2015高中数学 1.7.1函数Y=ASIN（ΩX Φ）的图像与性质课件 （北师大版必修4）.ppt

1、函数y=Asin(x+)的图像与性质(一)问题引航1.参数A，,对函数y=Asin(x+)的图像有何影响？2.如何进行函数y=sin x与y=Asin(x+)图像间的变换？A,对函数y=Asin(x+)图像的影响(1)对y=sin(x+)，xR的图像的影响左右(2)(0)对y=sin(x+)的图像的影响(3)A(A0)对y=Asin(x+)的图像的影响缩短伸长伸长缩短1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)由函数y=sin(x+)的图像得到y=sin x的图像，必须向左平移.()(2)把函数y=sin x的图像上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=sin 3x的图像.()(3)在进行函

2、数y=Asin(x+)图像间变换的时候必须先左右平移，再进行伸缩变换.()2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)要得到函数y=sin(x)的图像，可以将函数y=sin x的图像向右最小平移_个单位.(2)将函数y=sin 4x图像上点的横坐标_到原来的_倍可得到函数y=sin x的图像.(3)将函数y=2sin x图像上点的纵坐标_到原来的_倍可得到函数y=3sin x的图像.【解析】1.(1)错误,向左、右平移均可得到y=sin x的图像.(2)错误,应是缩短到原来的倍.(3)错误,进行图像变换既可以先左右平移,也可以先伸缩变换.答案：(1)(2)(3)2.(1)要得到函数y=sin(x

3、)的图像，可以将函数y=sin x的图像向右最小平移个单位.答案：(2)将函数y=sin 4x图像上点的横坐标伸长到原来的4倍可得到函数y=sin x的图像.答案：伸长4(3)将函数y=2sin x图像上点的纵坐标伸长到原来的倍可得到函数y=3sin x的图像.答案：伸长【要点探究】知识点参数对函数y=Asin(x+)的图像的影响及图像间的变换1.明确参数A,的物理意义A：振幅，表示振动时物体离开平衡位置的最大距离，决定函数的最大值、最小值.：T=称为周期，它表示振动一次所需的时间，即函数y的最小正周期.f=称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数.：x+叫做相位，当t=0时的相位，即，

4、称为初相.2.函数y=Asin(x+)图像变换的关注点(1)左右平移方向的确定：图像的左右平移由x的加减决定，规律是“加左减右”，当x加一个正角时应向左平移，减一个正角时应向右平移，如由y=sin(x)到y=sin x的平移变换，x的运算应是x+=x，故应向左平移.(2)平移与伸缩变换的顺序对左右平移单位的影响：在由y=sin x到y=sin(x+)的变换过程中，若按照y=sin xy=sin(x+)y=sin(x+)的顺序变换，则平移单位是；若按照y=sin xy=sin xy=sin(x+)的顺序变换，则平移单位是.(3)左右伸缩变换中的注意点：一是伸缩倍数是，如将函数y=sin x图像上

5、点的横坐标伸长到原来的3倍，则图像的解析式为y=sin x；二是伸缩变换针对的是x的变化，如将函数y=sin(x+)图像上点的横坐标缩短到原来的倍，则图像的解析式为(4)上下伸缩变换的特点:上下伸缩变换针对的是函数值y,伸缩的倍数为A.【微思考】(1)左右伸缩变换与左右平移变换有何共同点？提示：两种变换实质上都是相位的变化，针对的都是自变量x的变化，伸缩变换是对x系数的变化，左右平移变换是对x的加减变化.(2)频率f与周期T的联系与区别是什么？提示：f=，前者指的是次数，后者指的是时间.【即时练】试用三种不同的方法由函数y=sin x的图像得到y=2sin的图像.【解析】方法一：将函数y=si

6、n x的图像上所有的点向左平移个单位得函数y=sin(x+)的图像，再将每个点的横坐标变为原来的得函数y=sin(2x+)的图像，最后将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y=2sin(2x+)的图像.方法二：将函数y=sin x的图像上所有的点的横坐标变为原来的得函数y=sin 2x，再将所有的点向左平移个单位得函数y=sin(2x+)的图像，最后将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y=2sin(2x+)的图像.方法三：将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y=2sin x的图像，再同方法一或二的左右平移、伸缩变换得到y=2sin（2x+)的图像.【题型示范】类型一“五点法”作函数y=As

7、in(x+)的图像【典例1】(1)如图，函数y=Asin(x+)(A0,0,00,交点在y轴正半轴上.2.函数的三个零点，两个最值点.【自主解答】(1)选B.当x=0时，y=Asin 0，排除C，D；另外，由-x+0,0)的图像在一个周期内的“五个关键点”横向间距必相等，为于是五点横坐标依次为x1=-,x2=x1+,x3=x2+,，x5=x4+，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得x1的位置后，用圆规截取其他四点，从而快速作出图像(2)整体思想的应用：求解五个关键点时，应运用整体思想，即分别令x+=0，2,求出相应x的值，进而求出对应函数值.2.给定区间内函数y=Asin(x+)的图像的

8、作法作给定区间上,(一个周期)上函数图像的关键是列表，求出x=,x=即端点处的相位+，+；确定区间+,+之间的“五点”，即函数的最值点、与x轴的交点相位；求出上述“五点”对应的x，y值，最后描点连线得函数图像.【变式训练】(2014三亚高一检测)画出函数y=3sin在长度为一个周期的闭区间上的图像.【解析】0 2 x y 030-30描点，连线可得函数y=3sin 在长度为一个周期的闭区间上的图像如图所示.【补偿训练】画出函数y=sin 在区间0,上的图像.【解析】(1)列表如表：(2)描点、连线如图.x0y-1010类型二函数y=Asin(x+)图像的变换【典例2】(1)(2014成都高一检

9、测)函数y=cos x的图像向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图像解析式为()(2)将函数y=2sin 1的图像作怎样的变换可得到y=sin x的图像？【解题探究】1.题(1)中横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，则对自变量，函数值乘的倍数分别是什么？2.由y=Asin(x+)+b一般按什么样的顺序变换得到y=sin x的图像？【探究提示】1.横坐标缩小到原来的，则x应变为2x，纵坐标扩大到原来的3倍，则y变为3y.2.可先上下平移，再左右伸缩，最后上下伸缩.【自主解答】(1)选B.函数y=cos x的图像向左平移个单位，得到函数y=cos(x+)；

10、横坐标缩小到原来的，得到函数y=cos(2x+)；纵坐标扩大到原来的3倍，得到函数y=3cos(2x+).(2)y=2sin -1的图像横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，然后图像向右平移个单位，向上平移个单位得到y=sin x的图像.【方法技巧】利用图像变换作图的技巧(1)已知变换前后的解析式求变换方式时，较简洁的作法是：若=1，则可以先进行左右平移变换，再进行其他的变换；若1，则先进行左右伸缩变换，再进行其他的变换.(2)对于函数y=Acos(x+)的图像平移规律与函数y=Asin(x+)的图像平移规律相同.【变式训练】(2014辽宁高考)将函数y=3sin 的图像向右平移个单位长度,

11、所得图像对应的函数()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增【解题指南】结合图像平移的原则得到新函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求解新函数的单调区间.【解析】选.函数y=3sin 的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数为由得即y=3sin 的增区间为当k=0时，可见y=3sin 在区间上单调递增；由得而不论k取何整数值，得到的减区间都不包含区间故只有选项正确【补偿训练】为得到函数y=sin(2x+)的图像，可以将函数y=sin(2x+)的图像()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选

12、B.故应向右平移个单位长度.类型三已知函数y=Asin(x+)的图像求解析式【典例3】(1)(2014聊城高一检测)如图所示是y=Asin(x+)的图像(其中A0,0,|)的一部分，则其解析式为()A.y=3cos(2x+)B.y=3cos(3x-)C.y=3sin(2x+)D.y=3sin(3x-)(2)(2013大纲版全国卷)若函数y=sin(x+)(0)的部分图像如图，则=()A.5 B.4 C.3 D.2【解题探究】1.题(1)中要得到y=Asin(x+)的解析式，需要确定哪些参数的值？2.题(2)中x0到x0+的图像占整个周期的几分之几？【探究提示】1.需要确定参数A,.2.观察图像

13、可知，x0到x0+的图像为整个周期的二分之一.【自主解答】(1)选C.由图像可知A=3,T=,故=2，则函数的解析式为y=3sin(2x+)，又图像过点则故+=k,kZ，=+k,kZ，又 ，故=，经检验符合题意，故函数的解析式为y=3sin（2x+）.(2)选B.由图像可知，即T=,故=4.【方法技巧】已知函数y=Asin(x+)的部分图像求解析式(1)A：由最大值或最小值确定A.(2):由图中已知相位的差确定周期，从而求.(3)：一般情况下，求出A，后，利用曲线上一点求，如已知曲线与x轴的交点x0，则令x0+=k,kZ，得=x0+k,kZ，再利用的范围求的值.【变式训练】(2013四川高考)

14、函数f(x)=2sin(x+),(0,-)的部分图像如图所示，则,的值分别是()A.2,-B.2,-C.4,-D.4,【解题指南】本题考查的是,对函数f(x)=2sin(x+)图像的影响，需要重点关注的是周期与最大值点.【解析】选A.根据图像可知所以函数的周期为，可得=2，根据图像过，代入解析式，结合0,0,02)的图像如图，则A=_，=_,=_.【解析】由图像可知，A=2，故=1,故y=2sin(x+),又函数过点故+2k,kZ,=+2k,kZ,因为02,故=.答案：2 1 【易错误区】图像变换过程忽视函数名称致误【典例】要得到函数y=sin 的图像，只需将y=cos的图像()A向左平移个单

15、位B.向右平移个单位C向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选B.方法一：故应将y=cos的图像向右平移个单位.方法二：故应向右平移个单位，故选B.【常见误区】错解错因剖析A误将两个函数视为同名函数，确定平移方式错误D没有注意到x的系数对左右平移的影响而致误【防范措施】1.不同名函数的图像平移问题当函数的名称不相同时，要根据诱导公式变为同名函数后再根据平移规律确定平移方式，其中常用的诱导公式有sin =cos，cos =sin，如本题既可以把正弦变余弦，也可以把余弦变正弦，统一函数名称后确定平移方式.2.同名函数的图像平移问题y=sin(x+)图像的左右平移，当1时一定要将x+化成(x+),然后确定平移方向和单位，如本例中【类题试解】为得到函数y=cos(2x+)的图像，只需将函数y=sin 2x的图像()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.y=sin 2x=则则需要将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度.