2020年一模二次函数压轴题（解析版）.docx

1、2020年一模二次函数压轴题1如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC5OA（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，连接PE，交直线BC于点F，连接PD、DF、PB、PC若SPBCSEDF，求点P的坐标；（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将CBP绕点C逆时针旋转（090）得到CBP，此时点B恰好落到直线ED上，已知点M是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点N，使得以点C、B、M、N

2、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）yx26x5；（2）P（4，3）；（3）存在，（2，9）或（12，1）或或【分析】（1）先求出点A的坐标，然后代入yx2bxc，即可求抛物线的解析式；（2）先求出B点的坐标，继而得到直线BC的解析式，然后BC向上平移6个单位为DE，得到直线DE的解析式，根据直线DE和抛物线的交点，可求出点D和点E的坐标，进而得到DE和BC的长，连接BD，CD，则，继而得到，可求得P在直线yx1上，通过联立方程，可求出P点的坐标；（3）根据BC可求出，设，则，分情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，当MC为对角线时，分别求

3、出对应的N点坐标即可【详解】解：（1）C（0，5），OC5OA，OC5，OA1，A（1，0）将C（0，5），A（1，0）代入yx2bxc中，得解得：抛物线的解析式为：yx26x5；（2）令y0，则有x26x50，解得：x15，x21B（5，0）设直线BC为：ykxb，则有解得：，直线BC：yx5，BC向上平移6个单位为DE直线DE为：yx11，联立，得x25x60x16，x21，D（6，5），E（1，12），DE7，BC， BC/DE，如图，连接BD，CD，过作于 过作交轴于 过作于，则 由平移的性质及可得： 则 而 同理可得： 联立解得：，P（4，3）或（1，0），当P为（1，0）时与点A重

4、合，故舍去，P（4，3）；（3）BC5，5，设，则，解得：，（7，4），设M（m，m26m5），N（n，n11），当为对角线时， 解得：（舍去）或 N（2，9）；当为对角线时，解得：（舍去）或 N（12，1）；当MC为对角线时，解得：或或，综上可知，N点坐标为（2，9）或（12，1）或或【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式、一次函数图像的平移、两点间的距离等，解题的关键是综合利用相关知识2如图，抛物线yx2+2x6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD（1）求ACD的面积；（2）如图，点P是线段AD下方的

5、抛物线上的一点，过P作PEy轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PGAD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰RtBMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）24；（2）最大值为，点P（3，）；（3）存在，点M的横坐标为或或【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC的解析式，进而求出点N、D的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；（2）证明EF+FG即为EP的长度，即可求解；（3）分BNM为直角、MBN为直角，利用三角形全等即可

6、求解【详解】解：（1）令x0，得，C（0，6），令y0，得，解得，A（，0），点B（，0），设直线AC的解析式为：ykx+b（k0），则，直线AC的解析式为：，D（，），过D作DMx轴于点M，交AC于点N，如图，令，则N（，），；（2）如图，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：，tanFDH2，则sinFDH，HDF+HFD90，FPG+PFG90，FDHFPG，在RtPGF中，PF FG，则EF+FGEF+PFEP，设点P（x，），则点E（x，），则EF+FGEF+PFEP，0，故EP有最大值，此时x3，最大值为；当x时，故点P（，）；（3）存在

7、，理由：设点M的坐标为（m，n），则，点N（0，s），（）当点M在x轴下方时，当MNB为直角时，如图，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，MNG+BNH90，MNG+GMN90，GMNBNH，NGMBHN90，MNBN，NGMBHN（AAS），GNBH，MGNH，即且，联立并解得：，故，则点M（，）；当NBM为直角时，如图，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：MHBBGN（AAS），则BHNG，即，当时，解得：（舍去正值），故，则点M（，）；（）当点M在x轴上方时，同理可得：或（舍去）综上，点M的

8、横坐标为或或【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题3在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2ax+c与x轴相交于A（1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图1，点F（0，b）在y轴上，连接AF，点Q是线段AF上的一个动点，P是第一象限抛物线上的一个动点，当b时，求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标；（3）如图2，点C1与点C关于抛物线对称轴对称将抛物线y沿直线AD平移，

9、平移后的抛物线记为y1，y1的顶点为D1，将抛物线y1沿x轴翻折，翻折后的抛物线记为y2，y2的顶点为D2在（2）的条件下，点P平移后的对应点为P1，在平移过程中，是否存在以P1D2为腰的等腰C1P1D2，若存在请直接写出点D2的横坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）yx2+2x+3；（2）当m时，S四边形CQBP取得最大值，此时P点坐标为（，）；（3）存在，满足要求的D2的横坐标有：，【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线解析式当中求出a与c的值即可；（2）先求出B、F坐标，然后可以证明AF与BC平行，于是QBC的面积就等于ABC的面积，问题就转化为求PBC的面积的最大值，作PEy轴交直

10、线BC于E，设P点的横坐标为未知数m，将E点坐标也用m表示，PE的长度用P、E纵坐标之差表示，于是PBC的面积就可以表示成关于m的二次函数，通过配方法即可求出最值及P点坐标（3）由于限定了以P1D2为腰，因此分两大类分别列方程计算即可【详解】（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线解析式得：解得：，抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）如图1，连接BC，AC，作PEy轴交BC于Eyx2+2x+3（x+1）（x3）B（3，0），b，F（0，），AFBC，SQBCSABCABOC6，由B、C两点坐标可得直线BC的解析式为：yx+3，设P（m，m2+2m+3），则E（m，m+3），PEyPyEm

11、2+4m，SPBC（xBxC）（yPyE）m2+6m（m）2+，S四边形CQBPSQBC+SPBCSABC+SPBC（m）2+，当m时，S四边形CQBP取得最大值，此时P点坐标为（，）（3）yx2+2x+3，D（1，4），抛物线对称轴为x1，C1与C关于直线x1对称，C1（2，3），由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y2x+2，设D1（m，2m+2），则P1（m+，2m+），D2（m，2m2），当P1C1P1D2时，解得，当C1D2P1D2时，9m2+36m+54，解得，综上所述，满足要求的D2的横坐标有：，【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、

12、二次函数图象的基本性质、铅垂高法求三角形面积、配方法求二次函数最值、等腰三角形的存在性问题，解一元二次方程等重要知识点，综合性强，难度较大，特别是第二问，有一定计算量，解答时容易出错同时注意分类讨论思想在本题中的应用4如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；【答案】（1）y=x22x3；（2）点C的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）【分析】（1）根据抛物线经过点，与轴相交于，两

13、点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C长度，利用三角函数求出CBC，再根据角平分线求出DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决【详解】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点，得，即抛物线的函数表达式是y=x22x3；（2）与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点，BC=3（1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，则点H的坐标为（1，0），BH=2，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，点C恰好落在抛物线的对

14、称轴上，BC=BC=4，CHB=90，CBD=DBC，OC=2，cosCBH=，C的坐标为（1，2），CBH=60，DBC=30，BH=2，DBH=30，OD=BHtan30=2=，点D的坐标为（1，），由上可得，点C的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答5如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点在线段上运动，若以

15、，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；点在轴上自由运动，若三个点，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，三点为“共谐点”.请直接写出使得，三点成为“共谐点”的的值.【答案】（1）B（0，2），；（2）点M的坐标为（，0）或M（，0）；m=-1或m=或m=.【分析】(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，分NBP=90和BNP =90两种情况求点M的坐标；分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值.【详解】（1）直线与轴交于点，解得c=2B（0，2），抛物线经过点，

16、b=抛物线的解析式为；（2）轴，M（m，0），N()有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2在APM中和BPN中，APM=BPN, AMP=90，若使APM中和BPN相似，则必须NBP=90或BNP =90，分两种情况讨论如下：（I）当NBP=90时，过点N作NC轴于点C，则NBC+BNC=90，NC=m，BC=NBP=90，NBC+ABO=90，BNC=ABO，RtNCB RtBOA,即，解得m=0（舍去）或m=M（，0）；（II）当BNP=90时， BNMN，点N的纵坐标为2，解得m=0（舍去）或m=M（，0）；综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；由可知M(m,0),P(m,)

17、,N(m,)，M，P，N三点为“共谐点”，有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时,则有2()=,解得m=3(三点重合,舍去)或m=；当M为线段PN的中点时,则有+()=0,解得m=3(舍去)或m=1；当N为线段PM的中点时,则有=2(),解得m=3(舍去)或m=；综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或1或.考点：二次函数综合题.6如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）

18、在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=x24x+3（2）当m=时，线段MN取最大值，最大值为（3）点P的坐标为（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）【分析】（1）把点B、C的坐标代入列出方程组，解方程组求得的值即可得到二次函数的解析式；（2）由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，设点M的横坐标为m，由此可用含m的代数式表示出点M、N的纵坐标，从而可用含m的式子表达出MN的长度，由点M在轴下方可求得m的取值范围为：，由此即可求出线段MN的最大

19、值；（3）由题意结合（2）可得点N的坐标，由点P在抛物线对称轴上，可设其坐标为(2，n)，结合点B和点N的坐标即可表达出PB、PN、BN的长度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三种情况讨论计算即可求得符合题意的点P的坐标.【详解】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，得，得，抛物线的解析式为y=x2-4x+3.（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点（3，0）代入y=kx+3，中，得：0=3k+3，解得：k=-1，直线BC的解析式为y=-x+3.MNy轴，点N的坐标为（m，-m+3），MN=-m+3-(m

20、2-4m+3)=-（m-）2+.当m=时，MN最大=.（3）由（2）可得：当m=时，点N的坐标为（，），点P在抛物线的对称轴上，可设点P坐标为（2，n）,PB=，PN= ,BN= ,若为等腰三角形，则存在以下三种情况：当时，即=解得： ，此时点的坐标为(2，)；当时，即= ，解得： ，此时点的坐标为(2，-)或(2，)；当时，即=，解得： ，此时点的坐标为(2,)或(2,)综上可知：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，点P的坐标为(2，),(2，-),(2，),(2,),(2,)点睛：解本题第2小题时，当利用设出的点P的坐标和已知的点B、N的坐标表达出线段PB、PN和BN的长度时，需注意

21、题目中没有指明PBN为等腰三角形时的底和腰，因此要分：（1）PB=PN；（2）PB=BN；（3）PN=BN三种情况分别讨论计算，不要忽略了其中任何一种情况，避免丢解.7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于（1）求函数表达式；（2）点是线段中点，点是上方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，过点作轴垂线，垂足为，点为线段上一动点，将绕点顺时针方向旋转90，点，的对应点分别是，点从点出发，先沿适当的路径运动到点处，再沿运动到点处，最后沿适当的路径运动到点处停止求面积的最大值及点经过的最短路径的长；【答案】（1）；（2）最大面积为；点Q运动最短路径为【分析】（1）根据题意可设二

22、次函数顶点式，再用待定系数法求解即可.（2）观察图形发现本身的面积不易表示，由条件点是线段中点想到三角形的中线将其面积分为相等的两部分，所以将求面积最大值转化为求 的面积最大值，方法可过作轴的垂线，交于点，通过二次函数解析式与直线的解析式分别设出点与点的坐标，再表示出的面积转化为新的二次函数求最值；求点经过的最短路径，先要确定点的位置，可作点关于的对称点，连接交于一点，该点即为点运动路径最短时的点，原因是此时与共线，最后根据点的坐标求出线段长度即可.【详解】因为抛物线与轴交于，两点，可设函数解析式为：，根据题意得：解得：解析式为：；（2）点是线段中点当面积最大时，的面积最大；过作轴的垂线，交于点，易得直线的直线方程为：设，当时，有最大面积，最大面积为，作点关于的对称点，连接交于一点，该点即为点运动路径最短时的点，因为， ，所以根据旋转的性质，所以因为与关于对称，所以在中，点运动最短路径为.【点睛】本题结合一次函数和二次函数的图象与性质，旋转与轴对称的性质，三角形的性质等内容，考查了最值问题与动点问题，熟练掌握各个知识点，结合图形合理作出辅助线，将难解的问题适当转化是解答的关键.