2013版高中全程复习方略配套课件：13.1平行截割定理与相似三角形（苏教版.ppt

1、第一节平行截割定理与相似三角形三年1考高考指数:内容要求ABC相似三角形的判定与性质定理射影定理 1.平行截割定理(1)平行线等分线段定理及推论：定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段.推论1：经过梯形一腰中点而平行于底边的直线.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必.也相等平分另一腰平分第三边(2)平行线分线段成比例定理及推论：定理:两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段.成比例成比例【即时应用】如图，在四边形ABCD中，EFBC,F

2、GAD,则=.【解析】由EFBC得由FGAD得故答案：12.相似三角形的判定定理及推论(1)定理：对应相等的两个三角形相似；两边且相等的两个三角形相似；三边的两个三角形相似.(2)推论：如果一条直线与三角形的一条边，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形相似.两角对应成比例夹角对应成比例平行【即时应用】(1)如图，已知ABC中，P是AB上的一点，连结CP，则下列条件：1=B，2=ACB,AC2=APAB，能满足ACP与ABC相似的是(填序号).(2)判断下列说法是否正确(请在括号内打“”或“”).所有的等腰三角形都相似.()所有的等边三角形都相似.()所有的等腰直角三角形都相似.()

3、所有的直角三角形都相似 ()【解析】(1)由图形知，两个三角形有一个公共角A，根据相似三角形的判定定理，只要再有另一对对应角相等或夹A的对应边成比例，则两个三角形相似，因此能满足ACP与ABC相似的条件是.(2)所有等腰三角形不一定相似，故错;符合三边对应成比例，故相似，正确；符合两边对应成比例，夹角相等，故相似，正确;所有的直角三角形不一定相似,故错.答案：(1)(2)3.相似三角形的性质定理相似三角形的对应线段的比等于;相似三角形的面积比等于.相似比相似比的平方【即时应用】如图，梯形ABCD中，ABCD，EF过对角线的交点O，且EOOF12，则ABDC，OCCA，AOB的周长COD的周长，

4、SCODSAOB，SCODSABC【解析】由条件可证OABOCD,OAFOCE,故ABDCOAOC=FOEO=21,OCCA13,于是AOB的周长COD的周长21,SCODSAOB14;因DOOB=EOOF=12,故SBOC=2SDOC,从而SABC=6SDOC得SCODSABC16答案：1 13 21 14 164.直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在上射影与_的乘积，斜边上的高的平方等于在上射影的乘积.斜边两条直角边斜边斜边【即时应用】如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDcm.【解析】连结CD，

5、则CDAB,由直角三角形射影定理可得BC2=BDBA,又BC=4 cm,BA=5(cm),所以BD=cm.答案：相似三角形的判定与应用【方法点睛】1.证明三角形相似的方法(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1或判定定理2;(2)已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3;(3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法(斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似)来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定2.相似三角形的判定定理的作用(1)可以用来判定两个三角形相似；(2)间接证明角相等、线段成比例；(3)间接地为计算线段的长度及角的大小创造条

6、件【例1】(2011陕西高考改编)如图,BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，求BE之长.【解题指南】本题条件中，已知两角相等，且有直角与垂直，所以考虑证两三角形相似，利用对应边成比例来计算边长.【规范解答】在RtADC中，CD；在RtADC与RtABE中，BD，所以ADCABE，故，【反思感悟】在三角形中，有关线段(角)的计算问题，主要有下列方法：(1)若所求线段(角)与已知线段(角)在同一三角形中，则证其为等腰三角形；(2)若所求线段(角)与已知线段(角)在两个三角形中，则其一是通过全等三角形证所求线段(角)与已知线段(角)相等，或所求线段(角)等于已知线段(角)之和或差

7、；其二是利用相似三角形证所求线段与已知线段成比例，或所求角等于对应的已知角，从而求之.相似三角形性质的应用【方法点睛】相似三角形性质的应用(1)有关三角形的面积关系，主要有两类：当两个三角形相似时，用相似三角形的面积比等于相似比的平方来转化三角形的面积；当两个三角形同(等)高或同(等)底时，用三角形的面积之比等于底边之比或对应高之比来转化三角形的面积(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方.【例2】如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O若ADE的面积为

8、S,求四边形BOGC的面积【解题指南】本题条件中已知“中点”，联想到三角形的中位线定理，从而可得平行线段，再得相似三角形，从而根据相似三角形的性质计算所求图形的面积.【规范解答】点D、E分别是边AB、AC的中点，DEBC且DE=BC,ADEABC，其相似比为，面积比为，ADE的面积为S，ABC的面积为4S，四边形DBCE的面积为3SD是边AB的中点，又DEBC，DEGFCG,而G为EC中点，故相似比为1，即DE=FC,同理DEOFBO，而BF=3DE,BO=3EO，SDOB=AE=EC=2EG，SDEG=,S四边形BOGC=S四边形BCED-SDOB-SDEG【反思感悟】高中几何证明选讲中的相

9、似三角形性质是根据初中相似三角形性质:“对应角平分线、对应中线、对应高、对应周长的比等于相似比”而得到的，例如根据“三角形面积等于三角形的一边与这边上的高乘积的一半”而推导得“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,所以证题时,应多多联想到相似三角形的相关性质.直角三角形中射影定理的应用【方法点睛】直角三角形中成比例线段问题的解决方法(1)如图，RtABC中，若CD为高，则有CD2=BDAD，BC2=BDAB，AC2=ADAB，利用上面等积式和勾股定理，已知图中的任意两条线段，可求出其余四条线段.(2)直角三角形中出现斜边上的高这一条件时，射影定理是经常使用的结论，注意灵活运用.【例3】已知：如

10、图，在直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若FGE45(1)求证：BDBCBGBE；(2)求证：AGBE.【解题指南】(1)欲证乘积式，即证比例式，因此将此四边放置于两个相似三角形中证之；(2)因本题条件中具有直角，故欲证两线垂直，可证其交角与直角相等，即证其所在三角形与直角三角形相似，这从第(1)小题所得结论与射影定理结合，即可证得.【规范解答】(1)BAC90，ABAC,BCE45,BGDFGE45,BGDBCE,又GBDCBE,GBDCBE.即BDBCBGBE.(2)ABAC，D为BC的中点，BCAD,又BAC90,又由射影定理AB2=BDBC，从而AB2=BGBE，即又ABGEBA,ABGEBA,BGABAE90,AGBE.【反思感悟】由于在直角三角形中添加斜边上的高得到“双垂直”的基本图形，其中有三对相似三角形，这个图形在相似三角形中非常重要.可用来证明对应线段成比例等.