2020-2021学年新教材高考数学 专题强化练9 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）（选择性必修第一册）.docx

1、专题强化练9直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)已知点(2,1)是直线l被椭圆x212+y24=1所截得的线段的中点,则直线l的方程是()A.2x+3y-7=0B.2x-3y-1=0C.4x+3y-11=0D.4x-3y-5=02.()已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A,B两点,则sinAFB=()A.45B.35C.34D.553.(2020山东淄博一中高二上期中,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=-2FB,则|AB|=()A.3B.9C.6D.12

2、4.(2020河北唐山一中高二上期中,)直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点C.若FC=2CA,则该椭圆的离心率为()A.3-1B.3-12C.22-2D.2-1二、填空题5.()过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线和双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 .6.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学期末,)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标

3、为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则MBN的大小等于.三、解答题7.(2020广东惠州高二上期末,)已知椭圆与抛物线y2=42x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若AP=2PB,求AOB的面积.8.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),其左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l:x+my+3=0与椭圆C交于A,B两点,且椭圆的离心率e=32.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆上存在一点M,使得2OM=

4、OA+3OB,求直线l的方程.9.(2020吉林长春市实验中学高二上期中,)如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧AB上的动点.(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;(2)求SABM的最大值.10.()已知动点P在y轴的右侧,且点P到y轴的距离比它到点F(1,0)的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设斜率为-1且不过点M(1,2)的直线交C于A,B两点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.11.()如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,过点A且

5、斜率为12的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P的直线与椭圆交于M,N两点(M,N不与A,B重合),若SPAM=6SPBN,求直线MN的方程.12.()在平面直角坐标系Oxy中,点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂足为M,且AMAP=-4.记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B,C.若B为线段AC的中点,求直线l的方程;设B关于x轴的对称点为D,求ACD面积S的取值范围.答案全解全析一、选择题1.A设直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,

6、由x1212+y124=1,x2212+y224=1,得(x1-x2)(x1+x2)+3(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=2,4+3kAB2=0,解得kAB=-23.因此直线l的方程为y-1=-23(x-2),即2x+3y-7=0,故选A.2.B由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1),联立直线方程与抛物线方程,得x-2y+4=0,x2=4y,解得x=-2,y=1或x=4,y=4,不妨令A(-2,1),B(4,4),|AB|=36+9=35,|AF|=4+0=2,|BF|=16+9=5,在ABF中,cosAFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=

7、4+25-45225=-45,sinAFB=1-1625=35,故选B.3.B如图所示,设E为准线与x轴的交点,过B作BB1l于B1.由FA=-2FB得,|AF|AB|=23=|EF|BB1|.又|EF|=2,|BB1|=3,设A(xA,yA),B(xB,yB).|BB1|=x+p2=xB+1=3,xB=2,结合图象得B(2,22),|AB|=|xA-xB|1+kBF2=|-1-2|1+(22)2=9,故选B.4.A在x-3y+3=0中,令y=0,得x=-3,F(-3,0).令x=0,得y=1,C(0,1),设A(x1,y1),则FC=(3,1),CA=(x1,y1-1),由FC=2CA得2x

8、1=3,2(y1-1)=1,解得x1=32,y1=32.由A在椭圆上,得2a=274+94+34+94=3+3,e=ca=2c2a=233+3=3-1,故选A.二、填空题5.答案(5,10)解析由x2a2-y2b2=1(a0,b0)得,双曲线的渐近线方程为y=bax.结合图形(图略)知,2ba32ab3a4a2c2-a29a25a2c210a25e2105eb0),c为椭圆的半焦距,由题意可得抛物线的焦点为(2,0),所以c=2,因为椭圆的离心率e=ca=22,所以a=2.又b2=a2-c2=2,所以椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AP=(-x

9、1,1-y1),PB=(x2,y2-1).由AP=2PB,得-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),验证易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆方程,整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0,所以x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1.将x1=-2x2代入上式,可得4k2k2+12=12k2+1,解得k2=114,所以AOB的面积S=12|OP|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x22=1228k2+22k2+1=3148.8.解析(1)过F1的直线l:x+my+3=0,令y=0,解得x=-3,c=3,e=ca=32,a=2,b2=a2-c2=4-

10、3=1,椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),由2OM=OA+3OB,得x3=12x1+32x2,y3=12y1+32y2,将其代入椭圆方程,可得1412x1+32x22+12y1+32y22-1=0,1414x12+y12+3414x22+y22+38(x1x2+4y1y2)=1,x1x2+4y1y2=0,联立方程,得x+my+3=0,x24+y2=1,消去x,可得(m2+4)y2+23my-1=0,y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4,x1x2+4y1y2=(my1+3)(my2+3)+4y1y2=(m2+4)y1y2

11、+3m(y1+y2)+3=(m2+4)-1m2+4+3m-23mm2+4+3=0,即m2=2,解得m=2.故所求直线l的方程为x2y+3=0.9.解析(1)由条件知lAB:y=x-p2,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+14p2=0,则x1+x2=3p.由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=4p.又因为|AB|=8,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)解法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-p2,设My022p,y0,则M到AB的距离d=y022p-y0-p22.因为点M在直线AB的上方,所以y022p-y0-p20),则p2=1,解得p=2,所以动点P的

12、轨迹C的方程是y2=4x(x0).(2)设直线AB:y=-x+b(b3),A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=-x+b得y=-y24+b,即y2+4y-4b=0,所以y1+y2=-4,又=16+16b0,所以b-1,因为x1=y124,x2=y224,所以k2+k1=y2-2y224-1+y1-2y124-1=4(y2-2)y22-4+4(y1-2)y12-4=4y2+2+4y1+2=4(y1+2+y2+2)(y2+2)(y1+2)=0.因此k1+k2=0.解法二:(1)同解法一.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是直线与C的交点,易知x1=y124,x2=y224,

13、所以kAB=y2-y1y224-y124=4y1+y2,又直线的斜率为-1,所以4y1+y2=-1,即y1+y2=-4,所以k2+k1=y2-2y224-1+y1-2y124-1=4(y2-2)y22-4+4(y1-2)y12-4=4y2+2+4y1+2=4(y1+2+y2+2)(y2+2)(y1+2)=0.因此k1+k2=0.11.解析(1)由题意,得BF1x轴,|BF1|AF1|=12,所以点B-c,-b2a.又A(2,0),所以a=2,b2a(a+c)=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)因为ac=21,所以|PA|=2|P

14、B|.所以SPAMSPBN=12|PA|PM|sinAPM12|PB|PN|sinBPN=2|PM|PN|=6,所以|PM|PN|=3,所以PM=-3PN.由题意知P(0,-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),则PM=(x1,y1+1),PN=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=0,此时,|PM|PN|=3+13-1=2+3或|PM|PN|=3-13+1=2-3,均不符合条件,故舍去.当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx-1.由y=kx-1,x24+y23=1得(4k2+3)x2-8kx-8=0.由根与系数的关系,可得x1

15、+x2=8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,将x1=-3x2代入,可得-2x2=8k4k2+3,3x22=84k2+3,所以3-4k4k2+32=84k2+3.所以k2=32,解得k=62.所以直线MN的方程为y=62x-1或y=-62x-1.12.解析(1)设P(x,y),则M(-4,y).因为A(-2,0),所以AM=(-2,y),AP=(x+2,y),因为AMAP=-4,所以-2x-4+y2=-4,即y2=2x.所以曲线E的方程为y2=2x.(2)若直线l的斜率不存在,则l与曲线E无公共点,因此l的斜率存在;若l的斜率为0,则l与曲线E只有一个公共点,因此l的斜率不为0.设l:y=

16、k(x+2),k0,由y=k(x+2),y2=2x得y2-2ky+4=0,所以=4k2-160,解得-12k12且k0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=2k,y1y2=4.因为B为线段AC的中点,所以y2=2y1.又y1+y2=2k,所以y1=23k,y2=43k,因此y1y2=89k2=4,所以k=23,符合-12k12且k0,所以直线l的方程为y=23(x+2).因为点B,D关于x轴对称,所以D(x1,-y1),于是点D到直线l的距离为d=|kx1+y1+2k|1+k2.因为y1=k(x1+2),所以d=2|y1|1+k2.又|AC|=1+k2|x2+2|,所以S=121+k2|x2+2|2|y1|1+k2=|(x2+2)y1|=y222+2y1.因为y1y2=4,y1+y2=2k,所以S=|2y2+2y1|=4|k|.又因为-12k8,即ACD面积S的取值范围为(8,+).