2020年北京一模——二次函数综合（解析版）.docx

1、2020年北京一模二次函数综合1在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx3a（a0）经过点A(1，0)（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）（2）已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根据抛物线经过点可得a和b的关系，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；（2）先根据点坐标平移的变化规律可得点C的坐标，画出当和时抛物线的图象，然后结合图象即可得到a的取值范围【详解】（1）点在抛物线上，解得抛物线的顶点坐标为；（2）抛物线与x轴的另一个交点坐标

2、为点，与y轴交于点将点向左平移3个单位长度点C的坐标为，即由题意，分以下两种情况：如图，当时由抛物线与x、y轴的交点可知，抛物线与线段BC无公共点当时若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐标为解得若抛物线的顶点不在线段BC上，要使抛物线与线段BC恰有一个公共点，则抛物线与y轴的交点位于点C的上方即解得综上，a的取值范围是或【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况，并学会利用函数图象是解题关键2已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1(1)若点A的坐标为(-3，

3、0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且DOP=45，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围【答案】（1），（1，0）；（2）-1x20；（3）a-2【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为，求出b=2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）根据题意可得点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2x1-1，继而进行分析即可求解；（3）根据题意可得满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的

4、交点在x轴的下方，即可求解【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，解得：b=2a，故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；令y=0，即，解得：x=-3或1，故点B的坐标为：（1，0）.（2）由（1）知：，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2x1-1，而，即x2=-2-x1，故-1x20.（3）抛物线的顶点为（-1，2），点D（-1，0），DOP=45，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴

5、的下方，当x=0时，解得：a-2，故a的取值范围为：a-2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而分析求解即可3在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点直线yax与抛物线yax22ax1（a0）围成的封闭区域（不包含边界）为W（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围【答案】（1）（1，a1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，1）；（3）区域W内有3个整点，a的取值范围为：a或a1【分析】（1）将抛

6、物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线yx和抛物线yx2x1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a0、a0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解【详解】解：（1）yax22ax1a（x1）2a1，故顶点的坐标为：（1，a1）；（2）a时，概略画出直线yx和抛物线yx2x1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，1）；（3）当a0时，由（2）知，当a时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a时，区域W内的所有整点数多于3个；当a时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a时，区域W内的所有整点数有3个；

7、当0a时，区域W内的所有整点数多于3个；当a0时，当1a0时，区域W内的所有整点数为0个；当a时，区域W内的所有整点数多于3个；区域W内有3个整点时，a的取值范围为：a1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a或a1【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论4在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与y轴交于点A，与抛物线的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）当时，直接写出抛物线与图形G的公共点个数如果抛物

8、线与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围【答案】（1）对称轴，C（5，3）；（2）3个；或或【分析】（1）根据抛物线的对称轴x求解即可解决问题，再利用平移的性质求出点C的坐标即可（2）画出图形即可解决问题分两种情形：a0或a0分别求解即可解决问题【详解】解：（1）抛物线，对称轴直线与y轴交于点A， A（0，3）将点A向右平移5个单位得到点C， C（5，3） （2）如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个 由（1）得，抛物线的顶点为当时，由得，时，抛物线过点A，B， 当时，抛物线与图形G有且只有一个公共点当抛物线顶点在AC上时， 如图，也满足条件，当时，如图，抛物线经过点C时，满

9、足条件， ，综上所述，当时，抛物线与图形G有且只有一个公共点【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型5在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）抛物线的对称轴为_；（2）若当时，的最小值是，求当时，的最大值；（3）已知直线与抛物线存在两个交点，设左侧的交点为点，当时，求的取值范围【答案】（1）；（2）当时，即的最大值是；（3）【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为x=2，可得顶点在1x5范围内，和y的最小值是-1，得顶点坐标为（2，-1），把顶点（2，-1）代入

10、y=ax2-4ax+1，可得a的值，进而可得y的最大值；（3）当x=-2时，P（-2，5），把P（-2，5）代入y=ax2-4ax+1，当x1=-1时，P（-1，4），把P（-1，4）代入y=ax2-4ax+1，分别求出a的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围【详解】（1）抛物线的对称轴为：，故答案为：x=2；（2）解：抛物线的对称轴为x=2，顶点在1x5范围内，y的最小值是-1，顶点坐标为（2，-1）a0，开口向上，当x2时，y随x的增大而增大，即x=5时，y有最大值，把顶点（2，-1）代入y=ax2-4ax+1，4a-8a+1=-1，解得当x=5时，即y的最大值是；（3）当x=-2时，P

11、（-2，5），把P（-2，5）代入y=ax2-4ax+1，4a+8a+1=5，解得a=，当x1=-1时，P（-1，4），把P（-1，4）代入y=ax2-4ax+1，a+4a+1=4，解得a=，a【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质6在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含的代数式表示)(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式；(3)若该抛物线与线段有公共点，结合图象，求的取值范围【答案】（1）；（2）：或；（3）或.【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式

12、化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；（2）根据题意将代入求出m的值即可求得该抛物线的表达式；（3）根据题意分m0，m0两种情形，分别构建不等式解决问题即可【详解】解：（1）抛物线解析式为：，顶点坐标为：.（2）抛物线经过点，解得，所以该抛物线的表达式为：或.（3）当m0时，如图1中，观察图象可知：，且，解得当m0时，如图2中，观察图象可知：，m2+2m0且m2+2m-20，解得，综上所述，满足条件的m的值为：或【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答7在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+4ax+

13、b（a0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B（1）用含a的代数式表示b；（2）若BAO45，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围【答案】（1）b4a；（2）；（3）或a1【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线yax2+4ax+b（a0）的顶点A在x轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a和b的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B的坐标为（0，4a），然后BAO45，可知4a2，从而可以求得a的值；（3）根据函数图象，可以写出a的取值范围

14、【详解】解：（1）yax2+4ax+ba（x+2）2+（b4a），该抛物线顶点A的坐标为（2，b4a），顶点A在x轴上，b4a0，即b4a；（2）b4a，抛物线为yax2+4ax+4a（a0），抛物线顶点为A（2，0），与y轴的交点B（0，4a）在y轴的正半轴，BAO45，OBOA2，4a2，；（3）或a1理由：点A（2，0），点B（0，4a），设直线AB的函数解析式为ymx+n，得，即直线AB的解析式为y2ax+4a，抛物线解析式为yax2+4ax+4a（a0），抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，或，解得，a1或0a，即a的取值范围是0a或a1【点睛

15、】二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答8在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22mx+m4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）（1）求m的值；（2）若一次函数ykx+5（k0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线ykx+5（k0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围【答案】（1）m1；

16、（2）k5；（3）2n5【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m；（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可；（3）如图，设平移后的直线的解析式为y5x+5+n，点C平移后的坐标为（n，3），点B平移后的坐标为（3n，0），求出点C或B直线y5x+5+n上时n的值，即可解决问题【详解】（1）抛物线yx22mx+m4与y轴交于点C（0，3），m43，m1（2）抛物线的解析式为yx22x3，令y0，得到x22x30，解得x1或3，抛物线yx22mx+m4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），A（1，0），B（3，0），一次函数ykx+5（k0）的图象经过点A，k+50，k5（

17、3）如图，设平移后的直线的解析式为y5x+5+n，点C平移后的坐标为（n，3），点B平移后的坐标为（3n，0），当点C落在直线y5x+5+n上时，35n+5+n，解得n2，当点B落在直线y5x+5+n上时，05（3n）+5+n解得n5，观察图像可知，满足条件的n的取值范围为2n5【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移等知识，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键9在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（2，2）（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当2x0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）

18、直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围【答案】（1）b2a3；（2）a0或0a；（3）0a4或【分析】（1）把点A（0，4）和B（2，2）分别代入yax2+bx+c，即可求解；（2）当a0时，依题意抛物线的对称轴需满足2；当a0时，依题意抛物线的对称轴需满足0，即可求解；（3）当a0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a7）在D点的下方，即可求解；当a0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解【详解】解：（1）把点A（0，4）和B（2，2）分别代入yax2+bx+

19、c中，得c4，4a2b+c2b2a3；（2）当a0时，依题意抛物线的对称轴需满足2，解得a0当a0时，依题意抛物线的对称轴需满足0，解得 0aa的取值范围是a0或0a；（3）设直线AB的表达式为：ymx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y3x4，把C（m，5）代入得m3C（3，5），由平移得D（1，5）当a0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），yax2+bx+cax2+（2a3）4，当x1时，y3a7，则抛物线上的点（1，3a7）在D点的下方，a+2a345解得a40a4；当a0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），即解得（舍去）或综上，a的取值

20、范围是0a4或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解10在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为（1）求抛物线的顶点坐标（用表示）；（2）若点在第一象限，且，求抛物线的解析式；（3）已知点，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围【答案】（1）；（2）或写为：；（3），或.【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO，列方程求解即可；（3）考虑点C在抛物线上时m的值，再结合图形，分情况进行讨论【详解】（1），抛物线的顶点A坐标为.（2）点在第一象限，抛物线的表达式为

21、，或写为：（3）把代入，得，解得或3，结合图象可得：当时，抛物线与线段有公共点，当时，抛物线与线段无公共点，当时，抛物线与线段有公共点；综上，当或时，抛物线与线段有公共点【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质11在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx22mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数yx22mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围【答案】（1）A（0，1），B（4，1）；（2）xm；（3）m0或m2【分析】（1）计算自变量

22、为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m0；当m0时满足条件；若m0时，利用当x4，y1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围【详解】解：（1）当x0时，yx22mx+11，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x-m；（3）当m0时，抛物线解析式为yx2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m0时，当x4，y1，即168m+11，解得m2，所以m的范围为m0或m

23、2【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是结合图像求解.12在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx1交y轴于点P（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）-4或4；（2）a或1a【分析】（1）根据题意先求出点Q坐标，代入解析式进行计算即可求解；（2）根据题意分两种情况讨论，利用特殊点进行分析计算即可求解【详解】解：（1）抛物线yax2+bx1交y轴于点P，点P（0，1），PQ4，PQx轴

24、，点Q（4，1），（4，1）当点Q为（4，1），116a+4b1，当点Q（4，1）116a4b1，4；（2）当a0时，当抛物线过点（2，2）时，a，当抛物线过点（1，2）时，a，a；当a0时，当抛物线过点（2，2）时，a，当抛物线过点（2，3）时，a1，1a，综上所述：a或1a【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并熟练掌握与运用是解答本题的关键13已知二次函数yax22ax（1）二次函数图象的对称轴是直线x ；（2）当0x3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2

25、），当tx1t+1，x23时，均满足y1y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围【答案】（1）1；（2）yx22x或yx2+2x；（3）1t2【分析】（1）由对称轴是直线x，可求解；（2）分a0或a0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x1，故答案为：1；（2）当a0时，对称轴为x1，当x1时，y有最小值为a，当x3时，y有最大值为3a，3a（a）4a1，二次函数的表达式为：yx22x；当a0时，同理可得y有最大值为a； y有最小值为3a，a3a4，a1，二次函数的表达式为：yx2+2x；综上所述，二次函数的

26、表达式为yx22x或yx2+2x；（3）a0，对称轴为x1，x1时，y随x的增大而增大，x1时，y随x的增大而减小，x1和x3时的函数值相等，tx1t+1，x23时，均满足y1y2，t1，t+13，1t2【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键14在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（1）求点的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）的取值范围是【分析】（1）与轴的交点横坐标为0，然后计算时的函数值即可求出坐标；（2

27、）根据抛物线的对称轴为求解即可；（3）由N点和A点的坐标，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点，可得，分a0，a0两种情形分别求解即可解决问题【详解】解：（1）抛物线与轴交于点，令，得（2）由抛物线可知抛物线的对称轴为直线（3）对于任意的实数，都有可知点总在点的上方令抛物线上的点如图1，当时， 点在点的上方结合函数图象，可知抛物线与线段没有公共点当时（i）如图2，当抛物线经过点时， 结合函数图象，可知抛物线与线段恰有一个公共点（ii）当时，可知抛物线与线段没有公共点（）如图3，当，时， 点在点的下方结合函数图象，可知抛物线与线段恰有一个公共点综上所述， 的取值范围是【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难