2021-2022学年新教材高中数学 第三章 圆锥曲线的方程综合训练（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、第三章综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且OPOQ=2,则点P的轨迹方程为()A.x2+y2=2B.x2-y2=2C.x+y2=2D.x-y2=2解析设P(x,y),Q(x,-y),则OPOQ=(x,y)(x,-y)=x2-y2=2.故选B.答案B2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是()A.12B.32C.1D.3解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-y23=1的一条渐近线3x-y=0

2、的距离为|31-0|(3)2+(-1)2=32.故选B.答案B3.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的短轴长是()A.6B.7C.8D.9解析设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).依题意得,2a=10,a=5.又c=3,b2=a2-c2=16,即b=4.因此椭圆的短轴长是2b=8.故选C.答案C4.过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于()A.24B.22C.14D.12解析设A(x1,y1)

3、,B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0.根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2-12=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以ca=22,所以e=22.答案B5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=3FQ,则|QF|=()A.83B.52C.3D.2解析FP=3FQ,点Q在P,F之间,过点Q作QMl.垂足为M.由抛物线的定义知|QF|=|QM|.设抛物线的准线l与

4、x轴的交点为N,则|FN|=4.又易知PQMPFN,则|QM|FN|=|PQ|PF|,即|QM|4=23,|QM|=83,即|QF|=83.故选A.答案A6.已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,则e1e2=c1ac2a=a2-b2aa2+b2a=a4-b4a2=32,所以ba=22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=bax=22x,即x2y=0.答案A7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为

5、C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.4x221-4y225=1B.4x221+4y225=1C.4x225-4y221=1D.4x225+4y221=1解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y).AQ的垂直平分线交CQ于点M,|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,|MC|+|MA|=5|AC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点,且2a=5,c=1,b=212,故椭圆方程为x2254+y2214=1,即4x225+4y221=1.故选D.答案D8.我们把焦点相同

6、,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.2解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce,设|PF1|=x,|PF2|=y(xy0),则4c2=x2+y2-2xycos60=x2+y2-xy,当P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,当P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,

7、两式联立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4,又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=3,即双曲线的离心率为3.答案A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知方程mx2+ny2=1(m,nR),则()A.当mn0时,方程表示椭圆B.当mn0时,原方程整理得x21m+y21n=1,若m,n同负,或1m=1n,则方程不表示椭圆,故A错误:当mn0时,1m与1n异号,方程表示

8、双曲线,故B正确;当m=0时,方程是ny2=1,当n0时,方程无解,故C错误;无论m,n为何值,方程都不可能表示抛物线,故D正确.故选BD.答案BD10.以下关于圆锥曲线的说法不正确的是()A.设A,B为两个定点,k为非零常数,|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线B.过定圆O上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆C.若曲线C:x24-k+y2k-1=1为双曲线,则k4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有2条解析根据双曲线的定义,必须有kb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C

9、1的上顶点为M,且MF1MF2=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若F1PF2=3,则正确的是()A.e2e1=2B.e1e2=32C.e12+e22=52D.e22-e12=1解析因为MF1MF2=0且|MF1|=|MF2|,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c,则c=b=22a,所以e1=22.在焦点三角形PF1F2中,|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a,则x2+y2-xy=4c2,x+y=22c,|x-y|=2a,故xy=43c2,从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=8c23,所以

10、(a)2=2c23,即e2=62,故e2e1=3,e2e1=32,e12+e22=2,e22-e12=1.答案BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=32x的双曲线的标准方程为.解析由题意2a=6,a=3.当焦点在x轴上时,双曲线的渐近线方程为y=32x,b3=32,b=92,方程为x29-y2814=1;当焦点在y轴上时,双曲线的渐近线方程为y=32x,3b=32,b=2,方程为y29-x24=1.故双曲线的标准方程为y29-x24=1或x29-y2814=1.答案y29-x24=1或x29-y2814=114.已知F1,F2是椭圆的两个焦

11、点,满足MF1MF2=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是.解析不妨设焦点在x轴上,则椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),如图所示.若点M满足MF1MF2=0,则MF1MF2,可得点M在以F1F2为直径的圆上运动.满足MF1MF2=0的点M总在椭圆内部,以F1F2为直径的圆是椭圆内部的一个圆,即圆的半径小于椭圆的短半轴长.由此可得bc,即a2-c2c,解得a2c.因此椭圆的离心率e=ca0)是双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点F和另一个点P,且点P在抛物线y2=4cx上

12、,则该双曲线的离心率的平方e2的值为.解析如图,设双曲线的右焦点为F,由题意可知FF为圆x2+y2=c2的直径.设P(x,y)(x0),则有y2=4cx,x2+y2=c2,yx+c=ba,将代入得x2+4cx-c2=0,则x=-4c25c2=-2c5c,即x=(5-2)c或x=(-5-2)c(舍去),将x=(5-2)c代入,得y5c-2c+c=ba,即y=bc(5-1)a,再将x,y的表达式代入,得b2c2(5-1)2a2=4c2(5-2),即b2(5-1)2a2=4(5-2),b2a2=4(5-2)(5-1)2=c2-a2a2=e2-1,解得e2=5+12.答案5+12四、解答题:本题共6小

13、题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率e=233,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是32.(1)求双曲线的方程;(2)过点B作直线m交双曲线于M,N两点,若OMON=-23,求直线m的方程.解(1)依题意得l的方程为xa+y-b=1,即bx-ay-ab=0.由原点O到直线l的距离为32,得aba2+b2=abc=32,又e=ca=233,b=1,a=3.故所求双曲线方程为x23-y2=1.(2)显然直线m不与x轴垂直,设直线m的方程为y=kx-1,则点M(x1,y1),N(x2,

14、y2)是方程组y=kx-1,x23-y2=1的解,消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.依题意知1-3k20,当=36k2-4(1-3k2)(-6)=24-36k20,即k2b0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足OP=OA+OB,求四边形OAPB的面积.解(1)由题意知c=1,a=2,则b=3,故椭圆C的方程是x24+y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),设直线l:y=kx+m.由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,故=4

15、8(4k2+3-m2)0且x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.由OP=OA+OB,可得x0=x1+x2,y0=y1+y2,又点P在椭圆C上,所以(x1+x2)24+(y1+y2)23=1,其中x1+x2=-8km3+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2,代入(x1+x2)24+(y1+y2)23=1,化简可得4m2=3+4k2.|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(433+4k2-m2)3+4k2,坐标原点到直线l的距离d=|m|1+k2.所以四边形OAPB的面积S=|AB|d=433+4k2-m2|m|3+4k2=12m24m2=3.

16、20.(12分)在平面直角坐标系中,椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1PA,l2PB,直线l1,l2交于点C.(1)若点C的横坐标为-1,求点P的坐标;(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且AC=AQ,求实数的取值范围.解(1)由题意得ca=12,2a=4,解得a=2,c=1,b2=a2-c2=3.椭圆M的方程是x24+y23=1,且A(-2,0),B(2,0),设P(x0,y0),则kPA=y0x0+2,l1PA,直线AC的方程为y=-x0+2y0(x+2),同理,直线BC的方程

17、为y=-x0-2y0(x-2).联立方程y=-x0+2y0(x+2),y=-x0-2y0(x-2),解得x=-x0,y=x02-4y0,又x02-4y0=4-43y02-4y0=-43y0,点C的坐标为(-x0,-43y0),点C的横坐标为-1,x0=1.又P为椭圆M上第一象限内一点,y0=32,P点的坐标为1,32.(2)设Q(xQ,yQ),AC=AQ,-x0+2=(xQ+2),-43y0=yQ,解得xQ=-x0+2-2,yQ=-43y0,点Q在椭圆M上,14-x0+2-22+13-43y02=1,又y02=31-x024,整理得7x02-36(-1)x0+72-100=0,解得x0=2或x

18、0=36-507,P为椭圆M上第一象限内一点,036-5072,解得25180),由|MA|=|MB|可知直线MF的斜率为-k,即直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由y-y0=k(x-y02),y2=x,消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0,解得yE=1-ky0k,则xE=(1-ky0)2k2.同理可得yF=1+ky0-k,xF=(1+ky0)2k2.故直线EF的斜率kEF=yE-yFxE-xF=1-ky0k-1+ky0-k(1-ky0)2k2-(1+ky0)2k2=2k-4ky0k2=-12y0(定值).因此,直线EF的斜率为定值.(2)解设动点M(y02,y0).当EMF

19、=90时,MAB=45,k=1.直线ME的方程为y-y0=x-y02.由y-y0=x-y02,y2=x得E(1-y0)2,1-y0).同理可得F(1+y0)2,-(1+y0).设重心G(x,y),则有x=xM+xE+xF3=y02+(1-y0)2+(1+y0)23=2+3y023,y=yM+yE+yF3=y0+(1-y0)-(1+y0)3=-y03,消去参数y0,得y2=19x-227x23.22.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨

20、迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求RPQ面积的最小值.(1)证明圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,圆心M(1,0),半径|MB|=4.又过点N作AM的平行线交BM于点C,AMNC.又|MA|=|MB|,所以BNC=BAM=NBC,|CN|=|CB|.|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4|MN|=2,点C的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C的轨迹方程为x24+y23=1(y0).(2)解由(1)可知点C的轨迹方程为x24+y23=1(y0),易知k0,设P(

21、x1,y1),由y=kx,x24+y23=1消去y,得(3+4k2)x2=12,解得x12=123+4k2,y12=12k23+4k2,则|OP|=x12+y12=123+4k2+12k23+4k2=12(1+k2)3+4k2.PQR是以PQ为底边的等腰三角形,ROPQ,kROkPQ=-1,则kRO=-1k.同理,|OR|=121+(-1k)23+4(-1k)2=12(1+k2)3k2+4.SRPQ=12|PQ|OR|=12212(1+k2)3+4k212(1+k2)3k2+4=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2).(方法1)SRPQ=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)12(1+k2)3+4k2+4+3k22=12(1+k2)72(1+k2)=247,当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=1时,等号成立.SRPQmin=247.(方法2)SRPQ=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)=12k4+2k2+112k4+25k2+12=12k4+2k2+112(k4+2k2+1)+k2=12112+k2k4+2k2+1=1212+1k2+2+1k21212+14=247,当且仅当k2=1k2,即k=1时,等号成立.SRPQmin=247.