2020-2021学年高中数学 第四章 三角恒等变换测评课后习题（含解析）北师大版必修第二册.docx

1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.cos 105=()A.2-3B.2-64C.2+64D.6-24解析cos105=cos(45+60)=cos45cos60-sin45sin60=2212-2232=2-64.答案B2.若是第二象限角,且sin =23,则cos 等于()A.13B.-13C.53D.-53解析因为是第二象限角,所以cos0,sin0,所以2sin=cos.又sin2+cos2=1,所以5sin2=1,即sin2=15.因为sin0,所以sin=55.故选B.答案B5.(sin 20-sin 40)2+3si

2、n 20cos 50=()A.32B.3C.34D.-3解析原式=(2cos30sin10)2+32(sin70-sin30)=3-3cos202+32sin70-34=34.答案C6.tan 23+tan 37+3tan 23tan 37=()A.33B.3C.32D.1解析由于tan+tan=tan(+)(1-tantan),故tan23+tan37+3tan23tan37=tan(23+37)(1-tan23tan37)+3tan23tan37=3(1-tan23tan37)+3tan23tan37=3.答案B7.计算2sin 14cos 31+sin 17等于()A.22B.-22C.

3、32D.-32解析2sin14cos31+sin17=2sin14cos31+sin(31-14)=sin14cos31+cos14sin31=sin(31+14)=sin45=22.答案A8.已知锐角,满足sin =55,cos =31010,则+等于()A.34B.4或34C.4D.2k+4(kZ)解析由sin=55,cos=31010,且,为锐角,可知cos=255,sin=1010,故cos(+)=coscos-sinsin=25531010-551010=22.又0+0,cos0,所以sin-cos=75,所以B错误,C正确;联立sin+cos=15,sin-cos=75,解得sin

4、=45,cos=-35.所以tan=-43.所以D正确.答案ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(3,4),b=(sin ,cos ),且ab,则tan =.解析因为a=(3,4),b=(sin,cos),且ab,所以3cos-4sin=0.所以tan=34.答案3414.cos(36+)cos(-54)+sin(36+)sin(-54)=.解析cos(36+)cos(-54)+sin(36+)sin(-54)=cos(36+)-(-54)=cos90=0.答案015.已知A+B=23,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是.解析因为A+B=23,所

5、以cos2A+cos2B=12(1+cos2A+1+cos2B)=1+12(cos2A+cos2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos23cos(A-B)=1-12cos(A-B).所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值32;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值12.答案321216.函数f(x)=15sinx+3+cosx-3的最大值为.解析因为f(x)=15sinx+3+cosx-3=1512sinx+32cosx+12cosx+32sinx=1+5310sinx+5+310cosx=1+53102+5+3102sin(x+),其中tan=5+3101+5310

6、=5+31+53,因此,函数y=f(x)的最大值为1+53102+5+3102=26+535.答案26+535四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin(3+)=2sin32+,求下列各式的值:(1)sin-4cos5sin+2cos;(2)sin2+sin 2.解由已知得sin=2cos.(1)原式=2cos-4cos52cos+2cos=-16.(2)原式=sin2+2sincossin2+cos2=sin2+sin2sin2+14sin2=85.18.(12分)已知02,tan2=12,cos(-)=210.(1)求sin 的

7、值;(2)求的值.解(1)因为tan2=12,所以tan=2tan21-tan22=2121-(12)2=43.由sincos=43,sin2+cos2=1,解得sin=45sin=-45舍去.(2)由(1)知cos=1-sin2=1-(45)2=35,又02,所以-(0,),而cos(-)=210,所以sin(-)=1-cos2(-)=1-(210)2=7210,于是sin=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=45210+357210=22.又2,所以=34.19.(12分)(2019浙江,18)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数

8、,求的值;(2)求函数y=fx+122+fx+42的值域.解(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故2sinxcos=0,所以cos=0.又0,2),因此=2或32.(2)y=fx+122+fx+42=sin2x+12+sin2x+4=1-cos(2x+6)2+1-cos(2x+2)2=1-1232cos2x-32sin2x=1-32cos2x+3.因此,函数的值域是1-32,1+32.20.(12分)求证:sinx1+cosx-cosx1+sinx=2(sinx

9、-cosx)1+sinx+cosx.证明方法一:左边=sinx+sin2x-cosx-cos2x(1+cosx)(1+sinx)=(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)1+sinx+cosx+cosxsinx=2(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)1+sin2x+cos2x+2sinx+2cosx+2cosxsinx=2(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)(1+sinx+cosx)2=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx=右边.方法二:左边=1+sinx+cosx1+sinx+cosxsinx1+cosx-cosx1+sinx=11+sinx+cos

10、xsinx(1+sinx+cosx)1+cosx-cosx(1+sinx+cosx)1+sinx=11+sinx+cosxsinx+sin2x1+cosx-cosx-cos2x1+sinx=11+sinx+cosx(sinx+1-cosx-cosx-1+sinx)=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx=右边.21.(12分)已知A+B+C=.求证:sin A+sin B+sin C=4cosA2cosB2cosC2.证明因为A+B+C=,所以C=-(A+B),所以C2=2-A+B2,所以sinA+sinB+sinC=2sinA+B2cosA-B2+sin(A+B)=2sinA+B2c

11、osA-B2+2sinA+B2cosA+B2=2sinA+B2cosA-B2+cosA+B2=2sinA+B22cosA2cos-B2=2cosC22cosA2cosB2.所以sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2.22.(12分)如图所示,要把半径为R,圆心角为3的扇形木料截成长方形,应怎样截取,才能使长方形EFGH的面积最大?解如图,作POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连接OE,设MOE=,0,6,在RtMOE中,ME=Rsin,OM=Rcos,在RtONH中,NHON=tan6,得ON=3NH=3Rsin,则MN=OM-ON=R(cos-3sin),设矩形EFGH的面积为S,则S=2MEMN=2R2sin(cos-3sin)=R2(sin2+3cos2-3)=2R2sin2+3-3R2,由0,6,则32+323,所以当2+3=2,即=12时,Smax=(2-3)R2.