2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第三册课后巩固提升：5-5　数学归纳法 WORD版含解析.docx

1、5.5数学归纳法课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020新疆巴楚第一中学高二期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于()A.1B.2C.3D.0答案C解析因为多边形的边数最少是3,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C.2.用数学归纳法证明n33n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为()A.nN*B.nN*,n2C.nN*,n3D.nN*,n4答案D解析当n=1,n=2,n=3时,显然不等式不成立,当n=4时,不等式成立,故用数学归纳法证明n33n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为nN*

2、,n4,故选D.3.(2020浙江宁波高二月考)用数学归纳法证明+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是()A.B.C.D.答案B解析当n=k时,左边为+,当n=k+1时,左边为+,所以左边需添加的项是,选B.4.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2(nN+)”时,第一步的验证为.答案当n=1时,左边=4,右边=4,左右,不等式成立5.若f(n)=1+(nN+),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=;第二步“从n=k到n=k+1时”,f(k+1)=f(k)+.答案解析f(1)=1+;当n=k时,f(k)=1+,当n=k+1时,f(k+1)=1+,所以f(k+1

3、)=f(k)+.6.(2020陕西西安一中高二期中)用数学归纳法证明:1+5+9+13+(4n-3)=2n2-n(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设n=k(k1,kN+)时,命题成立,即1+5+9+13+(4k-3)=2k2-k.则当n=k+1时,1+5+9+13+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)可知,原命题成立.7.(2020江西南昌二中高二期末)数列an的前n项和为Sn,且满足an=Sn+-2(nN+).(1)求S1,S2,S3,S4的值;

4、(2)猜想数列Sn的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.解(1)当n=1时,a1=S1=S1+-2,S1=.又a2=S2-S1=S2+-2,S2=,同理S3=,S4=.(2)猜想Sn=(nN+).下面用数学归纳法证明这个结论.当n=1时,结论成立.假设n=k(kN+)时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2,=2-Sk.Sk+1=,即当n=k+1时结论成立.由,知Sn=对任意的正整数n都成立.关键能力提升练8.利用数学归纳法证明+6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成

5、立矛盾,假设不成立,故B错误;同理可得,当n,请补全证明过程:(1)当n=1时,f(21)=1+.(2)假设n=k(kN+)时命题成立,即f(2k),则当n=k+1时,f(2k+1)=f(2k)+,即当n=k+1时,命题成立.综上所述,对任意nN+,都有f(2n)成立.答案+解析因为f(n)=1+(nN+),所以f(2n)=1+.所以当n=k(kN+)时,f(2k)=1+,当n=k+1时,f(2k+1)=1+=f(2k)+,故答案为+.13.是否存在a,b,c,使等式2+2+2+2=对一切nN+都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.解取n=1,2,3可得解得a=,b=,

6、c=.下面用数学归纳法证明2+2+2+2=.即证12+22+n2=n(n+1)(2n+1),当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;假设当n=k(kN+)时等式成立,即12+22+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合,知当nN+时等式成立,故存在a=,b=,c=使已知等式成立.学科素养拔高练14.(多选)(2020江苏江阴高级中学高二期中)用数学

7、归纳法证明对任意nk(n,kN)的自然数都成立,则以下满足条件的k的值为()A.1B.2C.3D.4答案CD解析取n=1,则不成立;取n=2,则不成立;取n=3,则成立;取n=4,则成立;下面证明:当n3时,成立.当n=3,则成立;设当n=k(k3)时,有成立,则当n=k+1时,有,令t=,则=3-,因为t,故3-,因为0,所以,所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知,对任意的n3都成立.故选CD.15.已知m,n为正整数,(1)证明:当x-1时,(1+x)m1+mx;(2)对于n6,已知1-n,求证:1-n-1,1+x0,于是在不等式(1+x)k1+kx两边同乘以1+x,得(1+

8、x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式也成立.综合知,对一切正整数m不等式都成立.(2)证明当n6,mn时,由(1),得1-m1-0,于是1-n1-nm=1-nmm,m=1,2,n.(3)解由(2)知,当n6时,1-n+1-n+1-n+2+n=1-1,n+n+n1,即3n+4n+(n+2)n(n+3)n,即当n6时,不存在满足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,34,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+6474,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.