2021中考数学重难点专练 二次函数综合题（含解析）.docx

1、1.如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值【解析】（1）抛物线过点， 解得：这条抛物线对应的函数表达式为（2）在轴上存在点，使得为直角三角形顶点设点坐标为，若，则解得：若，则解得：，或若，则解得：综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形（3）如图，过点作轴于点，于点，于点轴于点四边形是矩形点为的内心，矩形是正方形设点坐标为，化简得：配方得：点与定点，的距离为点在以点，为圆心，半径为的圆

2、在第一象限的弧上运动当点在线段上时，最小最小值为2.如图，抛物线yax2+bx5（a0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为yx+n求抛物线的解析式点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值过点A作AMBC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【解析】点B、C在直线为yx+n上，B（n，0）

3、、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，a1，b6，抛物线解析式：yx2+6x5；由题意，得，PB4t，BE2t，由知，OBC45，点P到BC的高h为BPsin45（4t），SPBEBEh，当t2时，PBE的面积最大，最大值为2；由知，BC所在直线为：yx5，点A到直线BC的距离d2，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设N（m，m2+6m5），则H（m，0）、P（m，m5），易证PQN为等腰直角三角形，即NQPQ2，PN4，NH+HP4，m2+6m5（m5）4解得m11，m24，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m4；NH+HP4，m5（m2+6m5）4解得m1，m2

4、，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m5，m，NHHP4，（m2+6m5）（m5）4，解得m1，m2，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m0，m，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或3. (2019 四川省成都市)如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当C

5、PQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式【解析】（1）由题意得：解得，抛物线的函数表达式为yx22x3（2）抛物线与x轴交于B（1，0），C（3，0），BC4，抛物线的对称轴为直线x1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH2，由翻折得CBCB4，在RtBHC中，由勾股定理，得CH2，点C的坐标为（1，2），tan，CBH60，由翻折得DBHCBH30，在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30，点D的坐标为（1，）（3）取（2）中的点C，D，连接CC，BCBC，CBC60，CCB为等边三角形分类讨论如下：当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C

6、PPCQ，CCB为等边三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，BCQCCP（SAS），BQCP点Q在抛物线的对称轴上，BQCQ，CPCQCP，又BCBC，BP垂直平分CC，由翻折可知BD垂直平分CC，点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为ykx+b，则，解得，直线BP的函数表达式为y当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方PCQ，CCB为等边三角形，CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB60BCPCCQ，BCPCCQ（SAS），CBPCCQ，BCCC，CHBC，CBP30，设BP与y轴相交于点E，在RtBOE中，OEOBtanCBPOBtan301，点E的坐标为（0，）设直

7、线BP的函数表达式为ymx+n，则，解得，直线BP的函数表达式为y综上所述，直线BP的函数表达式为或4.已知抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）经过点A（1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点（）当b2时，求抛物线的顶点坐标；（）点D（b，yD）在抛物线上，当AMAD，m5时，求b的值；（）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值【解析】（）抛物线yx2bx+c经过点A（1，0），1+b+c0，即cb1，当b2时，yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（）由（）知，抛物线的解析式为yx2bxb1，点D（b，yD）在抛物线yx2bxb1上，

8、yDb2bbb1b1，由b0，得b0，b10，点D（b，b1）在第四象限，且在抛物线对称轴x的右侧，如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，则点E（b，0），AEb+1，DEb+1，得AEDE，在RtADE中，ADEDAE45，ADAE，由已知AMAD，m5，5（1）（b+1），b31；（）点Q（b+，yQ）在抛物线yx2bxb1上，yQ（b+）2b（b+）b1，可知点Q（b+，）在第四象限，且在直线xb的右侧，AM+2QM2（AM+QM），可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45，得AMGM，则此时点M满足题意，过点Q作QHx轴于点H，则点

9、H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45，QHMH，QMMH，点M（m，0），0（）（b+）m，解得，m，AM+2QM，（）（1）+2（b+）（），b4 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h0）个单位长度，得到新抛物线若新抛物线的顶点D在ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当PQC与ABC相似时，求PQC的面积【解析】（1）函数表达式

10、为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4，函数顶点D（，）；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D（h，1），将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y4x+4，将点D坐标代入直线AC的表达式得：14（h）+4，解得：h，故：0h；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、HOBOC4，PBAOCB45QPC，直线BC的表达式为：yx+4，则AB5，BC4，AC，SABC5410，设点Q（m，m2+3m+4），点P（m，m+4），CPm，PQm2+3m+4+m4m

11、2+4m，当CPQCBA，即，解得：m，相似比为：，当CPQABC，同理可得：相似比为：，利用面积比等于相似比的平方可得：SPQC10（）2或SPQC10（）26.如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边

12、DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长【解析】（1）OA3，tanOAC，OC，四边形OABC是矩形，BCOA3，D是BC的中点，CDBC，D（，）；（2）tanOAC，OAC30，ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，DBCACB30BDB60，BDFBDF30，B90，BFBDtan30，AB，AFBF，BFDAEF，BFAE90，BFDAFE（ASA），AEBD，OEOA+AE，点E的坐标（，0）；动点P在点O时，抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为

13、yx2+x，E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2+x+，E（6，0），直线DE：yx+，F2（3，）；点F运动路径的长为F1F2，DFG为等边三角形，G运动路径的长为7.已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于、两点（1）求、的值；（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；（3）满足（2）的条件时，求的值【解析】（1）将代入，得：，；将代入，得：，（2）由（1）得：抛物线的解析式为，直线的解析式为当时，解得：，点的坐标为，设点的坐标为，则，是以为

14、底边的等腰三角形，即，整理，得：，解得：，点的坐标为或（3）过点作轴，垂足为点，如图所示当点的坐标为时，；当点的坐标为时，满足（2）的条件时，的值的值为或8.如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线与是“互为关联”的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点（1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时

15、，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值【解析】由抛物线可得，将，代入得，解得，；（2）易得直线的解析式：，若为直角顶点，直线解析式为联立，解得，或，；若为直角顶点，同理得解析式：，联立，解得，或，；若为直角顶点，设由得，即，解得或（不符合题意舍去），点的坐标或；（3），设，且，易求直线的解析式：，过作轴的平行线交于，则，设交于点，易知，当时，的最大值为169.如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线yax2+bx+c与x轴交于点C（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EFB

16、C，交AB于点F，当BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将BEF绕点F旋转180得BEF，试判断点E是否在抛物线上，并说明理由【解析】（1）yx+4，令x0，y4，令y0，则x4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EFBC，则直线EF的表达式为：y4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y4x4m，联立并解得：x（m+1），则点F（，），SBEFSOABSOBESAEF444m（

17、4m），解得：m，故点E（，0）、点E（2，2）；（3）BEF绕点F旋转180得BEF，则点E（，4），当x时，yx2+3x+4（）2+3+44，故点E不在抛物线上10.如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON（1）求该二次函数的关系式（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP，当OPMN时，请判断NOB的形状，并求出此时点B的坐标求证：BNMONM【解析】（1）二次函数顶点为P（3，3）设顶点式ya（x3）2+3二次函数图象过点A（6，0）（63）2a+30，解得

18、：a二次函数的关系式为y（x3）2+3x2+2x（2）设B（b，b2+2b）（b3）直线OB解析式为：y（b+2）xOB交对称轴l于点M当xM3时，yM（b+2）3b+6，M（3，b+6）点M、N关于点P对称，NPMP3（b+6）b3，yN3+b3b，即N（3，b）OPMN，OPMPb3，解得：b3+3b2+2b（3+3）2+2（3+3）3B（3+3，3），N（3，3+3）OB2（3+3）2+（3）236+18，ON232+（3+3）236+18，BN2（3+33）2+（333）272+36OBON，OB2+ON2BN2NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，3）证明：如图，设直线BN与x轴交于点D，B（b，b2+2b）、N（3，b）设直线BN解析式为ykx+d 解得：直线BN：ybx+2b当y0时，bx+2b0，解得：x6，D（6，0）C（3，0），NCx轴，NC垂直平分ODNDNOBNMONM