2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第二册课后巩固提升：4-1-2　乘法公式与全概率公式　4-1-3　独立性与条件概率的关系 WORD版含解析.docx

1、4.1.2乘法公式与全概率公式4.1.3独立性与条件概率的关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021江苏淮安模拟)如图,某系统使用A,B,C三种不同的元件连接而成,每个元件是否正常工作互不影响.当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件A,B,C正常工作的概率分别为0.7,0.9,0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.196B.0.504C.0.686D.0.994答案C解析某系统使用A,B,C三种不同的元件连接而成,每个元件是否正常工作互不影响.当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.元件A,B,C正常工作的概率分别为0.7,0.9

2、,0.8,则系统正常工作的概率为0.71-(1-0.9)(1-0.8)=0.686.故选C.2.(多选)下列各对事件中,不是相互独立事件的有()A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”答案ACD解析在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响

3、,二者相互独立;在C中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)1时,P(AB)P(A)P(B),故A,B不独立.故选ACD.3.(2021安徽宣城模拟)围棋起源于中国,据先秦典籍世本记载“尧造围棋,丹朱善之”,围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛,比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军(假设没有平局),比赛结束.假设每局比赛乙胜甲的概率都为,且各局比赛的胜

4、负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为()A.B.C.D.答案A解析在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况:甲前三局全胜,概率为P1=3=;前三局甲两胜一负,第四局甲胜,概率为P2=2=.所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为P=P1+P2=.故选A.4.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中胜的概率为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了3局的概率为.答案解析根据题意,甲获得冠军的概率为,其中,比赛进行了3局的概率为,所以,在甲获得冠军的条件下,比赛进行了3局的概率为P=.5.甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次

5、,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:(1)2人都射中目标的概率;(2)2人中恰有1人射中目标的概率;(3)2人至少有1人射中目标的概率.解记“甲射击1次,射中目标”为事件A,“乙射击1次,射中目标”为事件B,则A与B,与B,A与相互独立,(1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72,所以2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A发生);另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意,事件AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(A)

6、+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8(1-0.9)+(1-0.8)0.9=0.08+0.18=0.26.所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)方法12人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+P(A)+P(B)=0.72+0.26=0.98.方法2“2人至少有1个射中”与“2人都未射中”为对立事件,2个都未射中目标的概率是P()=P()P()=(1-0.8)(1-0.9)=0.02.所以“2人至少有1人射中目标”的概率为P=1-P()=1-0.02=0.98.关键能力提升练6.(多选)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有

7、()A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事件N=“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球,5个红球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M=“第1次摸到红球”,事件N=“第2次模到红球”C.分别抛掷2枚相同的硬币,事件M=“第1枚为正面”,事件N=“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次,事件M=“第一次为正面”,事件N=“第二次为反面”答案CD解析在A中,P(MN)=0,所以M,N不相互独立;在B中,第1次摸到红球对第2次摸到红球有影响,所以不是相互独立事件;在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第

8、一次为正面对第二次的结果没有影响,因此M,N是相互独立事件.故选CD.7.(2020辽宁高一期末)从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A.B.C.D.答案B解析设事件A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件B:“从中任挑一儿童,这两项都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为,身体关节构造不合格的概率为,所以P(B)=,故P(A)=1-P(B)=1-.故选B.8.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,

9、两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.甲乙丙丁甲0.30.30.8乙0.70.60.4丙0.70.40.5丁0.20.60.5那么甲得冠军且丙得亚军的概率是()A.0.15B.0.105C.0.045D.0.21答案C解析甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3,丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5,甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3,根据独立事件的概率等于概率之积,所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.30.50.3=0.045.故选C.9.(2020天津高三期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试,测试内容包括A,B,C三

10、个类型问题,这三个类型所含题目的个数分别占总数的.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答,则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为()A.B.C.D.答案C解析3名同学选择的题目所属类型互不相同,则A,B,C三个类型的问题都要入选,则3名同学的选法共有=6种情况,每个类型入选的可能为,所以全部入选的概率为,则3名同学所选不同类型的概率为6.故选C.10.已知5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取1个,不放回地取两次,求:(1)第一次取到新球的概率;(2)第二次取到新球的概率;(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率.解设第i次取到新球为事件Ai,第j次取到旧球为事件Bj(i,j=

11、1,2).(1)P(A1)=.(2)第二次取到新球为事件C,P(C)=P(A1A2)+P(B1A2)=.(3)P(A2|A1)=.11.(2020北京海淀期末)某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘,甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年,现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个,统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如表:型号甲乙首次出现故障的时间x/年0x11x22x30x11x22x3硬盘数/个212123假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.(1)从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,试估计首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)某人

12、在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个,试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即2x3)的概率.解(1)在图表中甲品牌的50个样本中,首次出现故障发生在保修期内的频率为,即.设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,其首次出现故障发生在保修期内为事件A.利用频率估计概率,得P(A)=.所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,估计其首次出现故障发生在保修期内的概率为.(2)在图表中甲品牌的50个样本中,首次出现故障发生在保修期第3年的频率为,即.在图表中乙品牌的50个样本中,首次出现故障发生在保修期第3年的频率为.设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个,其首

13、次出现故障发生在保修期内的第三年为事件B,从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个,其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事件C,利用频率估计概率,得P(B)=,P(C)=,P(BC)=P(B)P()+P()P(C)=P(B)1-P(C)+1-P(B)P(C)=1-+1-=.所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个,恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为.学科素养拔高练12.(2021上海浦东新区校级模拟)荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示,假设现在青蛙在A

14、叶上,则跳四次之后停在A叶上的概率为.答案解析因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,所以逆时针方向跳的概率是,顺时针方向跳的概率是,若青蛙在A叶上,则跳四次之后停在A叶上,则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳,有2次是逆时针跳,若先按逆时针开始从AB,则剩余3次中有1次是按照逆时针,其余2次按顺时针跳,则对应的概率为2=;若先按顺时针开始从AC,则剩余3次中有1次是按照顺时针,其余2次按逆时针跳,则对应的概率为2=.故跳四次之后停在A叶上的概率为.13.(2020浙江高三专题练习)眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅

15、游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分,2分的概率;(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率P(A)=1-3=.甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率P(B)=321-=.(2)记“乙队得1分”为

16、事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D.事件C即乙队三人中有2人答错,其余1人答对,则P(C)=1-1-+1-1-+1-1-,甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,则P(D)=P(B)P(C)=.14.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?解设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.易知,B1,B2,B3是样本空间S的一个划分,且有P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.(1)由全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.(2)由贝叶斯公式P(B1|A)=0.24.同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大.