2023届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考（二模）丨数学答案.pdf

1、2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 1 页(共 10 页)2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数 学一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.C 2.B 3.A 4.C 5.C6.A【详解】由asinPF1F2=csinPF2F1,得 ca=sinPF2F1sinPF1F2=|PF1|PF2|=|PF1|2a-|PF1|得|PF1|=2aca+c,又|PF1|a-c,a+c a2-c22ac(a+c)2 即 e2+2e-10,又 e(0,1),e 2-1,1).故选:A.

2、7.D【详解】选项 A:当点 E 固定在线段 CD 的某位置时,线段 AE 的长度为定值,ADDE,过D作 DHAE 于点 H,故 D的轨迹是以 H 为圆心,DH 为半径的圆,故 A 错;选项 B:无论 E 在 CD(端点除外)的哪个位置,AB 均不与 AE 垂直,故 AB 不与平面 ADE垂直,故 B 错;选项 C:设 A 到平面 BCF 的距离为 d,由已知 BF=2 3,BC平面 ABF,得 d=3 32 3=32,故C 错;选项 D:以 AB,AD,AF 为 x,y,z 的正方向建立空间直角坐标系 F(0,0,3),B(3,0,0),C(3,1,0).设 E(3,1,0),(0,1),

3、BC=(0,1,0),EF=(-3,-1,3),设 EF 与 BC 所成的角为,则 cos=132+101313,1010().故选:D.8.B【详解】x2e+1,tetx-1-1x()ln(x-1)0 恒成立,即 txetx(x-1)ln(x-1)=eln(x-1)ln(x-1)恒成立.令 f(x)=xex(x1),则 f(x)=(x+1)ex0 恒成立,故 f(x)单调递增,所以 txln(x-1)在 x2e+1 时恒成立,tln(x-1)x(x2e+1)恒成立.令 g(x)=ln(x-1)x(x2e+1),2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 2 页(共 10

4、 页)g(x)=xx-1-ln(x-1)x2=x-(x-1)ln(x-1)x2(x-1).令 h(x)=x-(x-1)ln(x-1)(x2e+1),则 h(x)=-ln(x-1)0 h(x)单调递减.h(x)h(2e+1)=2e+1-(2e+1-1)ln(2e+1-1)=1-2eln2=1-eln40 即 g(x)OA,此时,点 Q 的轨迹是以点 A,O 为焦点,且长轴长为 R 的椭圆,故 C 正确;当点 A 在圆 O 外:连接 AQ,由中垂线的性质可得 QA=QP,所以,QA-QO=QP-QO=OP=R0,则函数 h x()在(-1,+)上单调递增,h x()h 0()=10,因此 g(x)

5、0 对任意的 x0,+)(恒成立,所以 g x()在 0,+)(上单调递增,故 A 正确;又 h-12()=-ln2+4-40,所以 h-12()h 0()0,则存在 -12,0(),使得 h()=0.2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 3 页(共 10 页)在 x-1,()时,h x()0;所以函数 f(x)在-1,()单调递减,在,+()单调递增,故 f(x)有唯一极小值,故 B 正确;令 m(x)=f(x)-x=exln(x+1)-x,-1x0,m(x)=exln(1+x)+11+x-1=f(x)-1,所以函数 m(x)在-1,()单调递减,在,+()单调递

6、增,且 m(0)=0,则有 m()ee-2-1e-1=ee-2-10,因此存在 x0(e-2-1,),使得 m(x0)=0,当-1x0,当 x0 x0 时,m(x)m(0)=0.又 m(e-3-1)=-3ee-3-1-e-3+1-3e-1-e-3+10,从而存在唯一 t(e-3-1,x0),使得 m(t)=0.显然当 tx0,当-1xt 时,m(x)v(1)=0,有 ln 12 12(12-2)=-34,1eln 12-34 e,则 m(-12)=1eln 12+12 12-34 e=2 e-34 e0,即 t-12 0,x20,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=ex1+x2ln(1+

7、x1+x2)-ex1ln(1+x1)-ex2ln(1+x2),设(x)=f(x+x2)-f(x)-f(x2)=ex+x2ln(1+x+x2)-exln(1+x)-ex2ln(1+x2),x0,则 x()=ex+x2ln(1+x+x2)+11+x+x2-exln(1+x)+11+x=g(x+x2)-g(x)由选项 A 知,g x()在(0,+)上单调递增,而 x+x2x0,则 g(x+x2)g(x),即有(x)=g(x+x2)-g(x)0,因此函数(x)在(0,+)上单调递增,(x1)(0)=f(x2)-f(0)-f(x2)=-f(0)=0,即有 f x1+x2()f x1()+f x2(),所

8、以对任意的 x1,x2(0,+),总满足 f x1+x2()f x1()+f x2(),故 D 正确.故选:ABD三、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.8 14.3615.3+ln22,0()2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 4 页(共 10 页)【详解】设直线 l 与曲线 y=ln(x-2)+2 和 y=ln(x-1)相切于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别求导得:y=1x-2,y=1x-1,故 l:y-ln(x1-2)+2=1x1-2(x-x1)y=1x1-2x+ln(x1-2)+2-x1x1-2.同理得:l:y-ln

9、(x2-1)=1x2-1(x-x2)y=1x2-1x+ln(x2-1)-x2x2-1.故1x1-2=1x2-1,ln(x1-2)+2-x1x1-2=ln(x2-1)-x2x2-1,解得x2=32,x1=52.直线 l 的方程为 y=2x-3-ln2.令 y=0,则 x=3+ln22.则直线 l 与 x 轴的交点坐标为 3+ln22,0().16.(n2+n)2n-1(2 分)(n2-n+2)2n(3 分)【详解】因为 nan+1=2(n+2)an,且 a1=20,所以an+1an=2(n+2)n,则当 n2 时,an=a1a2a1a3a2anan-1=2231 242 2(n+1)(n-1)=

10、n(n+1)2n-1=(n2+n)2n-1.又当 n=1 时,a1=2 符合上式,故 an=(n2+n)2n-1.由 Sn=a1+a2+an=(12)20+(23)21+n(n+1)2n-1 2Sn=1221+(n-1)n2n-1+n(n+1)2n-得-Sn=2-n(n+1)2n+421+622+2n2n-1=-n(n+1)2n+(121+222+323+n2n).2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 5 页(共 10 页)令 Tn=121+222+323+n2n,2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-得-Tn=21-n2n+1+(22+23+2n)

11、=-n2n+1+2(1-2n)1-2=(-n+1)2n+1-2,Tn=(n-1)2n+1+2.故-Sn=-n(n+1)2n+(n-1)2n+1+2,则 Sn=(n2-n+2)2n-2,即 Sn+2=(n2-n+2)2n.四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.【详解】(1)由 Sn+1=Sn+4an-3,得 Sn+1-Sn=4an-3.an+1=4an-3,则 an+1-1=4(an-1).(2 分)a1-1=2-1=1,数列an-1是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,an-1=4n-1=22n-2(nN).(4 分)bn=log2(an

12、-1)+3,bn=log222n-2+3=2n+1(nN).(5 分)(2)cn=(-1)n+1bn+1bnbn+1 cn=(-1)n+12n+2(2n+1)(2n+3)=(-1)n+1 1212n+1+12n+3()(6 分)Tn=c1+c2+c3+cn=1213+15()-15+17()+17+19()-+(-1)n+112n+1+12n+3()(7 分)当 n 为奇数时,Tn=1213+12n+3()16 221.(8 分)当 n 为偶数时,Tn=1213-12n+3()Tn是递增数列,TnT2=1213-17()=221.综上得:Tn 221.(10 分)18.【详解】(1)由题意可知

13、APC=45,CBP=60,BAC=45-15=30(1 分)AC=PCtanAPC=100 3 m,BC=PCtanCBP=100 m.(2 分)由正弦定理ACsinABC=BCsinBAC,可得 sinABC=32.(3 分)2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 6 页(共 10 页)因此ABC=60或 120当ABC=60时,ACB=90,猎豹与羚羊之间的距离为 AB=AC2+BC2=200 m(5 分)当ABC=120,ACB=30=BAC,猎豹与羚羊之间的距离为 AB=BC=100 m(6 分)(2)设捕猎成功所需的最短时间为 t,在ABQ 中,BQ=20

14、t,AQ=25t,AB=200,ABQ=120.由余弦定理得:625t2=400t2+2002-220t200-12().(8 分)整理得:5t2-32t-320=0.方法 1:设 f(t)=5t2-32t-320,显然 f 165()0.(10 分)存在 t0 165,24(),使 f(t0)=0.(11 分)t024,猎豹能捕猎成功.(12 分)方法 2:由方程 5t2-32t-320=0 得 t=16+8295(舍负).(10 分)又 16+829 16+86=64120,t24,猎豹能捕猎成功.(12 分)19.解:(1)如图所示,取 AO 的中点 H,连结 HD,HP,在等腰梯形 A

15、BCD 中,ABCD,AB=4,CD=2,DAO=60.O 为 AB 的中点,ODBC,DOA=CBO=DAO=60.OAD 为正三角形,AD=2,HDAO.(2 分)在AOP 中,OA=OP=2,AOP=60,AOP 为边长为 2 的正三角形,AP=2,PHAO.(3 分)AP=AD,又 F 为 FD 的中点,AFPD.HDAO,PHAO,HDPH=H,AO平面 PHD,即 AB平面 PHD.(4 分)PD平面 PHD,ABPD.又 AFAB=A,PD平面 AFGB.(5 分)PD平面 PCD,平面 PCD平面 AFGB.(6 分)(2)PHAB,平面 PAB平面 ABCD,平面 PAB平面

16、 ABCD=AB,PH平面 PAB,PH平面 ABCD,由(1)知,PH,HD,AB 两两垂直,(7 分)以 H 为坐标原点,HD,HB,HP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则 H(0,0,0),P(0,0,3),D(3,0,0),E32,52,0(),2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 7 页(共 10 页)于是 HP=(0,0,3),PD=(3,0,-3),DE=-32,52,0().(9 分)设平面 PDE 的法向量为 n=(x,y,z),则nPD=0,nDE=0,即3 x-3 z=0,-32 x+52 y=0,取 x=5

17、,则 n=(5,3,5)(10 分)设平面 PDE 与平面 ABCD 所成锐二面角为,HP 为平面 ABCD 的一个法向量,cos=|cosn,HP|=|nHP|n|HP|=5 353 3=553.sin=1-cos2=2 753,tan=sin cos =2 75.平面 PDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值为2 75.(12 分)20.【详解】(1)由题可知P(每次扑出点球)=13 15+13 15+13 35=13.(1 分)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.(2 分)P(X=0)=C04(13)0(23)4=1681.P(X=1)=C14(13)(23)3=3281.P

18、(X=2)=C24(13)2(23)2=2481.P(X=3)=C34(13)3(23)=881.P(X=4)=C44(13)4=181.(4 分)X 的分布列X01234P168132812481881181(5 分)E(X)=01681+13281+22481+3 881+4 181=43.(6 分)(由题意得 XB 4,13().得 X 的分布列为 P(X=k)=Ck413()k23()4-k,k=0,1,2,3,4.分布列写成 P(X=k)=Ck4(13)k(23)4-k,k=0,1,2,3,4.E(X)=4 13=43 也给 4 分)2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分

19、标准(数学)第 8 页(共 10 页)(2)若甲队恰在第 4 轮取得胜利,则前 3 轮结束时比分可能为 1 0,2 0,2 1,3 1,3 2.分别记前 3 轮比分为 1 0,2 0,2 1,3 1,3 2且甲队恰在第 4 轮取得胜利,事件分别为 A,B,C,D,E.(7 分)P(A)=C13 34()14()2 13()3 34 13=1768.P(B)=C23 34()2 14 13()3 34+14 13()=10768.P(C)=C23 34()2 14 C13 23 13()2 34 13=6256=18768.P(D)=34()3C13 23 13()2 34+14 13()=20

20、256=60768.P(E)=34()3C23 23()2 13 34 13=12256=36768.(10 分)(对 1 个不给分,对 2-3 个给 1 分,全对给 3 分)故 P(甲队恰在第 4 轮取得胜利)=1768+10768+18768+60768+36768=125768.(11 分)甲队恰在第 4 轮取得胜利的概率为125768.(12 分)21.解:(1)双曲线 C 的左焦点 F(-c,0)到双曲线 C 的一条渐近线 bx+ay=0 的距离为d=|bc|a2+b2=b,而 d=2,b=2.(1 分)双曲线 C 的方程为x2a2-y24=1(0a0,则 xAxB=a2(a2+36

21、)a2-36.xA=a,xB=a(a2+36)a2-36.(3 分)|AB|=1+13()2|xA-xB|=103|xA-xB|=8103,|xA-xB|=8.即 a-a(a2+36)a2-36=8,解得 a=3 或 a=12(舍去),2023 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 9 页(共 10 页)双曲线 C 的方程为x29-y24=1.(5 分)(2)依题意直线 l2 的斜率不等于 0,设直线 l2 的方程为 x=my+6.由x=my+6,x29-y24=1,消去 x 整理得:(4m2-9)y2+48my+108=0,(6 分)4m2-90,0.设 P(x1,y1),

22、Q(x2,y2),则 y1+y2=-48m4m2-9,y1y2=1084m2-9.(7 分)直线 AP 的方程为 y=y1x1-3(x-3),令 x=6 得:y=3y1x1-3,M 6,3y1x1-3().同理可得 N 6,3y2x2-3().(8 分)由对称性可知,若以线段 MN 为直径的圆过定点,则该定点一定在 x 轴上,(9 分)设该定点为 R(t,0),则 RM=6-t,3y1x1-3(),RN=6-t,3y2x2-3(),故 RMRN=(6-t)2+9y1y2(x1-3)(x2-3)=(6-t)2+9y1y2(my1+3)(my2+3)=(6-t)2+9y1y2m2y1y2+3m(y

23、1+y2)+9=(6-t)2+9 1084m2-9m2 1084m2-9-3m48m4m2-9+9=(6-t)2-12=0,解得 t=6-2 3 或 t=6+2 3.故以线段 MN 为直径的圆过定点(6-2 3,0)和(6+2 3,0).(12 分)22.解:g x()=1+sinx,对任意的 x-2,0,tf x()-g x()0 恒成立,即 texcosx1+sinx 对任意的 x-2,0 恒成立.(1 分)当 x=-2 时,则有 00 对任意的 tR 恒成立;(2 分)当-2 0,则 t1+sinxexcosx,令 h x()=1+sinxexcosx,其中-2 cosx0,所以,x()0,2n+2()=-20,所以,存在唯一的 x0 2n+3,2n+2()nN(),使得 x0()=0.(9 分)所以,xn 2n+3,2n+2()nN(),则 xn+1-2 2n+3,2n+2()nN(),所以,xn+1-2()=exn+1-2cos xn+1-2()-sin xn+1-2()-1=exn+1-2cosxn+1-sinxn+1-1=exn+1-2cosxn+1-exn+1cosxn+1=exn+1-2-exn+1()cosxn+1xn,即 xn+1-xn2.(12 分)