2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第二册课后巩固提升：4-2-4　第二课时　离散型随机变量的方差 WORD版含解析.docx

1、第二课时离散型随机变量的方差课后篇巩固提升必备知识基础练1.某人从家乘车到单位,途中有3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为()A.0.48B.1.2C.0.72D.0.6答案C解析因为途中遇红灯的次数X服从二项分布,即XB(3,0.4),所以D(X)=30.40.6=0.72.2.(2021浙江模拟)随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(2X-1)=()A.B.C.D.答案D解析设P(X=1)=p,则P(X=2)=-p,P(X=0)=,因为E(X)=1,所以0+1p+2-p=1,解得p=.所以P(

2、X=1)=,P(X=2)=,故D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,D(2X-1)=4D(X)=.故选D.3.若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.32-2B.2-4C.32-10D.2-8答案C解析因为XB(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).所以解得所以P(X=1)=32-10.4.(2020山东潍坊期末)设随机变量X,Y满足Y=4X+1,XB(2,p),若P(X1)=,则D(Y)=()A.B.3C.6D.8答案C解析由题意得,P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=,D(X)=2p(1-p)=,D

3、(Y)=42D(X)=16=6.故选C.5.(2021浙江温岭校级模拟)设a,b0,随机变量X的分布列如下表所示,则()X02a1PabA.E(X)增大,D(X)增大B.E(X)增大,D(X)减小C.E(X)为定值,D(X)先增大后减小D.E(X)为定值,D(X)先减小后增大答案D解析由题意可得a+b+=1,所以b=-a,E(X)=0a+2a+1b=a+-a=,D(X)=-02a+-2a2+-12b=2a2-a+=2a-2+,因为a0,所以当a0,时,D(X)单调递减,当a时,D(X)单调递增,故选D.6.已知随机变量XB(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2

4、)=.(结果用数字表示)答案解析D(Y)=4D(X)=3.2,D(X)=0.8.又XB(n,p),解得p=0.8,n=5.故P(X=2)=p2(1-p)3=.7.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;的最大值为.答案2-2解析随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为X01P1-pp,从而E(X)=0(1-p)+1p=p,D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.D(X)=p-p2=-=-.因为0p1,所以当p=时,D(X)取得最大值,最大值为.=2-2-2,当且仅当2p=,即p=时

5、,等号成立.故的最大值为2-2.8.某花店每天以每枝5元的价格购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17

6、枝?请说明理由.解(1)当日需求量n16时,利润y=80.当日需求量n16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y= (nN).(2)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差为D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y556575

7、85P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.Y的方差为D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,D(X)D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X)E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数

8、学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,E(X)E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.关键能力提升练9.(2020山东高二月考)若离散型随机变量X的分布列如下,则X的方差D(X)=()X01Pm0.6A.0.6B.0.4C.0.24D.1答案C解析由题意可得m+0.6=1,所以m=0.4,所以E(X)=00.4+10.6=0.6,所以D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.故选C.10.(多选)(2021河北张家口一模)袋子中有2个黑球,1个

9、白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则()A.XB4,B.P(X=2)=C.X的期望E(X)=D.X的方差D(X)=答案ACD解析由于每次取球互不影响,故所有结果有4类:4次全是白球,X=0,记其概率为P(X=0)=4=;4次只有1次是黑球,X=1,记其概率为P(X=1)=3=;4次只有2次是黑球,X=2,记其概率为P(X=2)=22=;4次只有3次是黑球,X=3,记其概率为P(X=3)=3;4次全是黑球,X=4,记其概率为P(X=4)=4=.故XB4,故A正确,B错误;因为XB4,所以X的期望E(X)=4,故C正确;因为XB4,所以X的方

10、差D(X)=4,故D正确.故选ACD.11.现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X.若D(X)=8,P(X=20)P(X=30),则p=()A.0.16B.0.2C.0.8D.0.84答案C解析P(X=20)P(X=30),p20(1-p)30p30(1-p)20,化简得1-p,又D(X)=8=50p(1-p),解得p=0.2或p=0.8,p=0.8,故选C.12.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,又已知E(X)=,D(X)=,则|x1-x2|的值为()A.B.C.3D.1答案D解析=1,随

11、机变量X的值只能为x1,x2,解得|x1-x2|=1.故选D.13.(2021陕西西安校级模拟)已知随机变量的分布列如下表,则D(2+1)=.012Pa1-2a答案2解析由题意可得a+1-2a+=1,解得a=,012P所以E()=0+1+2=1,D()=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,D(2+1)=22D()=2.14.(2020浙江高三专题练习)已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=,D(X)=.答案解析由题意得X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以

12、X的分布列为X123P所以E(X)=1+2+3=,D(X)=1-2+2-2+3-2=.15.随机变量X的分布列如下表X-101Pabc其中a,b,c成等差数列.(1)求P(|X|=1);(2)若a=,求方差D(X).解(1)由分布列的性质知,a+b+c=1,a,b,c成等差数列,2b=a+c,3b=1,即b=,a+c=,P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=a+c=.(2)若a=,则c=,数学期望E(X)=-1+0+1,方差D(X)=-1-2+0-2+1-2.16.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N个人参加.现将所有参加者按年龄情况分为20,25),25,3

13、0),30,35),35,40),40,45),45,50),50,55)七组.其频率分布直方图如图所示,已知25,30)这组的参加者是6人.(1)根据此频率分布直方图求N;(2)组织者从45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列、均值及方差;(3)已知35,40)和40,45)这两组各有2名数学教师.现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率.解(1)25,30)这组频率为0.035=0.15,所以N=40.(2)45,55)这组的参加者人数为(0.0

14、2+0.01)540=6,所以X可能的取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X123PE(X)=1+2+3=2,D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2.(3)35,40)这组的参加者人数为0.04540=8.40,45)这组的参加者人数为0.03540=6.恰有1名数学老师的概率为.学科素养拔高练17.已知随机变量的分布列如下表所示,则下列说法正确的是()xyPyxA.存在x,y(0,1),E()B.对任意x,y(0,1),E()C.对任意x,y(0,1),D()答案C解析依题意可得E()=2xy,D()=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=(1-2y)2x+(1-2x)2yyx.因为x+y=1,所以2xy,当且仅当x=y时取等号.即E(),故A,B错误;D()=(2x-1)2x+(1-2x)2yyx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx.0x1,-12x-11,0(2x-1)21,D()yx,即D()E(),故C成立;D()=(1-2x)2yxD(Y).所以早餐店每天应该批发一小箱.