714 且,均锐角.（I）求sin(2)；()II 求 .【答案】（）39 398（）3 【解析】【分析】（

17、1）利用同角的三角函数基本关系式算出cos、sin 的值，再用两角和的正弦公式计算sin 2即可.（2）因，故可以利用两角差的正弦公式求sin .【详解】（）,0,2 ，4 3sin7 ，21cos1 sin7.又,均为锐角，0,，25 3sin1cos14，sin 2sinsincoscossin 4 31115 339 371471498 .（）sinsinsincoscossin 5 3 111 4 349 33147147982 又0 2（，），3.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函

18、数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.20.已知3342abb；23S；4322aaa，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列 na的前n 项和为nS，数列 nb的前n 项和为nT，12ab，对nN 都有212nTnbn成立.（1）求数列 na、nb的通项公式；（2）求数列nnab的前n 项和nH.【答案】（1）12nna，23nbn；（2）25 25nnHn.【解析】【分析】（1）由1nnnbTT，得23nbn，从而求出121ab；选有2314qaa则2q=，选21213Saaq，2

19、q=，选由4322aaa得220qq，2q=，从而求得数列 na的通项公式；（2）由（1）得1(23)2nn na bn，结合错位相减法即可求得结果【详解】解：（1）1n 时，11112Tbb，11b 2n 时，221(2)(1)2(1)23nnnbTTnnnnn，又11b 符合上式，23nbn，121ab因为 na为正项等比数列，0q.选33428abb，2314qaa，2q=或2q （舍）12nna-=选212 13Saaq，2q=，12nna-=选 由4322aaa得220qq，2q=或1q （舍），12nna-=（2）1(23)2nn na bn 01211 21 23 2(23)2n

20、nHn 12121 21 2(25)2(23)2nnnHnn -得：1211 2 22223 25 225nnnnHnn 25 25nnHn 21.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若22abc，求 sinC【答案】（1）3A；（2）62sin4C.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222bcabc，从而可整理出cos A，根据0,A可求得结果；（2）利用正弦定理可得2 sinsin2sinABC，利用sinsinBA C、两角和差正弦公式可得关于sinC 和cosC 的方程，结合

21、同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC 即：222sinsinsinsinsinBCABC 由正弦定理可得：222bcabc 2221cos22bcaAbc0,A3A（2）22abc，由正弦定理得：2 sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC，3A 3312cossin2sin222CCC整理可得：3sin63cosCC 22sincos1CC223 sin63 1sinCC解得：62sin4C或624 因为6sin2sin2 sin2sin02BCAC所以6s

22、in4C，故62sin4C.（2）法二：22abc，由正弦定理得：2 sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC，3A 3312cossin2sin222CCC整理可得：3sin63cosCC，即3sin3cos2 3sin66CCC 2sin62C由2(0,),(,)366 2CC ，所以,6446CC 62sinsin()464C.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.22.等差数列na的前n 项和为16,

23、5,0nS aS；数列 nb中，23b，且满足*130(N)nnbbn （1）求,nnab的通项；（2）求数列nnab的前n 项和nT 【答案】（1）27nan，13nnb（2）23162nnTnn【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，由已知结合等差数列的前 n 项和公式求出d 即可求数列na的通项，由等比数列的定义判断数列 nb为公比3q 的等比数列，从而即可求数列 nb的通项；（2）根据等差、等比数列的前 n 项和公式，利用分组求和法即可求解.【小问 1 详解】解：设等差数列na的公差为d，又15a ，6161530 150Sadd，2d，1(1)52(1)27naandnn ，又130nnbb，即13nnbb，nb为公比3q 的等比数列，22123 33nnnnbb q ；【小问 2 详解】解：等差数列na的前n 项和21()(527)622nnn aannSnn，等比数列 nb的前n 项和为1331132nnnS，数列nnab的前n 项和23162nnnnTSSnn.