2013版高中全程复习方略配套课件：6.6直接证明与间接证明（北师大版.ppt

1、第六节直接证明与间接证明三年9考高考指数:1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点.1.本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法为主；2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，一般不会单独命题.3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题.1.直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出_的证明方法.所要证明的结论成立框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).文字表示

2、为：“因为所以”或“由得”.思维过程：由因导果.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为_(已知条件、定义、定理、公理等)为止的证明方法.判定一个明显成立的条件框图表示：(Q表示要证明的结论).文字表示为：“要证”，“只需证”，“即证”思维过程：执果索因.QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件【即时应用】(1)思考下列思维特点：从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的必要条件.从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件.满足综合法的是_，满足分析法的是_(请填写相应序号).

3、(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则s,t的大小关系是_.(3)在正项等比数列an和正项等差数列bn中，a1=b1,a3=b3,a1a3，则a5与b5的大小关系为_.【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.满足综合法；满足分析法.(2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)20,故st.(3)由a1a3,得b1b3,所以b1b5,且b10,b50,又a3=b3 ,即 ,又a1=b1,所以a5b5.答案：(1)(2)st (3)a5b52.间接证明(1)反证法的定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明_的证明方法.(2)利用反证

4、法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定归谬断言.假设错误原命题成立【即时应用】(1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)综合法是由因导果法()综合法是顺推法()分析法是执果索因法()分析法是逆推法()反证法是间接证法()(2)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_.【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知都正确.(2)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一

5、个也没有不大于60”，即“三角形三个内角都大于60”.答案：(1)(2)三角形三个内角都大于60综合法的应用【方法点睛】利用综合法证题的基本思路【例1】已知x+y+z=1，求证：x2+y2+z2 .【解题指南】由基本不等式x2+y22xy,得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2=1从而可证.【规范解答】x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z)2=1

6、,3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2.【反思感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.分析法的应用【方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.【例2】(2012南通模拟)已知m0,a,bR,求证：【解题指南】利用分析法，去

7、分母后移项作差，最后变形可证.【规范解答】m0,1+m0.所以要证原不等式成立，只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立，故原不等式得证.【反思感悟】1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2.在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证综合法、分析法的综合应用【方法点睛】综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法各有特点，

8、在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写.这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题.【提醒】综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.【例3】如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB=AB=2MA.求证：(1)平面AMD平面BPC；(2)平面PMD平面PBD.【解题指南】(1)欲证平面AMD平面BPC，只需证AMPB，ADBC从而得AM平面PBC,AD平面PBC，从而得证.(2)

9、欲证平面PMD平面PBD，只需连接AC交BD于E，取PD中点为F，连接MF、EF，即证AE平面PBD,而AE与MF又平行从而得证.【规范解答】(1)因为PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PBMA.因为PB平面BPC，MA 平面PBC，所以MA平面BPC.同理，DA平面BPC.又MA平面AMD，AD平面AMD,MAAD=A，所以平面AMD平面BPC.(2)连接AC，设ACBD=E,取PD中点F，连接EF，MF.PMDBFAEC因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD的中点.因为F为PD中点，所以EF PB.又AM PB，所以四边形AEFM为平行四边形,所以MFAE.因为PB平面ABCD，所

10、以PBAE,又因为ABCD是正方形，所以AEBD，所以AE平面PBD，又因为MFAE，所以MF平面PBD，又因为MF平面PMD，所以平面PMD平面PBD.【反思感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，再用综合法书写证明过程.这是此类问题的常规解法，需要灵活掌握.反证法的应用【方法点睛】1.反证法的解题原则反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.2.反证法中常见词语的否定形式原词否定形式至多有n个(即xn，nN+)至少有n个(即xn,nN+)n个都是特例至少

11、有n+1个(即xnxn+1,nN+)至多有n-1个(即x0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,a+b+c0,这与a+b+c0矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.【反思感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.【满分指导】证明题的规范解答【典例】(12分)(2012常州模拟)已知a,b,c,dR,用分析法证明ac+bd 并指明等号何时成立.【解题指南】由于a,b,c,dR,故ac+bd0或ac+bd0,要分两种情况分析，可证.

12、【规范解答】(1)当ac+bd0时，0,2分故不等式显然成立，此时a=b=c=d=0时等号成立.4分(2)当ac+bd0时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),6分即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.8分即证2abcda2d2+b2c2,即0(bc-ad)2.10分a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bc=ad.由(1)(2)知原命题成立.12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)不去分类，而是直接平方作差判断.

13、(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分.备考建议解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注:(1)对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位.(2)用反证法证题时反设错误.(3)已知条件较多，表达不清，逻辑混乱.另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.1.(2012南阳模拟)在证明命题“对于任意角,cos4-sin4=cos2”的过程：“cos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos2-sin2=cos2”中应用了()(A)分析法(B)综合法(C)分析法和综合法综合使用(D

14、)间接证法【解析】选B.从已知条件出发，推出要证的结论，满足综合法.2.(2012咸阳模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是()(A)假设三内角都不大于60度(B)假设三内角都大于60度(C)假设三内角至多有一个大于60度(D)假设三内角至多有两个大于60度【解析】选B.根据反证法词语的否定形式:“至少有一个不大于60度”的否定为“三内角都大于60度”.3.(2012枣庄模拟)若a0,b0，那么必有()(A)a3+b3a2b+ab2(B)a3+b3a2b+ab2(C)a3+b3a2b+ab2(D)a3+b30,b0,a+b0,而(a-b)20,(a-b)2(a+b)0,即a3+b3-a2b-ab20,即a3+b3a2b+ab2.4.(2012大同模拟)用反证法证明命题“若a,bN,ab能被3整除，那么a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()(A)a、b都能被3整除(B)a、b都不能被3整除(C)b不能被3整除(D)a不能被3整除【解析】选B.由反证法的定义可知，否定结论，即“a,b中至少有一个能被3整除”的否定是“a,b都不能被3整除”，故选B.