2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-2-1　向量的加法运算 WORD版含解析.docx

1、6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算课标解读课标要求核心素养1.借助实例理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法运算法则,并能熟练地进行加法运算.(重点)3.理解向量加法运算的几何意义.(难点)1.通过向量加法的三角形法则、平行四边形法则,培养直观想象核心素养.2.借助向量加法的运算律进行相关运算,培养数学运算核心素养.俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的克雷洛夫寓言中有一篇天鹅、梭子鱼和虾的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉,于是,梭子鱼使劲

2、往河里拽.虾想,我的家在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝不动.问题1:车子为什么纹丝不动?答案天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.问题2:这则故事给我们的启示是什么?答案要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.1.向量的加法(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.(2)向量求和的法则:三角形法则已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC平行四边形法则以同一点O为

3、起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作OACB,则以O为起点的向量OC(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和,即OC=a+b特别提醒三角形法则与平行四边形法则的区别与联系三角形法则平行四边形法则区别满足条件两向量“首尾相接”两向量“共起点”适用范围所有向量不共线的两向量联系平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗?提示相同.3.|a|-|b|,|ab|,|a|+|b|

4、三者的关系根据三角形的三边关系可得|a|-|b|a+b|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时取“=”.探究一向量加法运算法则的应用例1如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.解析解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA=a,接着作向量AB=b,则得向量OB=a+b,然后作向量BC=c,则向量OC=(a+b)+c=a+b+c.解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA=a,OB=b,OC=c,以OA、OB为邻边作OADB,连接OD,则OD=OA+OB=a+b,再以OD、OC为邻边作ODEC,连接OE,则OE=OD+OC=a+b+c.思维突破向量求和法则

5、的应用技巧(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用.(2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和.1-1如图(1)、图(2)所示,试作出向量a与b的和.解析如图、图所示.OB即为所求.探究二向量加法运算律的应用例2化简下列各式:(1)AB+DF+CD+BC+FA;(2)(AB+DE)+CD+BC+EA.解析(1)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DA=0.(2)(AB+DE)+CD+BC+EA=(AB+BC)+(CD+DE)+EA=AC+CE+EA=AE+EA=0.2-1化简:(AB+MB)+(BO+

6、BC)+OM=.答案AC解析(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)=AC+MB+BM=AC.探究三向量加法的实际应用例3在某地抗震救灾时,一架飞机先从A地按北偏东35方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后从B地按南偏东55方向飞行800km将受伤人员送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.解析如图所示,设AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35方向飞行800km到达B地,从B地按南偏东55方向飞行800km到达C地.则飞机飞行的路程是|AB|+|BC|,两次飞行的位移的和是AB+BC=AC.依题意,有|AB|+|BC|=800+800=

7、1600(km),ABC=35+55=90,所以|AC|=|AB|2+|BC|2=8002+8002=8002(km).其中BAC=45,所以方向为北偏东35+45=80.故飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为8002km,方向为北偏东80.思维突破向量加法解决实际问题的应用技巧(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量.(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.3-1如图,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平木杆AB上,ACW=150,BCW=120,求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).解析如图,设CE,CF分别表示A,B

8、所受的力,10N的重力用CG表示,则CE+CF=CG.易得ECG=180-150=30,FCG=180-120=60,|CE|=|CG|cos30=1032=53(N).|CF|=|CG|cos60=1012=5(N).故A处所受的力的大小为53N,B处所受的力的大小为5N.1.在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,则()A.四边形ABCD一定是矩形B.四边形ABCD一定是菱形C.四边形ABCD一定是正方形D.四边形ABCD一定是平行四边形答案D由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD必为平行四边形.2.化简OP+PQ+PS+SP的结果为()A.QPB.OQC.SPD.SQ答案BOP+

9、PQ+PS+SP=OQ+0=OQ.3.(多选题)在如图所示的ABCD中,下列结论正确的是()A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB=BD+ADD.AD+CB=0答案ABD由ABCD知A,B,D正确,因为AB=AD+DBBD+AD,所以C错误.4.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走8km”,则|a+b|=,a+b的方向是.答案82km;东北方向解析如图所示,作OA=a,AB=b,则a+b=OA+AB=OB,所以|a+b|=|OB|=82+82=82(km),因为AOB=45,所以a+b的方向是东北方向.5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.解析在平面内任取一点O,作OA=a

10、,AB=b,BC=c,如图所示:则由向量加法的三角形法则,得OB=a+b,OC=a+b+c,故OC即为所求向量a+b+c.逻辑推理向量加法的应用如图,在正六边形OABCDE中,OA=a,OE=b,试用向量a,b将OB,OC,OD表示出来.解析如图,连接BE,AD,设正六边形的中心为P,则四边形ABPO,AOEP,ABCP,OPDE均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则得OP=OA+OE=a+b.AB=OP=ED,AB=ED=a+b.在AOB中,根据向量加法的三角形法则,得OB=OA+AB=a+a+b.同理,在OBC中,OC=OB+BC=a+a+b+b,在OED中,OD=OE+ED=OE+O

11、P=b+a+b.素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的核心素养.P,Q是ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证:AB+AC=AP+AQ.证明如图,取BC的中点O,连接AO并延长至点D,使OD=AO,连接BD,CD,则四边形ABDC是平行四边形,所以AB+AC=AD,又BP=QC,BO=CO,所以PO=QO,连接PD,QD,则四边形APDQ是平行四边形,所以AP+AQ=AD,所以AB+AC=AP+AQ.1.(多选题)下列等式正确的有()A.AB+BA=0B.AC=DC+AB+BDC.OA+AC+

12、AO+CO=0D.AB+CA+BD+DC=0答案ABD由向量加法的三角形法则和零向量的定义可知AB+BA=0,故A正确.DC+AB+BD=AB+BD+DC=AC,故B正确.OA+AC+AO+CO=OC+CO+AO=AO,故C不正确.AB+CA+BD+DC=CA+AB+BD+DC=0,故D正确.2.在ABCD中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定答案B3.在ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是()A.AB=CD,BC=ADB.AD+OD=DAC.AO+OD=AC+CDD.AB+BC+CD=DA答案C4.在矩形ABCD中,AB=3

13、,BC=1,则向量AB+AD+AC的长度为()A.2B.23C.3D.4答案D在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,所以AC=2,因为AB+AD+AC=AB+BC+AC=AC+AC=2AC,故其长度为4.5.根据图示填空,其中a=DC,b=CO,c=OB,d=BA.(1)a+b+c=;(2)b+d+c=.答案(1)DB(2)CA解析(1)a+b+c=DC+CO+OB=DB.(2)b+d+c=CO+BA+OB=CO+OB+BA=CA.6.若P为ABC的外心,且PA+PB=PC,则ACB=.答案120解析由PA+PB=PC知四边形ACBP为平行四边形,又P为外心,所以四边形ACBP为菱形,且PA=

14、PC=AC,ACP=60,易得ACB=120.7.如图所示,已知在矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,求|a+b+c|的大小.解析如图所示,过点D作AC的平行线,交BC的延长线于点E.DEAC,ADBE,四边形ADEC为平行四边形,DE=AC,CE=AD,于是a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,|a+b+c|=2|AD|=83.8.(多选题)向量a、b均为非零向量,下列说法中正确的是()A.若向量a与b反向,且|a|b|,则向量a+b与a的方向相同B.若向量a与b反向,且|a|b|,则向量a+b与a的方向相同C.若向量a与

15、b同向,则向量a+b与a的方向相同D.若向量a与b同向,则向量a+b与b的方向相同答案ACD当向量a与b反向,且|a|b|时,向量a+b与b的方向相同,只有B错误,A、C、D都正确.9.(多选题)如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是()A.FD+DA+DE=0B.AD+BE+CF=0C.FD+DE+AD=ABD.AD+EC+FD=BD答案ABCFD+DA+DE=FA+DE=0,故A正确;AD+BE+CF=AD+DF+FA=0,故B正确;FD+DE+AD=FE+AD=AD+DB=AB,故C正确;AD+EC+FD=AD+0=AD=DBBD,故D错误.10.已

16、知ABCD,设AB+CD+BC+DA=a,且b是非零向量,则下列结论:ab;a+b=a;a+b=b;|a+b|a|+|b|,其中正确的有.(填序号)答案解析因为在平行四边形ABCD中,AB+CD=0,BC+DA=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以正确,错误.11.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0m/s,现在有风,风使雨滴以433m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.解析如图,用OA表示雨滴下落的速度,OB表示风使雨滴水平向东移动的速度.以OA,OB为邻边作四边形OACB,OC就是雨滴下落的实际

17、速度.在RtOAC中,|OA|=4,|AC|=433,|OC|=|OA|2+|AC|2=42+4332=833,tanAOC=|AC|OA|=4334=33,AOC=30.故雨滴着地时的速度大小是833m/s,方向为南偏东30.12.过ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若AD+BE+CF=0恒成立,则点M是ABC的()A.垂心B.重心C.外心D.内心答案B设直线l过点A,则|AD|=0,有BE+CF=0.则直线AM经过BC的中点,同理,直线BM经过AC的中点.直线CM经过AB的中点,所以点M是ABC的重心.13.设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.解析在平面内任取一点O,作OA=a,AB=e,则a+e=OA+AB=OB,因为e为单位向量,所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知,当点B在点B1处时,O,A,B1三点共线,此时|OB|(即|a+e|)最大,最大值是3.