（学霸自主提优拔尖）苏教版六年级数学上册第一单元长方体和正方体（知识点、常考题、易错题、拓展题）名师详解与训练二.doc

1、 学科网（北京）股份有限公司苏教版六年级上册第一单元：长方体和正方体详解与训练二 一、正方体表面涂色的规律及对应考题（一）正方体表面涂色的规律 当正方体的棱长是 a 厘米时，这个正方体可以切成棱长是 1 厘米的小正方体的个数是 nnn。如果用 N 表示这样的个数，那么：N=nnn(个）我们把切开的、棱长是 1 厘米的小正方体分为四种：上面四种情况的小正方体都是从原来的正方体中切出来的，所以各部分加起来应当等于切成的总个数。也就是：N=nnn=N3N2N1N0（二）正方体表面涂色规律的对应考题（答案见参考答案）1.（考点）一个表面涂色的正方体,把这个正方体的每条棱平均分成 3 份、4 份、5再切

2、成同样大的小正方体。那么每种情况中，分割产生的小正方体的总个数各是多少个？请填写下表。2.（考点）三面涂色的小正方体的个数。观察发现,3 面涂色的小正方体都在大正方体（）的位置上，正方体有（）个顶点,即 3 面涂色的小正方体有（）个。3.（考点）二面涂色的小正方体的个数。观察发现,2 面涂色的小正方体都在大正方体（）的中间。把这个正方体的每条棱平均分成 3 份、4 份、5再切成同样大的小正方体。那么每种棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 小正方体的总个数 三面涂色的记作 N3：N3=8（个），因为有 8 个顶点。两面涂色的记作 N2：N2=12（n2）（个）一面涂色的记作 N1：

3、N1=6（n2）（个）没有一个面涂色的记作 N0：N0=（n2）（个）。学科网（北京）股份有限公司情况中，分割产生的小正方体 2 面涂色的总个数各是多少个？请填写下表。4.（考点）1 面涂色的小正方体的个数。观察发现,1 面涂色的小正方体都在大正方体（）的中间。把这个正方体的每条面平均分成 3 份、4 份、5再切成同样大的小正方体。那么每种情况中，分割产生的小正方体 2 面涂色的总个数各是多少个？请填写下表。5.（考点）6 个面都不涂色的小正方体的个数。观察发现,6 个面都不涂色的小正方体在大正方体的（）。把这个正方体的每条面平均分成 3 份、4 份、5再切成同样大的小正方体。那么每种情况中，

4、分割产生的小正方体没有涂色的总个数各是多少个？请填写下表。棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 每条棱涂色的小正方体的个数 2 面涂色的小正方体的总个数 棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 每个面涂色的小正方体的个数 一面涂色的小正方体的总个数 棱长平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 学科网（北京）股份有限公司 6.（江苏南通期末卷）下图是将涂色的正方体割成小正方体的示意图。（12 分）号图表示将正方体的棱长平均分成 2 份；号图表示将正方体的棱长平均分成 3 份；号图表示将正方体的棱长平均分成 4 份；那么每种情况中，分割产生的小正方体三面涂色、两面涂色、

5、一面涂色的个数各是多少个？将涂色的大正方体的棱长平均分成 n 份呢？请填写下表。7.（常考题）一个棱长 1 分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长 1 厘米的小正方体。在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）仅有两面涂有红色的有多少个？内部没有涂色的小正方体的个数 没有涂色的小正方体的总个数 棱长平均分的份数 2 份 3 份 4 份 n 份 三面涂色的小正方体的个数 二面涂色的小正方体的总个数 一面涂色的小正方体的总个数 没有涂色的小正方体的总个数 学科网（北京）股份有限公司（3）仅有一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？第一单元长方体和正方体学霸

6、拓展提优训练二 1.把 4 个棱长为 6 厘米的正方体木块拼成 1 个长方体后,棱长总和减少了多少厘米?2.一个长方体纸盒的长是宽的 3 倍，宽比高少 5 厘米。这个长方体的棱长总和是 92 厘米，它的长、宽、高各为多少厘米?(用方程解答)3.下面的长方形硬纸板各有若干张,从中选三种围成一个长方体,有几种不同的选法?4.如图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面上分别写有 A、B、C、D、E、F 六个字母,判断每个正方体相对的面所写的字母。学科网（北京）股份有限公司 5.在下图中再添一个小正方形，使它能围成一个正方体。你有多少种不同的方法?6.亮亮用 8个完全相同的小正方体拼

7、成了一个表面积是 72平方厘米的大正方体。你能帮亮亮算算原来这 8 个小正方体的表面积之和是多少吗?7、下面玻璃缸中已有高 1.5dm 的水，小红用旁边的水杯装满水往玻璃缸中倒了10 次，水会溢出来吗?请通过计算来说明。8、一个长方体，如果高增加 2 厘米，就变成了一个正方体(如下图)，这时表面积比原来增加 48 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?9.爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽(如图)。从外面量，水槽长 15 分米，宽 8 分米，高 5 分米，混凝土厚 1 分米.(1)这个水槽的容积是多少升?学科网（北京）股份有限公司(2)浇筑这样个水槽需多少混凝土?10.如图所示

8、，将一个长方体沿长平均截成 3 段，每段 2 米，表面积增加了 16平方米，原长方体的体积是多少立方米?11.（常考题）一个涂满红色的正方体，每面等距离切若干刀后，得到一些同样大的小正方体，其中两面涂红的共计 60 块，那么一面涂红的小正方体有多少块 12.（拓展延伸）一个涂满红色的正方体，每面等距离切若干刀后会得到一些同样大的小正方体，那么：（1）要想产生 54 块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切_刀。（2）要想切出 125 块大小一样、各面都没有颜色的小正方体，应当在这个大正方体的各面上切_刀（各面切的刀数一样）。13.拓展延伸把一个长为 5cm、宽 4cm、高 6em 的长方体

9、木块表面全部涂上红色,然后切成棱长为 1 厘米的小正方体木块。（1）切成后，有多少块小正方体木块没有涂上红色?（2）切开后,有多少块小正方体木块分别有 2 面、1 面被涂有红色?学科网（北京）股份有限公司 参考答案与难题详解见下一页 答案就是咱无声的老师 正方体表面涂色的规律及对应考题答案 1.平均切成 3 份:333=27(个)平均切成 4 份:444=64(个)平均切成 5 份:555=125(个)平均切成 n 份:n 个 2.顶点 8 8 有三面涂色的，都是在顶点处的小方块，一个正方体有 8 个顶点，所以无论 n是多少，有三面涂色的都是 8 个小方块 3.观察发现,2 面涂色的小正方体都

10、在大正方体（棱）的中间。平均分成 3 份,每条棱上有 1 个,12 条棱上共有 12 个。平均分成 4 份,每条棱上有 2 个,12 条棱上共有 24 个。平均分成 5 份,每条棱上有 3 个,12 条棱上共有 36 个。平均分成 n 份，每条棱上有(n-2)个,12 条棱上共有 12(n-2)个。两面涂色的，在每条棱上，除去在顶点处的 2 个，每条棱上有 n-2 个，总共12 条棱，所以是 12(n-2)个;棱平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 小正方体的总个数 3=27 4=64 5=125 n 棱平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 每条棱涂色的小正方体的个数 3-2=

11、1 4-2=2 5-2=3 n-2 2 面涂色的小正方体的总个数 112=12 212=24 312=36 （n-2）12 学科网（北京）股份有限公司4.观察发现,1 面涂色的小正方体都在大正方体（面）的中间。平均分成 3 份,每面有 1 个,6 面共有 6 个。平均分成 4 份,每面有 4 个,6 面共有 24 个。平均分成 5 份,每面有 9 个,6 面共有 54 个。平均分成 n 份,每面有 (n-2)个,6 面共有 6(n-2)个。一面涂色的，在每个面上，除去每条棱处的，每个面上有(n-2)个，总共 6个面，所以是 6(n-2)个。5.观察发现,6 个面都不涂色的小正方体在大正方体的（

12、内部）。平均分成 3 份:内部棱长为 1,小正方体有 1 个。平均分成 4 份:内部棱长为 2,小正方体有 8 个。平均分成 5 份:内部棱长为 3,小正方体有 27 个。平均分成 n 份:内部棱长为(n-2),小正方体有(n-2)个。没有涂色的，在大正方体的内部，是边长为 n-2 的正方体，个数是(n-2)。6.棱平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 每个面涂色的小正方体的个数（3-2）=1（4-2）=4（5-2）=9 （n-2）2面涂色的小正方体的总个数 6（3-2）=6 6（4-2）=24 6（5-3）=54 6（n-2）棱平均分的份数 3 份 4 份 5 份 n 份 内部棱长

13、3-2=1 4-2=2 5-2=3 n-2 没有涂色的小 正方体的总个数（3-2）=1（4-2）=8（5-2）=27 （n-2）棱长平均分的份数 2 份 3 份 4 份 n 份 三面涂色的小正方体的个数 8 8 8 8 学科网（北京）股份有限公司 解析：棱平均分成 n 份时，三面涂色的有 8 个，两面涂色的有 12(n-2)个，一面涂色的有 6(n-2)个，没有涂色的有（n-2）。三面涂色的，都是在顶点处的小方块，一个正方体有 8 个顶点，所以无论 n 是多少，有三面涂色的都是 8 个小方块;两面涂色的，在每条棱上，除去在顶点处的 2 个，每条棱上有 n-2 个，总共 12条棱，所以是 12(

14、n-2)个;一面涂色的，在每个面上，除去每条棱处的，每个面上有(n-2)个，总共 6 个面，所以是 6(n-2)个。没有涂色的，在大正方体的内部，是边长为 n-2 的正方体，个数是(n-2)。7.(1)81=8(个)(2)(10-2)12=96(个)(3)(10-2)(10-2)6=646=384(个)(4)解法一：101010-(8+96+384)=1000 一 488=512(个)解法二：(10-2)(10-2)(10-2)=512 答:(1)三个面涂有红色的有 8 个;(2)两个面涂有红色的有 96 个;(3)一个面涂有红色的有 384 个;(4)六个面都没有涂色的有 512 个，第一单

15、元长方体和正方体学霸拓展提优训练二 1.分析：2 个正方体拼成 1 个长方体后，减少了 2 个正方形面，减少了 8 条棱的长度。由此可以推出 4 个正方体拼成 1 个长方体会减少 6 个正方形面，也就会减少 64=24(条)棱的长度。方法一:4 个小正方体的棱长总和:1264=288(厘米)。大长方体的棱长总和:(24+6+6)4-144(厘米)棱长总和减少了:288-144=144(厘米)二面涂色的小正方体的总个数 0 12 24 12（n-2）一面涂色的小正方体的总个数 0 6 24 6（n-2）没有涂色的小正方体的总个数 0 1 8 （n-2）学科网（北京）股份有限公司方法二:6(64)

16、=144(厘米)答:棱长总和减少了 144 厘米。2.解:设它的宽为 x 厘米，则长为 3.x 厘米，高为(x+5)厘米。x+3x+(x+5)=924 x=3.6 3x=33.6=10.8 x+5=8.6 答:它的长为 10.8 厘米，宽为 3.6 厘米，高为 8.6 厘米。3.有 2 种不同的选法:第 1 种选,第 2 种选。4.解：由图可知:F 与 A、C、B、E 相邻，所以 F 与 D 相对;C 与 A、F、B、D相邻，所以 C 与 E 相对，剩下的 A 与 B 相对，所以 F 的对面是 DC 的对面是 E，A的对面是 B 故答案为:F 的对面是 D,C 的对面是 E,A 的对面是 B

17、5.6.分析：思路一:画图 理解题意。如图，每个小正方体都有 3 个面露在外面，而相对的3 个面隐藏在里面,也就是说，露在外面的面和隐藏在里面的面的面积是相等的。8 个小正方体的表面积之和等于露在外面的面与隐藏在里面的面的面积之和，且露在外面的面的面积和就是大正方体的表面积。因此这些小正方体的表面积之和是大正方体表面积的 2 倍。思路二:把一个大正方体切成相等的 8 个小正方体,需要切 3 刀,每切 l 刀,就增加原来大正方体的 2 个面，切 3 刀，共增加原来大正方体的 6 个面。也就是说，增加的面积等于原来大正方体的表面积,即这些小正方体的表面积之和等于大正方体表面积的 2 倍。722=1

18、44(平方厘米)7.24010=2400(mL)=2.4(dm)2.4(23)=0.4(dm)学科网（北京）股份有限公司2-1.5=0.5(dm)0.4dm0.5dm 答:水不会溢出来。8.解：4842=6(厘米)66(6-2)=144(立方厘米)答:原来长方体的体积是 144 立方厘米.思路点拨 根据题意可知，一个长方体，如果高增加 2 厘米就变成一个正方体，说明长和宽相等且比高长 2 厘米，因此增加的 48 平方厘米是 4 个同样的长方形的面积的和，由此可求出长方体的长，进而求出高，再运用长方体的体积公式将数据代入即可解答.9.解析(1)先求出从里面量水槽的长宽高，再根据长方体的体积公式

19、V=abh,代入数据解答;(2)用从外面量的长方体的体积减去水槽的容积，就是所需混凝土的体积，解答即可.解：(1)长方体水槽里面的长:15-12=13(分米)，宽:8-12=6(分米)，高 5 分米;1365=390(立方分米)(2)1585-390=210(立方分米)答:浇筑水槽需要 210 立方分米的混凝土.10.解析 由题意可知，将一个长方体平均截成三段，每段长 2 米，即长方体的高是 23=6米，表面积增加了 16 平方米，也就是增加了 4 个截面的面积，每个截面的面积，即长方体的底面积是 164=4 平方米，根据长方体的体积公式 v=sh,列式解答即可。解：164(23)=24(立方

20、米);答:原长方体的体积是 24 立方米.11.【分析】我们知道两面涂红色的小正方体都在大正方体的棱上（除去顶点处的两个小正方体），正方体有 12 条棱，所以每条棱上都有 6012=5（个）学科网（北京）股份有限公司小正方体两面涂色，这说明大正方体的棱长被平均分成了 5+2=7 份，一面涂色的小正方体均在大正方体每个面的正中间，根据题意如图所示，每个面上都有 55=25（个）一面涂色的小正方体，大正方体共 6 个面，所以一面涂色的小正方体个数为 256=150（个）。解答：6012=5（个）556=150（个）。答：一面涂红色的小正方体共有 150 个。12.【分析】（1）仅有一面涂有红色的小

21、方块在大正方体每个面的正中间，要产生 54 块，则每个面上应有 546=9（块）9=33，说明正中间一面涂色的正方形边长为 3，则大正方体棱长被平均分成 3+2=5 等份，那么要切5-1=4（刀）（2）按题意切割，六个面都没有涂色的小正方体被包裹在大正方体的正中间，要想切出 125 个，125=5，这说明正中间的无涂色正方体棱长为5，那么原来大正方体的棱长就被平均分成了 5+2=7 份，所以这个立方体的各面上应切 7-1=6（刀）解答：（1）546=9（块）9=33 3+2-1=4（刀）（2）125=5 5+2-1=6（刀）答：（1）要想产生 54 块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切

22、 4 刀。（2）要想切出 125 块大小一样、各面都没有颜色的小立方块，应当在这个立方体的各面上切 6 刀。13.（1）切成后，有多少块小正方体木块没有涂上红色?学科网（北京）股份有限公司(4-2)(5-2)(6-2)=24(块)答:有 24 块小正方体木块没有涂上红色。（2）切开后,有多少块小正方体木块分别有 2 面、1 面被涂有红色?2 面:(4-2)+(5-2)+(6-2)4=36(块)1 面:(4-2)(5-2)+(4-2)(6-2)+(5-2)(6-2)2=52(块)答:有 36 块小正方体木块有 2 面被涂有红色，有 52 块小正方体木块有 1 面被涂有红色。学科网（北京）股份有限公司