2021-2022学年数学北师大版选择性必修第二册测评：第一章　3-1　第2课时　等比数列的性质及应用 WORD版含解析.docx

1、第一章数列3等比数列3.1等比数列的概念及其通项公式第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.在等比数列an中,a2=8,a5=64,则公比q为()A.2B.3C.4D.8答案A解析由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2.2.等比数列an中,若a2a6+a42=,则a3a5等于()A.4B.3C.2D.43答案C解析a2a6=a42=a3a5,a3a5=2.3.等比数列an中,a1+a2=3,a2+a3=6,则a8等于()A.64B.128C.256D.512答案B解析a2+a3=q(a1+a2)=3q=6,q=2,a1+a2=a1+2a1=3a1=3,a1=1.a8=27

2、=128.4.在单调递减的等比数列an中,若a3=1,a2+a4=52,则a1等于()A.2B.4C.2D.22答案B解析在等比数列an中,a2a4=a32=1,又a2+a4=52,数列an为单调递减数列,所以a2=2,a4=12,所以q2=a4a2=14,所以q=12q=-12舍去,a1=a2q=4.5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比q为()A.13B.3C.13D.3答案B解析设等差数列为an,公差为d,d0.则a32=a2a6,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),化简得d2=-2a1d,d0,d=-2a1,a2=-a1,a3=-

3、3a1,q=a3a2=3.6.公比不为1的等比数列an满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为()A.8B.9C.10D.11答案C解析由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,a1am=9,a1am=a5a6,m=10,故选C.7.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=.答案-6解析由题意知,a3=a1+4,a4=a1+6.a1,a3,a4成等比数列,a32=a1a4,(a1+4)2=(a1+6)a1,解得a1=-8,a2=-6.8.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为.答案8解析设这8个数组成的等比数列为an,则a

4、1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)(a3a6)(a4a5)=(a1a8)3=23=8.9.已知等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=.答案8解析由等比数列的性质,得a3a11=a72,a72=4a7.a70,a7=4,b7=a7=4.再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.10.已知an=2n+3n,判断数列an是不是等比数列.解不是等比数列.a1=21+31=5,a2=22+32=13,a3=23+33=35,a1a3a22,数列an不是等比数列.11.已知数列an是等比数列,a3+a7=20,a1a

5、9=64,求a11的值.解an是等比数列,a1a9=a3a7=64.又a3+a7=20,a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.当a3=4,a7=16时,a7a3=q4=4,此时a11=a3q8=442=64.当a3=16,a7=4时,a7a3=q4=14,此时a11=a3q8=16142=1.关键能力提升练12.已知等比数列an共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是()A.32B.2C.2D.22答案C解析奇数项之积为2,偶数项之积为64,a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,则a2a4a6a8a10a1a3a5a7a9=q5=32,则q=2,故选

6、C.13.已知各项均为正数的等比数列an中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为()A.100B.-100C.10 000D.-10 000答案C解析lg(a3a8a13)=lga83=6,a83=106,a8=102=100.a1a15=a82=10000.14.在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于()A.12B.13C.14D.15答案C解析设数列an的公比为q,由a1a2a3=4=a13q3与a4a5a6=12=a13q12,可得q9=3,an-1anan+1=a13q3n-3=324,因此q3n-6=81=34

7、=q36,所以n=14,故选C.15.已知等比数列an的公比为q(q-1),记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN+),则以下结论一定正确的是()A.数列bn为等差数列,公差为qmB.数列bn为等比数列,公比为q2mC.数列cn为等比数列,公比为qm2D.数列cn为等比数列,公比为qmm答案C解析bn=am(n-1)+1(1+q+q2+qm-1),由q-1易知bn0,bn+1bn=amn+1am(n-1)+1=qm,故数列bn为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误;cn=am(n-1)+1mq

8、1+2+(m-1),cn+1cn=amn+1mam(n-1)+1m=amn+1am(n-1)+1m=(qm)m=qm2,故数列cn为等比数列,公比为qm2,D错误.故选C.16.(多选题)已知数列an的通项公式为an=2n,i,jN+,下列仍是数列an中的项的是()A.ai+j+aiB.ai+j-aiC.ai+jaiD.ai+jai答案CD解析an=2n,i,jN+,ai+j+ai=2i+j+2i=2i(2j+1)an,ai+j-ai=2i+j-2i=2i(2j-1)an,ai+jai=2i+j2i=22i+jan,ai+jai=ajan.17.(多选题)已知等比数列an,则下面式子对任意正整

9、数k都成立的是()A.akak+10B.akak+20C.akak+1ak+20D.akak+1ak+2ak+30答案BD解析对于A,当q0时,akak+10,B成立;对于C,akak+1ak+2=ak+13,ak+130不一定成立;对于D,akak+1ak+2ak+3=(ak+1ak+2)20一定成立,故选BD.18.设数列an为公比q1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=.答案18解析由题意得a4=12,a5=32,q=a5a4=3.a6+a7=(a4+a5)q2=12+3232=18.19.在等比数列an中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a

10、16=8,则a41a42a43a44=.答案1 024解析设等比数列an的公比为q,a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=a14q6=1,a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15=a14q54=8,得q48=8,q16=2,a41a42a43a44=a1q40a1q41a1q42a1q43=a14q166=a14q6q160=(a14q6)(q16)10=210=1024.20.在等差数列an中,公差d0,a1,a2,a4成等比数列,已知数列a1,a3,ak1,ak2,akn,也成等比数列,求数列kn的通项公式.解由题意得a22=a1a4,即(a1+d)2=a

11、1(a1+3d),得d(d-a1)=0,又d0,a1=d.又a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列,该数列的公比q=a3a1=3dd=3,akn=a13n+1.又akn=a1+(kn-1)d=kna1,数列kn的通项公式为kn=3n+1(nN+).学科素养创新练21.已知0rp100,在一容器内装有浓度为r%的溶液1 kg,注入浓度为p%的溶液14 kg,搅匀后倒出混合液14 kg.如此反复进行下去.(1)写出第1次混合后溶液的浓度a1%;(2)设第n次混合后溶液的浓度为an%,试用an表示an+1;(3)写出an的通项公式.解(1)a1%=r%+14p%1+14=15(p+4r)%.(2)an+1%=an%+14p%1+14=15(p+4an)%,即an+1=15(p+4an).(3)由(2)知an+1=15(p+4an),即an+1-p=45(an-p),所以an-p是一个公比为45的等比数列,首项为a1-p=45(r-p),所以an-p=45(r-p)45n-1=(r-p)45n,所以an=p-(p-r)45n.