2024中考数学第一轮复习：函数与几何综合问题（共25题）（解析版）.pdf

1、1专题 32 函数与几何综合问题(25 题)一、填空题1(2023四川眉山统考中考真题)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为-8，6，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点 C、点 A，直线 y=-2x-6 与 AB 交于点 D与 y 轴交于点 E动点M 在线段 BC 上，动点 N 在直线 y=-2x-6 上，若 AMN 是以点 N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为 【答案】M-8,6或 M-8,23【分析】如图，由 AMN 是以点 N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得 N 在以 AM 为直径的圆 H 上，MN=AN，可得 N 是圆 H 与直线 y=-

2、2x-6 的交点，当 M,B 重合时，符合题意，可得 M-8,6，当 N 在 AM 的上方时，如图，过 N 作 NJ y 轴于 J，延长 MB 交 BJ 于 K，则 NJA=MKN=90，JK=AB=8，证明MNK NAJ，设 N x,-2x-6，可得 MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而 KJ=AB=8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案【详解】解：如图，AMN 是以点 N 为直角顶点的等腰直角三角形，N 在以 AM 为直径的圆 H 上，MN=AN，N 是圆 H 与直线 y=-2x-6 的交点，当 M,B 重合时，B-8,6，则 H-4,3，MH=AH=NH=

3、4，符合题意，M-8,6，当 N 在 AM 的上方时，如图，过 N 作 NJ y 轴于 J，延长 MB 交 BJ 于K，则 NJA=MKN=90，JK=AB=8，NAJ+ANJ=90，AN=MN，ANM=90，MNK+ANJ=90，MNK=NAJ，MNK NAJ，设 N x,-2x-6，MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而 KJ=AB=8，-2x-12-x=8，2解得：x=-203，则-2x-6=223，CM=CK-MK=223-203=23，M-8,23；综上：M-8,6或 M-8,23故答案为：M-8,6或 M-8,23【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性

4、质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键2(2023四川自贡统考中考真题)如图，直线 y=-13 x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 D 是线段 AB 上一动点，点 H 是直线 y=-43 x+2 上的一动点，动点 E m，0，F m+3，0，连接 BE，DF，HD当 BE+DF 取最小值时，3BH+5DH 的最小值是 【答案】392【分析】作出点 C 3，-2，作 CD AB 于点 D，交 x 轴于点 F，此时 BE+DF 的最小值为 CD 的长，利用解直角三角形求得 F 1

5、13，0，利用待定系数法求得直线 CD 的解析式，联立即可求得点 D 的坐标，过点 D 作DG y 轴于点 G，此时 3BH+5DH 的最小值是 5DG 的长，据此求解即可【详解】解：直线 y=-13 x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，B 0，2，A 6，0，作点 B 关于 x 轴的对称点 B 0，-2，把点 B 向右平移 3 个单位得到 C 3，-2，作 CD AB 于点 D，交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE CD 交 x 轴于点 E，则四边形 EFCB 是平行四边形，此时，BE=BE=CF，BE+DF=CF+DF=CD 有最小值，作 CP x 轴于点 P，则 CP=2

6、，OP=3，CFP=AFD，FCP=FAD，tanFCP=tanFAD，PFPC=OBOA，即 PF2=26，PF=23，则 F 113，0，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则3k+b=-2113 k+b=0，解得 k=3b=-11，3 直线 CD 的解析式为 y=3x-11，联立，y=3x-11y=-13 x+2，解得x=3910y=710，即 D 3910，710；过点 D 作 DG y 轴于点 G，直线 y=-43 x+2 与 x 轴的交点为 Q 32，0，则 BQ=OQ2+OB2=52，sinOBQ=OQBQ=3252=35，HG=BHsinGBH=35 BH，3BH+5DH=

7、5 35 BH+DH=5 HG+DH=5DG，即 3BH+5DH 的最小值是 5DG=5 3910=392，故答案为：392【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题3(2023江苏无锡统考中考真题)二次函数 y=a(x-1)(x-5)a 12的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，过点 M 3，1的直线将 ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则 a的值为【答案】910 或 2+25或2+12【分析】先求得 A 1,0，B 5,0，C 0,5a，直线 BM 解析式为 y=-12 x+52，直线 A

8、M 的解析式为 y=12 x-12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则如图 1，直线 AM 过BC 中点，如图 2，直线 BM 过 AC 中点，直线 BM 解析式为 y=-12 x+52，AC 中点坐标为12,52 a，待入直线求得 a=910；如图 3，直线 CM 过 AB 中点，AB 中点坐标为 3,0，直线 MB 与 y 轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点 M 的直线必与 ABC 一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，所以相似比为 1:2如图 4，直线 EM AB，根据相似三角形的性质，即可求解；如图 5，直线 ME AC，如图

9、 6，直线 ME BC，同理可得 AEAB=12，进而根据 tanMEN=tanCBO，即可求解【详解】解：由 y=a(x-1)(x-5)，令 x=0，解得：y=5a，令 y=0，解得：x1=1,x2=5，A 1,0，B 5,0，C 0,5a，设直线 BM 解析式为 y=kx+b，5k+b=03k+b=1解得：k=-12b=52 直线 BM 解析式为 y=-12 x+52，当 x=0 时，y=52，则直线 BM 与 y 轴交于 0,52，4 a 12，5a 52，点 M 必在 ABC 内部1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线 AM 的解析式为 y=mx+n

10、 k+b=03k+b=1解得：m=12n=-12则直线 AM 的解析式为 y=12 x-12如图 1，直线 AM 过 BC 中点，BC 中点坐标为52,52 a，代入直线求得 a=310 12，不成立；如图 2，直线 BM 过 AC 中点，直线 BM 解析式为 y=-12 x+52，AC 中点坐标为12,52 a，待入直线求得 a=910；如图 3，直线 CM 过 AB 中点，AB 中点坐标为 3,0，直线 MB 与 y 轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点 M 的直线必与 ABC 一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，所以相似比为 1:2如图 4，直线 EM AB，CE

11、N COA CECO=CNCA=12，5a-15a=12，解得 a=2+25；5 如图 5，直线 ME AC，MN CO，则 EMN ACO BEAB=12，又 AB=4，BE=2 2，BN=5-3=2 OC)请解答下列问题：(1)求点 B 的坐标；(2)若 OD:OC=2:1，直线 y=-x+b 分别交 x 轴、y 轴、AD 于点 E，F，M，且 M 是 AD 的中点，直线 EF 交DC 延长线于点 N，求 tanMND 的值；(3)在(2)的条件下，点 P 在 y 轴上，在直线 EF 上是否存在点 Q，使 NPQ 是腰长为 5 的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点

12、Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)B-4,06(2)tanMND=13(3)存在，等腰三角形的个数是 8 个，Q1 6-5 22,5 2-42，Q2 6+5 22,-5 2+42，Q3 4,-3，Q4-4,3【分析】(1)解方程得到 OB，OC 的长，从而得到点 B 的坐标；(2)由 OD:OC=2:1，OC=2，得 OD=4由 AD=BC=6，M 是 AD 中点，得到点 M 的坐标，代入直线 y=-x+b 中，求得 b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点 E，点 F 的坐标，由坐标特点可得 FEO=45过点 C 作 CH EN 于 H，过点 N 作 NK BC 于 K从而 D

13、OC NKC，DO:OC=NK:CK=2:1，进而得到 NK=2CK，易证 KEN=KNE=45，可得 EK=NK=2CK，因此 EC=CK，由 EC=OC-OE=2-1=1 可得 CK=1，NK=2，EK=2，从而通过解直角三角形在 RtENK 中，得到 EN=EKcosKEN=2 2，在 RtECH 中，CH=EH=EC cosCEH=22，因此求得 NH=EN-EH=3 22，最终可得结果 tanMND=CHNH=13；(3)分 PN=PQ，PN=NQ，PQ=NQ 三大类求解，共有 8 种情况【详解】(1)解方程 x2-6x+8=0，得 x1=4，x2=2 OB OC，OB=4，OC=2

14、 B-4,0；(2)OD:OC=2:1，OC=2 OD=4 四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，AD=BC=6 M 是 AD 中点，MD=3 M-3,4将 M-3,4代入 y=-x+b，得 3+b=4 b=1 E 1,0，F 0,1 FEO=45过点 C 作 CH EN 于 H，过点 N 作 NK BC 于 K DOC NKC，DO:OC=NK:CK=2:1 NK=2CK KEN=FEO=45 KNE=90-KEN=45 KEN=KNE EK=NK=2CK EC=CK EC=OC-OE=2-1=1 CK=1，NK=2，EK=2 在 RtENK 中，EN=EKcosKEN=2cos45=

15、2 2在 RtECH 中，CH=EH=EC cosCEH=1 cos45=227 NH=EN-EH=2 2-22=3 22 tanMND=CHNH=223 22=13(3)解：由(2)知：直线 EF 解析式为 y=-x+1，N 3,-2，设 P 0,p，Q q,-q+1，当 PN=QN=5 时，3-02+-2-p2=52，3-q2+-2+q-12=52，解得 p=-6 或 p=2，q=6+5 22或 q=6-5 22，Q1 6-5 22,5 2-42，Q2 6+5 22,-5 2+42，P1 0,-6，P2 0,2，如图，P1Q1N、P1Q2N、P2Q1N、P2Q2N 都是以 5 为腰的等腰三

16、角形，；当 PQ=QN=5 时，由知：Q1 6-5 22,5 2-42，Q2 6+5 22,-5 2+42，6+5 22 5，PQ2不可能等于 5，如图，P3Q1N，P4Q1N 都是以 5 为腰的等腰三角形，8；当 PN=PQ=5 时，由知：P1 0,-6，P2 0,2，当 P1 0,-6时，0-q2+-6+q-12=5，解得 q1=3(舍去)，q2=4，Q3 4,-3，如图，当 P2 0,2时，0-q2+2+q-12=5，解得 q1=3(舍去)，q2=-4，Q4-4,3，如图，综上，等腰三角形的个数是 8 个，符合题意的 Q 坐标为 Q1 6-5 22,5 2-42，Q2 6+5 22,-5

17、 2+42，Q3 4,-3，Q4-4,39【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键5(2023湖南统考中考真题)如图，点 A，B，C 在 O 上运动，满足 AB2=BC2+AC2，延长 AC 至点D，使得 DBC=CAB，点 E 是弦 AC 上一动点(不与点 A，C 重合)，过点 E 作弦 AB 的垂线，交 AB 于点F，交 BC 的延长线于点 N，交 O 于点 M(点 M 在劣弧 AC上)(1)BD 是 O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记 BDC，ABC，ADB 的面积分别为 S1，S2，S，若 S1 S=S2

18、2，求 tanD2的值；(3)若 O 的半径为 1，设 FM=x，FE FN 1BC BN+1AE AC=y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围【答案】(1)BD 是 O 的切线，证明见解析(2)1+52(3)y=x 0 0，m=1+52 tanD2=1+52(3)设 A=，A+ABC=ABC+DBC=ABC+N=90，A=DBC=N=如图，连接 OM 在 RtOFM 中，OF=OM 2-FM 2=1-x2 BF=BO+OF=1+1-x2，AF=OA-OF=1-1-x2 在 RtAFE 中，EF=AF tan=1-1-x2 tan，AE=AFcos=1-1-x2co

19、s在 RtABC 中，BC=AB sin=2sin(r=1，AB=2)AC=AB cos=2cos在 RtBFN 中，BN=BFsin=1+1-x2sin，FN=BFtan=1+1-x2tan y=FE FN 1BC BN+1AE AC=x212+2 1-x2+12-2 1-x2=x22-2 1-x2+2+2 1-x24-4 1-x2=x21x211=x2 1x=x即 y=x FM AB，FM 最大值为 F 与 O 重合时，即为 1 0 x 1综上，y=x 0 2【分析】(1)根据题意得到 a2=c2，a1=c2，b1=-b2 0 即可解答；(2)求出 y1的对称轴，得到 s=-3r，表示出

20、y2的解析式即可求解；y2=-3rx2-2rx+1=-3x2+2xr+1，令 3x2+2x=0 求解即可；(3)由题意可知 y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a 得到 A、B 的坐标，表示出 CD，EF，根据 CD=EF 且 b2-4ac 0，得到 a=c，分 a=-c 和 a=c 两种情况求解即可【详解】(1)解：由题意可知：a2=c2，a1=c2，b1=-b2 0，m=3，n=2，k=-1答：k 的值为-1，m 的值为 3，n 的值为 2(2)解：点 P r，t与点 Q s，tr s始终在关于 x 的函数 y1=x2+2rx+s 的图像上运动，对称轴为 x=r+s2=-2r2，s

21、=-3r，y2=sx2-2rx+1，对称轴为 x=-2r2s=rs=-13 答：函数 y2的图像的对称轴为 x=-13 y2=-3rx2-2rx+1=-3x2+2xr+1，令 3x2+2x=0，解得 x1=0,x2=-23，12 过定点 0，1，-23,1答：函数 y2的图像过定点 0，1，-23,1(3)解：由题意可知 y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a，A-b2a,4ac-b24a,Bb2c,4ac-b24c，CD=b2-4aca，EF=b2-4acc，CD=EF 且 b2-4ac 0，a=c；若 a=-c，则 y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a，要使以 A，B，

22、C，D 为顶点的四边形能构成正方形，则 CAD，CBD 为等腰直角三角形，CD=2 yA，b2+4a2|a|=2 -4a2-b24a，2 b2+4a2=b2+4a2，b2+4a2=4，S正=12 CD2=12 b2-4aca2=12 b2+4a2a2=2a2，b2=4-4a2 0，0 a2 2；若 a=c，则 A、B 关于 y 轴对称，以 A，B，C，D 为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以 A，B，C，D 为顶点的四边形能构成正方形，此时 S 2【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题7(2023江苏无锡统考中考真题)如图，四边

23、形 ABCD 是边长为 4 的菱形，A=60，点 Q 为 CD 的中点，P 为线段 AB 上的动点，现将四边形 PBCQ 沿 PQ 翻折得到四边形 PBCQ (1)当 QPB=45 时，求四边形 BBCC 的面积；(2)当点 P 在线段 AB 上移动时，设 BP=x，四边形 BBCC 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数表达式【答案】(1)4 3+8(2)S=32 3xx2+12+4 3【分析】(1)连接 BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得 BDC 为等边三角形，根据 QPB=45，可得 PBQ 为等腰直角三角形，则 PB=2 3，PQ=2 6，根据翻折的性质，可得 BPB=90，P

24、B=PB，则 BB=2 6，PE=6；同理 CQ=2，CC=2 2，QF=2；进而根据 S四边形 BBCC=2S梯形 PBCQ-SPBB13+SCQC，即可求解；(2)等积法求得 BE=2 3xx2+12，则 QE=12x2+12，根据三角形的面积公式可得 SQEB=12 3xx2+12，证明BEQ QFC，根据相似三角形的性质，得出 SQFC=4 3xx2+12，根据 S=2 SQEB+SBQC+SQFC即可求解【详解】(1)如图，连接 BD、BQ，四边形 ABCD 为菱形，CB=CD=4，A=C=60，BDC 为等边三角形 Q 为 CD 中点，CQ=2，BQ CD，BQ=2 3，QB PB

25、 QPB=45，PBQ 为等腰直角三角形，PB=2 3，PQ=2 6，翻折，BPB=90，PB=PB，BB=2 6，PE=6；.同理 CQ=2，CC=2 2，QF=2，S四边形 BBCC=2S梯形 PBCQ-SPBB+SCQC=2 12 2+2 3 2 3-12 2 32+12 22=4 3+8；(2)如图 2，连接 BQ、BQ，延长 PQ 交 CC 于点 F PB=x，BQ=2 3，PBQ=90，PQ=x2+12 SPBQ=12 PQ BE=12 PB BQ BE=BQ PBPQ=2 3xx2+12，QE=12x2+12，SQEB=12 2 3xx2+1212x2+12=12 3xx2+12

26、 BEQ=BQC=QFC=90，则 EQB=90-CQF=FCQ，BEQ QFC，SQFCSBEQ=CQQB2=22 32=13，SQFC=4 3xx2+12 SBQC=12 2 2 3=2 3，S=2 SQEB+SBQC+SQFC=2 12 3xx2+12+2 3+4 3xx2+12=32 3xx2+12+4 3【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性14质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键8(2023江苏徐州统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数 y=-3x2+2 3x 的图象与 x轴分别交于点 O,A，顶点为 B连接

27、OB,AB，将线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 60 得到线段 AC，连接 BC点 D,E 分别在线段 OB,BC 上，连接 AD,DE,EA,DE 与 AB 交于点 F,DEA=60 (1)求点 A,B 的坐标；(2)随着点 E 在线段 BC 上运动 EDA 的大小是否发生变化？请说明理由；线段 BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段 DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，BDE 的面积为【答案】(1)A 2，0，B 1，3；(2)EDA 的大小不变，理由见解析；线段 BF 的长度存在最大值为 12；(3)2 39【分析】(1)y=0

28、得-3x2+2 3x=0，解方程即可求得 A 的坐标，把 y=-3x2+2 3x 化为顶点式即可求得点 B 的坐标；(2)在 AB 上取点 M，使得 BM=BE，连接 EM，证明 AED 是等边三角形即可得出结论；由 BM=AB-AF=2-AF，得当 AF 最小时，BF 的长最大，即当 DE AB 时，BF 的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设 DE 的中点为点 M，连接 AM，过点 D 作 DH BN 于点 H，证四边形 OACB 是菱形，得 BC OA，进而证明 MBE MHD 得 DH=BE，再证 BME NAM，得 ANBM=MNBE=AMME 即1BM=MNBE=3，结合三角

29、形的面积公式即可求解【详解】(1)解：y=-3x2+2 3x=-3 x-12+3，顶点为 B 1，3，令 y=0，-3x2+2 3x=0，解得 x=0 或 x=2，A 2，0；(2)解：EDA 的大小不变，理由如下：在 AB 上取点 M，使得 BM=BE，连接 EM，y=-3 x-12+3，抛物线对称轴为 x=1，即 ON=1，将线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 60 得到线段 AC，BAC=60，AB=AC，15 BAC 是等边三角形，AB=AC=BC，C=60，A 2，0，B 1，3，O 0，0，ON=1，OA=2，OB=12+32=2，AB=2-12+32=2，OA=OB=AB，O

30、AB 是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2，OAB=OBA=AOB=60，MBE=60，BM=BE，BME 是等边三角形，BME=60=ABE，ME=BE=BM，AME=180-BME=120，BD EM，DBE=ABO+ABC=120，DBE=AME，BD EM，FEM+BED=180-120=60=AEF=MEA+FEM，BED=MEA，BED MEA，DE=EA，又 AED=60，AED 是等边三角形，ADE=60，即 ADE 的大小不变；，BF=AB-AF=2-AF，当 AF 最小时，BF 的长最大，即当 DE AB 时，BF 的长最大，DAE 是等边三角形，DAF=12 DAE=

31、30,OAD=60-DAF=30，AD OB，AD=OA cosOAD=2 cos30=3，AF=AD cosDAF=2 cos30=32，BF=AB-AF=2-32=12，即线段 BF 的长度存在最大值为 12；(3)解：设 DE 的中点为点 M，连接 AM，过点 D 作 DH BN 于点 H，OA=OB=AC=BC=2，四边形 OACB 是菱形，BC OA，DH BN，AN BN，DH BC OA，MBE=MHD，MEB=MDH，DE 的中点为点 M，MD=ME，MBE MHD，16 DH=BE，ANM=90，MBE=180-90=90=ANM，NMA+NAM=90，DE 的中点为点 M，

32、DAE 是等边三角形，AM DE，AME=90，BME+NMA=180，BME=NAM，BME NAM，ANBM=MNBE=AMME 即1BM=MNBE=3，BM=33，MN=BN-BM=2 33，DH=BE=MN3=23，SBDE=SBDM+SBEM=12 33 23+12 33 23=2 39，故答案为 2 39【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键9(2023内蒙古统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+3x+1

33、交 y 轴于点 A，直线 y=-13 x+2 交抛物线于 B,C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，交 y 轴于点 D，交 x 轴于点 E (1)求点 D,E,C 的坐标；(2)F 是线段 OE 上一点 OF EF，连接 AF,DF,CF，且 AF 2+EF 2=21求证：DFC 是直角三角形；DFC 的平分线 FK 交线段 DC 于点 K,P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，当 3tanPFK=1 时，求点P 的坐标【答案】(1)C(3,1)，D(0,2)，E(6,0)(2)证明见解析，点 P 的坐标为(1,3)或(7,3 7-6)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函

34、数的交点求解即可；(2)设 F(m,0),然后利用勾股定理求解，m=2，过点 C 作 CG x 轴，垂足为 G再由等腰三角形及各角17之间的关系即可证明；根据题意得出 tanPFK=13，设点 P 的坐标为 t,-t2+3t+1，根据题意得 13 t 3分两种情况分析：(i)当点 P 在直线 KF 的左侧抛物线上时，tanP1FK=13,13 t 2(ii)当点P 在直线 KF 的右侧抛物线上时，tanP2FK=13,2 t 3求解即可【详解】(1)解：直线 y=-13 x+2 交 y 轴于点 D，交 x 轴于点 E，当 x=0 时，y=2,D 0,2，当 y=0 时，x=6,E 6,0 直线

35、 y=-13 x+2 交抛物线于 B,C 两点，-x2+3x+1=-13 x+2，3x2-10 x+3=0，解得 x1=13,x2=3 点 B 在点 C 的左侧，点 C 的横坐标为 3，当 x=3 时，y=1 C(3,1)；(2)如图，抛物线 y=-x2+3x+1 交 y 轴于点 A，当 x=0 时，y=1,A(0,1),OA=1,在 RtAOF 中，AOF=90，由勾股定理得 AF 2=OA2+OF 2，设 F(m,0),OF=m,AF 2=1+m2，E(6,0),OE=6,EF=OE-OF=6-m，AF 2+EF 2=21,1+m2+(6-m)2=21,m1=2,m2=4，OF EF,m=

36、2,OF=2，F(2,0)D(0,2),OD=2，OD=OF DOF 是等腰直角三角形，18 OFD=45过点 C 作 CG x 轴，垂足为 G C(3,1),CG=1,OG=3，GF=OG-OF=1,CG=GF,CGF 是等腰直角三角形，GFC=45,DFC=90,DFC 是直角三角形 FK 平分 DFC,DFC=90,DFK=CFK=45 OFK=OFD+DFK=90,FK y 轴 3tanPFK=1，tanPFK=13 设点 P 的坐标为 t,-t2+3t+1，根据题意得 13 t 3(i)当点 P 在直线 KF 的左侧抛物线上时，tanP1FK=13,13 t 2过点 P1作 P1H

37、x 轴，垂足为 H P1H KF,HP1F=P1FK，tanHP1F=13 HF=OF-OH,HF=2-t，在 RtP1HF 中，tanHP1F=HFP1H=13,P1H=3HF，P1H=-t2+3t+1，-t2+3t+1=3(2-t),t2-6t+5=0,t1=1,t2=5(舍去)当 t=1 时，-t2+3t+1=3,P1(1,3)(ii)当点 P 在直线 KF 的右侧抛物线上时，tanP2FK=13,2 t 3过点 P2作 P2M x 轴，垂足为 M P2M KF,MP2F=P2FK，tanMP2F=13,MF=OM-OF,MF=t-219在 RtP2MF 中，tanMP2F=MFP2M=

38、13,P2M=3MF，P2M=-t2+3t+1，-t2+3t+1=3(t-2),t2=7,t3=7,t4=-7(舍去)当 t=7 时，-t2+3t+1=3 7-6,P2(7,3 7-6)点 P 的坐标为(1,3)或(7,3 7-6)【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键10(2023吉林统考中考真题)如图，在正方形 ABCD 中，AB=4cm，点 O 是对角线 AC 的中点，动点P，Q 分别从点 A，B 同时出发，点 P 以 1cm/s 的速度沿边 AB 向终点 B 匀速运动，点 Q 以 2cm/s 的速

39、度沿折线 BC-CD 向终点 D 匀速运动连接 PO 并延长交边 CD 于点 M，连接 QO 并延长交折线 DA-AB 于点 N，连接 PQ，QM，MN，NP，得到四边形 PQMN设点 P 的运动时间为 x(s)(0 x 4)，四边形PQMN 的面积为 y(cm2)(1)BP 的长为cm，CM 的长为cm(用含 x 的代数式表示)(2)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围(3)当四边形 PQMN 是轴对称图形时，直接写出 x 的值【答案】(1)4-x；x(2)y=4x2-12x+160 x 2-4x+162 x 4(3)x=43 或 x=83【分析】(1)根据正方形中心

40、对称的性质得出 OM=OP,OQ=ON，可得四边形 PQMN 是平行四边形，证明 ANP CQM 即可；(2)分 0 x 2，2 x 4 两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；(3)根据(2)的图形，分类讨论即可求解【详解】(1)解：依题意，AP=x 1=x cm，则 PB=AB-AP=4-xcm，四边形 ABCD 是正方形，AD BC,DAB=DCB=90，点 O 是正方形对角线 AC 的中点，OM=OP,OQ=ON，则四边形 PQMN 是平行四边形，20 MQ=PN，MQ NP，PNQ=MQN，又 AD BC，ANQ=CQN，ANP=MQC，在 ANP,CQ

41、M 中，ANP=MQCNAP=QCMNP=MQ，ANP CQM，MC=AP=x cm故答案为：4-x；x(2)解：当 0 x 2 时，点 Q 在 BC 上，由(1)可得 ANP CQM，同理可得 PBQ MDN，PB=4-x,QB=2x,MC=x，QC=4-2x，则 y=AB2-2SMCQ-2SBPQ=16-4-x 2x-x 4-2x=4x2-12x+16；当 2 x 4 时，如图所示，则 AP=x，AN=CQ=2x-CB=2x-4，PN=AP-AN=x-2x-4=-x+4，y=-x+4 4=-4x+16；综上所述，y=4x2-12x+160 x 2-4x+162 x 4；(3)依题意，如图，

42、当四边形 PQMN 是矩形时，此时 PQM=90，PQB+CQM=90，BPQ+PQB=90，BPQ=CQM，又 B=BCD，BPQCQM，BPCQ=BQCM，即 4-x4-2x=2xx，解得：x=43，当四边形 PQMN 是菱形时，则 PQ=MQ，4-x2+2x2=x2+4-2x2，解得：x=0(舍去)；如图所示，当 PB=CQ 时，四边形 PQMN 是轴对称图形，4-x=2x-4，解得 x=83，当四边形 PQMN 是菱形时，则 PN=PQ=4，即-x+4=4，解得：x=0(舍去)，综上所述，当四边形 PQMN 是轴对称图形时，x=43 或 x=83 21【点睛】本题考查了正方形的性质，动

43、点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键11(2023广东统考中考真题)综合运用如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，如图 2，将正方形 OABC 绕点 O逆时针旋转，旋转角为 0 45，AB 交直线 y=x 于点 E，BC 交 y 轴于点 F (1)当旋转角 COF 为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点 A(4,3)，求 FC 的长；(3)如图 3，对角线 AC 交 y 轴于点 M，交直线 y=x 于点 N，连接 FN，将 OFN 与 O

44、CF 的面积分别记为S1与 S2，设 S=S1-S2，AN=n，求 S 关于 n 的函数表达式【答案】(1)22.5(2)FC=154(3)S=12 n2【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出 AOG=AOE，再由题意得出EOG=45，即可求解；(2)过点 A 作 AP x 轴，根据勾股定理及点的坐标得出 OA=5，再由相似三角形的判定和性质求解即可；(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出 O、C、F、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出 FN=ON，FNO=90，过点 N 作 GQ BC 于点 G，交 OA 于点 Q，利用全等三角形及矩形的判

45、定和性质得出 CG=OQ,CO=QG，结合图形分别表示出 S1，S2，得出 S=S1-S2=NQ2，再由等腰直角三角形的性质即可求解【详解】(1)解：正方形 OABC，OA=OC，A=C=90，OE=OF，RtOCF RtOAE(HL)，COF=AOE，COF=AOG，AOG=AOE，AB 交直线 y=x 于点 E，EOG=45，AOG=AOE=22.5，即 COF=22.5；(2)过点 A 作 AP x 轴，如图所示：22 A(4,3)，AP=3,OP=4，OA=5，正方形 OABC，OC=OA=5，C=90，C=APO=90，AOP=COF，OCF OPA，OCOP=FCAP 即 54=F

46、C3，FC=154；(3)正方形 OABC，BCA=OCA=45，直线 y=x，FON=45，BCA=FON=45，O、C、F、N 四点共圆，OCN=FON=45，OFN=FON=45，FON 为等腰直角三角形，FN=ON，FNO=90，过点 N 作 GQ BC 于点 G，交 OA 于点 Q，BC OA，GQ OA，FNO=90，1+2=90，1+3=90，2=3，FGN NQO(AAS)GN=OQ,FG=QN，GQ BC，FCO=COQ=90，四边形 COQG 为矩形，CG=OQ,CO=QG，S1=SOFN=12 ON 2=12 OQ2+NQ2=12 GN 2+NQ2=12 GN 2+12

47、NQ2，S2=SCOF=12 CF CO=12 GC-FGGN+NQ=12 GN 2-NQ2=12 GN 2-12 NQ2，S=S1-S2=NQ2，OAC=45，AQN 为等腰直角三角形，NQ=22 AN=22 n，S=NQ2=22 n2=12 n223【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键12(2023湖北黄冈统考中考真题)已知抛物线 y=-12 x2+bx+c 与 x 轴交于 A,B(4,0)两点，与 y 轴交于点 C(0,2)，点 P 为第一象限抛物线上的点，连接 CA,CB,PB,PC (1

48、)直接写出结果；b=，c=，点 A 的坐标为，tanABC=；(2)如图 1，当 PCB=2OCA 时，求点 P 的坐标；(3)如图 2，点 D 在 y 轴负半轴上，OD=OB，点 Q 为抛物线上一点，QBD=90，点 E，F 分别为 BDQ的边 DQ,DB 上的动点，QE=DF，记 BE+QF 的最小值为 m求 m 的值；设 PCB 的面积为 S，若 S=14 m2-k，请直接写出 k 的取值范围【答案】(1)32，2，-1,0，12(2)2,3(3)m=2 17，13 k 17【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可求得 b=32、c=2，从而可得 OB=4，OC=2，由 y=0，

49、可得-12 x2+32 x+2=0，求得 A-1,0，在 RtCOB 中，根据正切的定义求值即可；(2)过点 C 作 CD x 轴，交 BP 于点 D，过点 P 作 PE x 轴，交 y 轴于点 E，由 tanOCA=tanABC=12，即 OCA=ABC，再由 PCB=2ABC，可得 EPC=ABC，证明 PEC BOC，可得 EPOB=ECOC，设点 P 坐标为 t,-12 t2+32 t+2，可得 t4=-12 t2+32 t2，再进行求解即可；(3)作 DH DQ，且使 DH=BQ，连接 FH根据 SAS 证明 BQE HDF，可得 BE+QF=FH+QF QH，即 Q，F，H 共线时

50、，BE+QF 的值最小作 QG AB 于点 G，设 G(n,0)，则Q n,-12 n2+32 n+2，根据 QG=BG 求出点 Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；作 PT y 轴，交 BC 于点 T，求出 BC 解析式，设 T a,-12 a+2，P a,-12 a2+32 a+2，利用三角形面积公式表示出 S，利用二次函数的性质求出 S 的取值范围，结合中结论即可求解【详解】(1)解：抛物线 y=-12 x2+bx+c 经过点 B(4,0)，C(0,2)，-8+4b+c=0c=2，解得：b=32c=2，24 抛物线解析式为：y=-12 x2+32 x+2，抛物线 y=-12 x2+b

51、x+c 与 x 轴交于 A、B(4,0)两点，y=0 时，-12 x2+32 x+2=0，解得：x1=-1，x2=4，A-1,0，OB=4，OC=2，在 RtCOB 中，tanABC=OCOB=24=12，故答案为：32，2，-1,0，12；(2)解：过点 C 作 CD x 轴，交 BP 于点 D，过点 P 作 PE x 轴，交 y 轴于点 E，AO=1，OC=2，OB=4，tanOCA=AOCO=12，由(1)可得，tanABC=12，即 tanOCA=tanABC，OCA=ABC，PCB=2OCA，PCB=2ABC，CD x 轴，EP x 轴，ACB=DCB，EPC=PCD，EPC=ABC

52、，又 PEC=BOC=90，PEC BOC，EPOB=ECOC，设点 P 坐标为 t,-12 t2+32 t+2，则 EP=t，EC=-12 t2+32 t+2-2=-12 t2+32 t，t4=-12 t2+32 t2，解得：t=0(舍)，t=2，点 P 坐标为 2,3 (3)解：如图 2，作 DH DQ，且使 DH=BQ，连接 FH BQD+BDQ=90，HDF+BDQ=90，QD=HDF，QE=DF，DH=BQ，BQE HDF(SAS)，BE=FH，BE+QF=FH+QF QH，Q，F，H 共线时，BE+QF 的值最小作 QG AB 于点 G，OB=OD，BOD=90，OBD=45，QB

53、D=90，QBG=45，25 QG=BG设 G(n,0)，则 Q n,-12 n2+32 n+2，-12 n2+32 n+2=4-n，解得 n=1 或 n=4(舍去)，Q(2,3)，QG=BG=4-1=3，BQ=DH=3 2，QD=5 2，m=QH=3 22+5 22=2 17；如图 3，作 PT y 轴，交 BC 于点 T，待定系数法可求 BC 解析式为 y=-12 x+2，设 T a,-12 a+2，P a,-12 a2+32 a+2，则 S=12-12 a2+32 a+2+12 a-2 4=-a-22+4，0 S 4，0 14 m2-k 4，0 17-k 4，13 k 2将经过 B，C

54、两点的抛物线 y1=ax2+bx-4 向左平移 2 个单位，得到抛物线 y2若直线 EA 与抛物线 y1有唯一交点，求 t 的值；若抛物线 y2的顶点 P 在直线 EA 上，求 t 的值；将抛物线 y2再向下平移，2(t-1)2 个单位，得到抛物线 y3若点 D 在抛物线 y3上，求点 D 的坐标【答案】(1)等腰直角三角形26(2)详见解析(3)t=3；t=6；D 125,65【分析】(1)由 A(0,2),B(2,0)得到 OA=OB=2，又由 AOB=90，即可得到结论；(2)由 EOD=90，AOB=90 得到 AOE=BOD，又有 AO=OB，OD=OE，利用 SAS 即可证明AOE

55、 BOD；(3)求出直线 AC 的解析式和抛物线 y1的解析式，联立得 x2-t+3x+3t=0，由 =(t+3)2-4 3t=(t-3)2=0 即可得到 t 的值；抛物线 y1=-2t x2+2t(t+2)x-4 向左平移 2 个单位得到抛物线 y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，则抛物线 y2的顶点 P t-22,(t-2)22t，将顶点 P t-22,(t-2)22t代入 yAC=-2t x+2 得到 t2-6t=0，解得 t1=0,t2=6,根据 t 2 即可得到 t 的值；过点 E 作 EM x 轴，垂足为 M，过点 D 作 DN x 轴，垂足为 N，先证明 ODN EOM

56、(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设 EM=2OM=2m,由 OA EM 得到 OC:CM=OA:EM,则tt+m=22m,求得m=tt-1,得到 D2tt-1,tt-1，由抛物线 y2再向下平移2(t-1)2 个单位，得到抛物线 y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,把 D2tt-1,tt-1代入抛物线 y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,得到 3t2-19t+6=0,解得 t1=13,t2=6,由 t 2，得 t=6,即可得到点 D 的坐标【详解】(1)证明：A(0,2),B(2,0)，OA=OB=2，AOB=90，AOB 是等腰直角三角形，故答案为：

57、等腰直角三角形(2)如图，EOD=90，AOB=90，AOB-AOD=DOE-AOD，AOE=BOD，AO=OB,OD=OE，AOE BOD(SAS)；(3)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，A(0,2),C(t,0)，b=2kt+b=0，yAC=-2t x+2，将 C(t,0),B(2,0)代入抛物线 y1=ax2+bx-4 得，0=at2+bt-40=4a+2b-4，解得 a=-2t,b=2t(t+2)，y1=-2t x2+2t(t+2)x-4，27 直线 yAC=-2t x+2 与抛物线 y1=-2t x2+2t(t+2)x-4 有唯一交点 联立解析式组成方程组解得 x2-t+3x

58、+3t=0 =(t+3)2-4 3t=(t-3)2=0 t=3 抛物线 y1=-2t x2+2t(t+2)x-4 向左平移 2 个单位得到 y2，抛物线 y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，抛物线 y2的顶点 P t-22,(t-2)22t，将顶点 P t-22,(t-2)22t代入 yAC=-2t x+2，t2-6t=0，解得 t1=0,t2=6,t 2，t=6；过点 E 作 EM x 轴，垂足为 M，过点 D 作 DN x 轴，垂足为 N,EMO=OND=90，DOE=90，EOM+MEO=EOM+NOD=90，MEO=NOD，OD=OE，ODN EOM(AAS)，ON=EM,D

59、N=OM，OE 的解析式为 y=-2x，设 EM=2OM=2m,DN=OM=m，EM x 轴,OA EM,CAOCEM，OC:CM=OA:EM,tt+m=22m,m=tt-1,EM=ON=2OM=2m=2tt-1，DN=OM=m=tt-1，D2tt-1,tt-1,抛物线 y2再向下平移2(t-1)2 个单位，得到抛物线 y3，抛物线 y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,D2tt-1,tt-1代入抛物线 y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,3t2-19t+6=0,28解得 t1=13,t2=6,由 t 2，得 t=6,2tt-1=126-1=125,tt-1=

60、66-1=65，D 125,65【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键14(2023山东滨州统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一边 OC 在 x 轴正半轴上，顶点 A 的坐标为 2,2 3，点 D 是边 OC 上的动点，过点 D 作 DE OB 交边 OA 于点 E，作 DF OB交边 BC 于点 F，连接 EF设 OD=x,DEF 的面积为 S (1)求 S 关于 x

61、的函数解析式；(2)当 x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值【答案】(1)S=-32 x2+2 3x(2)当 x=2 时，S 的最大值为 2 3【分析】(1)过点 A 作 AG OC 于点 G，连接 AC，证明 AOC 是等边三角形，可得 DE=x，进而证明CDF COB，得出 DF=3 4-x，根据三角形面积公式即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解【详解】(1)解：如图所示，过点 A 作 AG OC 于点 G，连接 AC，顶点 A 的坐标为 2,2 3，OA=22+2 32=4，OG=2，AG=2 3 cosAOG=OGAO=12，AOG=60 四边形 OABC 是菱形，BOC=A

62、OB=30，AC BD,AO=OC，AOC 是等边三角形，ACO=60，DE OB，DE AC,EDO=ACO=60 EOD 是等边三角形，29 ED=OD=x DF OB，CDF COB，DFOB=CDCO A 2,2 3，AO=4，则 B 6,2 3，OB=62+2 32=4 3 DF4 3=4-x4 DF=3 4-x S=12 x 3 4-x=-32 x2+2 3x S=-32 x2+2 3x 0 x 4(2)解：S=-32 x2+2 3x=-32x-22+2 3-32 0，当 x=2 时，S 的值最大，最大值为 2 3【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，坐标与图形，特

63、殊角的三角函数值，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键15(2023天津统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形 ABCD 的顶点 A(3,0),B(0,1),D(2 3,1)，矩形 EFGH 的顶点 E 0,12,F-3,12,H 0,32(1)填空：如图，点 C 的坐标为，点 G 的坐标为；(2)将矩形 EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形 EFGH，点 E，F，G，H 的对应点分别为 E，F，G，H设 EE=t，矩形 EFGH 与菱形 ABCD 重叠部分的面积为 S 如图，当边 EF 与 AB 相交于点 M、边 GH 与 BC 相交于点 N，且

64、矩形 EFGH 与菱形 ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围：当 2 33 t 11 34时，求 S 的取值范围(直接写出结果即可)【答案】(1)3,2，-3,32(2)32 t 3；316 S 3【分析】(1)根据矩形及菱形的性质可进行求解；(2)由题意易得 EF=EF=3,EH=EH=1，然后可得 ABO=60，则有 EM=32，进而根据割补30法可进行求解面积 S；由及题意可知当 2 33 t 3 32时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分的面积 S 是增大的，当 3 32 t 11 34时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠

65、部分的面积 S 是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可【详解】(1)解：四边形 EFGH 是矩形，且 E 0,12,F-3,12,H 0,32，EF=GH=3,EH=FG=1，G-3,32；连接 AC,BD，交于一点 H，如图所示：四边形 ABCD 是菱形，且 A(3,0),B(0,1),D(2 3,1)，AB=AD=3-02+0-12=2，AC BD,CM=AM=OB=1,BM=MD=OA=3，AC=2，C3,2，故答案为3,2，-3,32；(2)解：点 E 0,12，点 F-3,12，点 H 0,32，矩形 EFGH 中，EF x 轴，EH x 轴，EF=3,EH=1

66、矩形 EFGH 中，EF x 轴，EH x 轴，EF=3,EH=1由点 A3,0，点 B 0,1，得 OA=3,OB=1在 RtABO 中，tanABO=OAOB=3，得 ABO=60在 RtBME 中，由 EM=EB tan60,EB=1-12=12，得 EM=32 SBME=12 EB EM=38 同理，得 SBNH=38 EE=t，得 S矩形 EEHH=EE EH=t又 S=S矩形 EEHH-SBME-SBNH，S=t-34，当 EE=EM=32 时，则矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分为 BEH，t 的取值范围是32 t 3由及题意可知当 2 33 t 3 32时，矩形 EFG

67、H 和菱形 ABCD 重叠部分的面积 S 是增大的，当3 32 t 11 34时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分的面积 S 是减小的，31 当 t=3 32时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分如图所示：此时面积 S 最大，最大值为 S=1 3=3；当 t=11 34时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分如图所示：由(1)可知 B、D 之间的水平距离为 2 3，则有点 D 到 GF 的距离为3-11 34-2 3=34，由可知：D=B=60，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分为等边三角形，该等边三角形的边长为 2 34tan60=12，此时面积 S 最小，最

68、小值为 12 12 34=316；综上所述：当 2 33 t 11 34时，则316 S 3【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键16(2023浙江温州统考中考真题)如图 1，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆于点 D，BE CD，交 CD 延长线于点 E，交半圆于点 F，已知 OA=32，AC=1如图 2，连接 AF，P 为线段 AF 上一点，过点 P 作 BC 的平行线分别交 CE，BE 于点 M，N，过点 P 作 PH AB 于点 H设 PH=x，MN=y 32(1)求 CE

69、的长和 y 关于 x 的函数表达式(2)当 PH PN，且长度分别等于 PH，PN，a 的三条线段组成的三角形与 BCE 相似时，求 a 的值(3)延长 PN 交半圆 O 于点 Q，当 NQ=154 x-3 时，求 MN 的长【答案】(1)CE=165，y=-2512 x+4(2)1615 或 2740 或 6041(3)178【分析】(1)如图 1，连接 OD，根据切线的性质得出 OD CE，证明 OD BE，得出 CDCE=COCB，即可得出CE=165；证明四边形 APMC 是平行四边形，得出 MNBC=MECE，代入数据可得 y=-2512 x+4；(2)根据 BCE 三边之比为 3:

70、4:5，可分为三种情况当 PH:PN=3:5 时，当 PH:PN=4:5 时，当 PH:PN=3:4 时，分别列出比例式，进而即可求解(3)连接 AQ，BQ，过点 Q 作 QG AB 于点 G，根据 tanBQG=tanQAB=x3x=13，得出 BG=13 QG=13 x，由 AB=AG+BG=103 x=3，可得 x=910，代入(1)中解析式，即可求解【详解】(1)解：如图 1，连接 OD CD 切半圆 O 于点 D，OD CE OA=32，AC=1，OC=52，CD=2 BE CE，OD BE，CDCE=COCB，即2CE=524，CE=165 如图 2，AFB=E=90，AF CE

71、MN CB，四边形 APMC 是平行四边形，CM=PA=PHsin1=PHsinC=x35=53 x MNBC=MECE，y4=165-53 x165，y=-2512 x+433(2)PN=y-1=-2512 x+3，PH PN，BCE 三边之比为 3:4:5(如图 2)，可分为三种情况i)当 PH:PN=3:5 时，PN=53 PH，-2512 x+3=53 x，解得 x=45，a=43 x=1615 ii)当 PH:PN=4:5 时，PN=54 PH，-2512 x+3=54 x，解得 x=910，a=34 x=2740 iii)当 PH:PN=3:4 时，PN=43 PH，-2512 x

72、+3=43 x，解得 x=3641，a=53 x=6041(3)如图 3，连接 AQ，BQ，过点 Q 作 QG AB 于点 G，则 AQB=AGQ=90，QG=PH=x，QAB=BQG NQ=154 x-3，PN=y-1=-2512 x+3，HG=PQ=NQ+PN=53 x AH=43 x，AG=AH+HG=3x，tanBQG=tanQAB=x3x=13，BG=13 QG=13 x，AB=AG+BG=103 x=3，x=910，y=-2512 x+4=178，即 MN 的长为 178【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键

73、17(2023新疆统考中考真题)【建立模型】(1)如图 1，点 B 是线段 CD 上的一点，AC BC，AB BE，ED BD，垂足分别为 C，B，D，AB=BE求证：ACB BDE；【类比迁移】(2)如图 2，一次函数 y=3x+3 的图象与 y 轴交于点 A、与 x 轴交于点 B，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90 得到 BC、直线 AC 交 x 轴于点 D求点 C 的坐标；求直线 AC 的解析式；34【拓展延伸】(3)如图 3，抛物线 y=x2-3x-4 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于 C点，已知点 Q(0，-1)，连接 BQ抛物线上是否存

74、在点 M，使得 tanMBQ=13，若存在，求出点 M 的横坐标 【答案】(1)见解析；(2)C-4,1；直线 AC 的解析式为 y=12 x+3；(3)-411 或-1413【分析】建立模型(1)根据题意得出 C=D=ABE=90，A=EBD，证明 ACB BDE AAS，即可得证；类比迁移(2)过点 C 作 CE x 轴于点 E，同(1)的方法，证明 CBE BAO，根据一次函数 y=3x+3 的图象与 y 轴交于点 A、与 x 轴交于点 B，求得 A 0,3，B-1,0，进而可得 C 点的坐标；由 A 0,3，设直线 AC 的解析式为 y=kx+3，将点 C-4,1代入得直线 AC 的解

75、析式为 y=12 x+3；拓展延伸(3)根据解析式求得 A-1,0，B 4,0；当 M 点在 x 轴下方时，如图所示，连接 MB，过点 Q 作QH BM 于点 H，过点 H 作 DE y 轴于点 D，过点 B 作 BE DE，于点 E，证明 QDH HEB，根据tanMBQ=tanQBH=13=QHBH 得出 QHBH=DHBE=13，设 DH=a，则 BE=3a，求得点H710,-2110，进而求得直线 BM 的解析式，联立抛物线解析式即可求解；当 M 点在 x 轴的上方时，如图所示，过点 Q 作 QG MB，于点 G，过点 G 作 PF x 轴，交 y 轴于点 F，过点 B 作 PB FP

76、 于点 P，同的方法即可求解【详解】建立模型(1)证明：AC BC，AB BE，ED BD，C=D=ABE=90，ABC+A=90,ABC+EBD=90，A=EBD，又 AB=BE，ACB BDE AAS；类比迁移(2)如图所示，过点 C 作 CE x 轴于点 E，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90 得到 BC，BA=BC,ABC=90，又 AOB=CEB=90，ABO=90-CBE=ECB，CBE BAO AAS，BE=AO,CE=BO，一次函数 y=3x+3 的图象与 y 轴交于点 A、与 x 轴交于点 B，当 x=0 时，y=3，即 A 0,3，当 y=0 时，x=-1，即 B-1

77、,0，35 BE=AO=3,CE=BO=1，EO=EB+BO=3+1=4，C-4,1；A 0,3，设直线 AC 的解析式为 y=kx+3，将 C-4,1代入得：1=-4k+3解得：k=12 直线 AC 的解析式为 y=12 x+3，(3)抛物线 y=x2-3x-4 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，当 y=0 时，x2-3x-4=0，解得：x1=-1,x2=4，A-1,0，B 4,0；当 M 点在 x 轴下方时，如图所示，连接 MB，过点 Q 作 QH BM 于点 H，过点 H 作 DE y 轴于点 D，过点 B 作 BE DE，于点 E，QDH=E=QHB=90，DQ

78、H=90-QHD=BHE，QDH HEB，QHBH=DHBE=DQHE，tanMBQ=tanQBH=13=QHBH，QHBH=DHBE=13，设 DH=a，则 BE=3a，DE=4，HE=4-a，QD=43-a3，OD=BE，Q 0,-1，1+43-a3=3a，解得：a=710，H710,-2110，设直线 BH 的解析式为 y=kx+b，代入 H710,-2110，B 4,0得：710 k+b=-21104k+b=0，解得：b=-2811k=711，直线 BM 解析式为 y=711 x-2811，联立 y=711 x-2811y=x2-3x-4，解得：x1=4(舍去)，x2=-411；当 M

79、 点在 x 轴的上方时，如图所示，过点 Q 作 QG MB 于点 G，过点 G 作 PF x 轴，交 y 轴于点 F，过36点 B 作 PB FP 于点 P，同理可得 FGQ PBG，FGPB=FQPG=QGGB=13，设 FG=b，则 PB=3b，FP=4，GP=4-b，FQ=4-b3，FQ=PB+1，4-b3=3b+1，解得：b=110，G110，310，设直线 MB 的解析式为 y=mx+n，代入 G110，310，B 4,0得：110 m+n=3104m+n=0，解得：m=-113n=413，直线 MB 的解析式为 y=-113 x+413，联立 y=-113 x+413y=x2-3x

80、-4，解得：x1=4(舍去)，x2=-1413，综上所述，M 的横坐标为-411 或-1413【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键18(2023江苏连云港统考中考真题)【问题情境 建构函数】(1)如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=4,M 是 CD 的中点，AE BM，垂足为 E设 BC=x,AE=y，试用含x 的代数式表示 y 【由数想形 新知初探】(2)在上述表达式中，y 与 x 成函数关系，其图像如图 2 所示若 x 取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，

81、请说明理由，并在图 2 上补全函数图像37 【数形结合 深度探究】(3)在“x 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：函数值 y 随 x 的增大而增大；函数值 y 的取值范围是-4 2 y 0)；(2)x 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；(3)；(4)y=2kx x2+k2x2+k2(x 0,k 0)，见解析【分析】(1)证明 RtABE RtBMC，得出 ABBM=AEBC，进而勾股定理求得 BM，即4x2+4=yx，整理后即可得出函数关系式；(2)若 P a,b为图像上任意一点，则 b=4a a2+4a2+4设 P a,b关于原点的对称点为 Q，则

82、 Q-a,-b当x=-a 时，可求得 y=-b则 Q-a,-b也在 y=4x x2+4x2+4的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解；(3)根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解；(4)将(1)中的 4 换成 2k，即可求解；根据(2)的图象探究此类函数的相关性质，即可求解【详解】(1)在矩形 ABCD 中，ABC=BCM=90，ABE+MBC=90 AE BM，AEB=90，BAE+ABE=90 AEB=BCM,MBC=BAE RtABE RtBMC，ABBM=AEBC AB=4，点 M 是 CD 的中点，CM=12 CD=12 AB=2在 RtBMC 中

83、，BM=BC2+CM 2=x2+22=x2+4，4x2+4=yx y=4xx2+4=4x x2+4x2+438 y 关于 x 的表达式为：y=4x x2+4x2+4(x 0)(2)x 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称理由如下：若 P a,b为图像上任意一点，则 b=4a a2+4a2+4设 P a,b关于原点的对称点为 Q，则 Q-a,-b当 x=-a 时，y=4-a-a2+4-a2+4=-4a a2+4a2+4=-b Q-a,-b也在 y=4x x2+4x2+4的图像上 当 x 取任意实数时，y=4x x2+4x2+4的图像关于原点对称函数图像如图所示 (3)根据函数图象可得函

84、数值 y 随 x 的增大而增大，故正确，由(1)可得函数值 y AB，故函数值的范围为-4 y 0,k 0)；当 k 0,x 取任意实数时，有如下相关性质：当 k 0 时，图像经过第一、三象限，函数值 y 随 x 的增大而增大，y 的取值范围为-2k y 2k；当 k 0 时，图像经过第二、四象限，函数值 y 随 x 的增大而减小，y 的取值范围为 2k y 0)的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B将直线 AB 绕点A 顺时针旋转 45 后的直线与 y 轴交于点 E，过点 A 作 AM x 轴于点 M，过点 A 作 AN y 轴于点 N，已知 OA=5 (1)求反比例函数的解析式；(2)直接

85、写出 tanBAM、tanNAE 的值；(3)求直线 AE 的解析式【答案】(1)y=12x(x 0)(2)tanBAM=13，tanNAE=12(3)y=12 x+1【分析】(1)首先求出点 B 3,0，然后设 A a,3a-9，在 RtAOM 中，利用勾股定理求出 a=4，得到A 4,3，然后代入 y=mx(x 0)求解即可；(2)首先根据 A 4,3，B 3,0得到 MO=4，BO=3，求出 MB=1，AM=3，然后利用正切值的概念求出tanBAM=BMAM=13，然后证明出四边形 NOMA 是矩形，得到 BAM+NAE=45，然后由tanBAM=13 即可求出 tanNAE=12；(3

86、)首先根据矩形的性质得到 AN=OM=4，NO=AM=3，然后利用 tanNAE=12 求出 NE=2，进而得到 E 0,1，然后设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，利用待定系数法将 E 0,1和 A 4,3代入求解即可40【详解】(1)将 y=0 代入 y=3x-9 得，x=3，B 3,0，直线 y=3x-9 与反比例函数 y=mx(x 0)的图象交于点 A，设 A a,3a-9，AM x，OA=5，在 RtAOM 中，OM 2+AM 2=AO2，a2+3a-92=52，解得 a1=4，a2=75，点 A 的横坐标要大于点 B 的横坐标，a2=75 应舍去，a=4，A 4,3，将 A 4

87、,3代入 y=mx(x 0)，解得 m=12；反比例函数的解析式为 y=12x(x 0)；(2)A 4,3，B 3,0，MO=4，BO=3，MB=1，AM=3，AM x，tanBAM=BMAM=13，AN y，NOM=90，四边形 NOMA 是矩形，NAM=90，将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 45 后的直线与 y 轴交于点 E，BAE=45，BAM+NAE=45，tanBAM=13，tanNAE=12；(3)四边形 NOMA 是矩形，AN=OM=4，NO=AM=3，AN y，tanNAE=12，NEAN=12，即 NE4=12，解得 NE=2，OE=ON-NE=1，E 0,1，设直线 A

88、E 的解析式为 y=kx+b，将 E 0,1和 A 4,3代入得，b=14k+b=3，41 解得b=1k=12，直线 AE 的解析式为 y=12 x+1【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容20(2023山东泰安统考中考真题)如图 1，二次函数 y=ax2+bx+4 的图象经过点 A(-4,0),B(-1,0)(1)求二次函数的表达式；(2)若点 P 在二次函数对称轴上，当 BCP 面积为 5 时，求 P 坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点 D，使 DAB+ACB=90；请判断小明的说法是否正确，

89、如果正确，请求出 D 的坐标；如果不正确，请说明理由【答案】(1)y=x2+5x+4(2)-52,4或-52,-16(3)正确，D-83,-209【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可；(2)首先求出直线 BC 解析式，然后通过设 P 点坐标，并表示对应 Q 点坐标，从而利用“割补法”计算 BCP的面积表达式并建立方程求解即可；(3)首先连接 AC，BC，设 AC 与对称轴交点为 K，对称轴与 x 轴交点为 H，连接 BK，延长 AD 与对称轴交于点 M，根据已知信息求出 tanCBK，然后推出 DAB=CBK，从而在 RtAHM 中求出 HM，确定出M 点坐标，再求出直线 AM 解析式，通

90、过与抛物线解析式联立，求出交点 D 的坐标即可【详解】(1)解：将 A(-4,0),B(-1,0)代入 y=ax2+bx+4 得：16a-4b+4=0a-b+4=0，解得：a=1b=5，抛物线解析式为：y=x2+5x+4；(2)解：由抛物线 y=x2+5x+4 可知，其对称轴为直线 x=-52，C 0,4，设直线 BC 解析式为：y=kx+c，将 B-1,0，C 0,4代入解得：k=4c=4，直线 BC 解析式为：y=4x+4，此时，如图所示，作 PQ x 轴，交 BC 于点 Q，点 P 在二次函数对称轴上，42 设 P-52,m，则 Q m-44,m，PQ=m-44-52=m+64，SBCP

91、=12 PQ yC-yB=12 m+64 4=m+62，要使得 BCP 面积为 5，m+62=5，解得：m=4 或 m=-16，P 的坐标为-52,4或-52,-16；(3)解：正确，D-83,-209，理由如下：如图所示，连接 AC，BC，设 AC 与对称轴交点为 K，对称轴与 x 轴交点为 H，连接 BK，延长 AD 与对称轴交于点 M，由(1)、(2)可得 OA=OC=4，AOC=90，CAO=45，AC=4 2，根据抛物线的对称性，AK=BK，KAB=KBA=45，AKB=90，AB=3，AK=BK=3 22，CK=AC-AK=5 22，在 RtCKB 中，tanCBK=CKBK=53

92、，CBK+ACB=90 且 DAB+ACB=90，DAB=CBK，tanDAB=tanCBK=53，即：在 RtAHM 中，HMAH=53，AH=-52-4=32，HM=32 53=52，M-52,-52，设直线 AM 解析式为：y=sx+t，将 A-4,0、M-52,-52代入解得：s=-53t=-203，直线 AM 解析式为：y=-53 x-203，联立y=x2+5x+4y=-53 x-203，解得：x=-83y=-209或 x=-4y=0(不合题，舍去)小明说法正确，D 的坐标为 D-83,-209【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数

93、的性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键4321(2023湖北恩施统考中考真题)在平面直角坐标系 xoy 中，O 为坐标原点，已知抛物线 y=-12 x2+bx+c 与 y 轴交于点 A，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 B (1)如图，若 A 0,3，抛物线的对称轴为 x=3求抛物线的解析式，并直接写出 y 3 时 x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若 P 为 y 轴上的点，C 为 x 轴上方抛物线上的点，当 PBC 为等边三角形时，求点 P，C 的坐标；(3)若抛物线 y=-12 x2+bx+c 经过点 D m,2，E n,2，F 1,-1，且 m n，求正整数 m，

94、n 的值【答案】(1)y=-12 x2+3x+3；0 x 6(2)C-2 33+6,3 3-23；P 0,3 3-43或 C 0,3,P 0,-3；(3)m=2，n=7 或 m=3，n=4【分析】(1)根据 A 0,3，抛物线的对称轴为 x=3，待定系数法求解析式即可求解；当 y=3 时，求得 x 的范围，进而结合函数图象即可求解；(2)连接 AB，AC，AC 交对称轴于点 D，由 A,B,C,P 四点共圆，得 BAC=BPC=60，证明 PAB CDB，求出点 D 的坐标，确定直线 AD 的解析式，进而求得 C 点的坐标，设 P 0,p，PB=PC，勾股定理即可求解；由可得 OAB=60，则

95、当 C 与 A 重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解(3)根据抛物线 y=-12 x2+bx+c 经过点 D m,2，E n,2，F 1,-1，可得抛物线对称为直线 x=m+n2=b，-12+b+c=-1 则 b+c=-12，则 c=-12-b，进而令 y=2，求得 b 的范围，进而根据函数图象可知m=2 或 m=3，进而分别讨论求得 n 的值，即可求解【详解】(1)解：A 0,3，抛物线的对称轴为 x=3c=3-b-2 12=3解得：c=3b=3 抛物线解析式为 y=-12 x2+3x+3，当 y=3 时，即-12 x2+3x+3=3解得：x1=0,x2=6，44 当 y 3

96、 时，0 x 6(2)解：如图所示，连接 AB，AC，AC 交对称轴于点 D，A 0,3，B 3,0 OA=3,OB=3，则 tanOAB=3 OAB=60，BAP=120，PBC 为等边三角形，PCB=PBC=60，PAB+PCB=180，A,B,C,P 四点共圆，BAC=BPC=60，BD OA，ABD=OAB=60 ABD=PBC，ABP=DBC，BDC=PAB=120，PB=BC，PAB CDB AAS，BD=BA=32+32=2 3，则 D 3,2 3，设直线 AD 的解析式为 y=kx+3则 3k+3=2 3解得：k=33所以直线 AC 的解析式为 y=33 x+3联立y=33 x

97、+3y=-12 x2+3x+3解得：x=0y=3或x=-2 33+6y=3 3-23 C-2 33+6,3 3-23，B 3,0，设 P 0,p，PC=PB p2+32=-233+62+3 3-23-p2解得：p=3 3-43 P 0,3 3-43；由可得 OAB=60，当 C 与点 A 重合时，PBC 为等边三角形则 P 与 C 对称，此时 C 0,3，P 0,-3，综上所述；C-2 33+6,3 3-23；P 0,3 3-43或 C 0,3，P 0,-3；(3)解：抛物线 y=-12 x2+bx+c 经过点 D m,2，E n,2，F 1,-1，45 抛物线对称为直线 x=m+n2=b，-

98、12+b+c=-1则 b+c=-12，则 c=-12-b 抛物线解析式为 y=-12 x2+bx-b-12=-12 x-b2+12 b2-b-12 顶点坐标为 b,12 b2-b-12当 12 b2-b-12=2 时，解得：b=1-6 或 b=1+6 m n，且 m,n 为正整数，过点 F 1,-1，则当 x=1 时 y 0交 y轴于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D48 (1)求点 C，D 的坐标；(2)当 a=13 时，如图 1，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，点 P 为直线 AD 上方抛物线上一点，将直线 PD 沿直线 AD 翻折，交

99、 x 轴于点 M(4,0)，求点 P 的坐标；(3)坐标平面内有两点 E1a,a+1,F 5,a+1，以线段 EF 为边向上作正方形 EFGH若 a=1，求正方形 EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52 时，求 a 的值【答案】(1)C 0，2，D 5，2(2)P 32，154(3)1，6，4，6，5，2；a=0.5【分析】(1)先求出 C 0，2，再求出抛物线对称轴，根据题意可知 C、D 关于抛物线对称轴对称，据此求出点D 的坐标即可；(2)先求出 A-1，0，如图，设 DP 上与点 M 关于直线 A

100、D 对称的点为 N m，n，由轴对称的性质可得 AN=AM，DN=DM，利用勾股定理建立方程组m+12+n2=4-12m-52+n-22=5-42+22，解得 m=3 或 m=4(舍去)，则 N 3，3，求出直线 DP 的解析式为 y=-12 x+92，然后联立y=-12 x+92y=-13 x2+53 x+2，解得x=32y=154或x=5y=2，则 P 32，154；(3)分图 3-1，图 3-2，图 3-3 三种情况，利用到 x 轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可【详解】(1)解：在 y=-ax2+5ax+2 a 0中，当 x=0 时，y=2，C 0，2，抛物线解

101、析式为 y=-ax2+5ax+2 a 0，抛物线对称轴为直线 x=-5a-2a=52，过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D，C、D 关于抛物线对称轴对称，D 5，2；(2)解：当 a=13 时，抛物线解析式为 y=-13 x2+53 x+2，当 y=0，即-13 x2+53 x+2=0，解得 x=-1 或 x=6，A-1，0；如图，设 DP 上与点 M 关于直线 AD 对称的点为 N m，n，49由轴对称的性质可得 AN=AM，DN=DM，m+12+n2=4-12m-52+n-22=5-42+22，解得：3m+n=12，即 n=12-3m m2+2m+1+144-72m+9m2=25

102、，m2-7m+12=0，解得 m=3 或 m=4(舍去)，n=12-3m=3，N 3，3，设直线 DP 的解析式为 y=kx+b1，3k+b1=35k+b1=2，k=-12b1=92，直线 DP 的解析式为 y=-12 x+92，联立y=-12 x+92y=-13 x2+53 x+2，解得x=32y=154或 x=5y=2 P 32，154；(3)解：当 a=1 时，抛物线解析式为 y=-x2+5x+2，E 1，2，F 5，2，EH=EF=FG=4，H 1，6，G 5，6，当 x=1 时，y=-12+5 1+2=6，抛物线 y=-x2+5x+2 恰好经过 H 1，6；抛物线对称轴为直线 x=5

103、2，由对称性可知抛物线经过 4，6，点 4，6时抛物线与正方形的一个交点，又 点 F 与点 D 重合，抛物线也经过点 F 5，2；综上所述，正方形 EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标为 1，6，4，6，5，2；如图 3-1 所示，当抛物线与 GH、GF 分别交于 T、D，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，点 T 的纵坐标为 2+2.5=4.5，50 5-1a+a+1=4.5，a2+1.5a-1=0，解得 a=-2(舍去)或 a=0.5；如图 3-2 所示，当抛物线与 GH、EF 分别交于 T、S，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有

104、且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，5-1a=2.5，解得 a=0.4(舍去，因为此时点 F 在点 D 下方)如图 3-3 所示，当抛物线与 EH、EF 分别交于 T、S，当正方形 EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到 x 轴的距离之差为 52，-a 1a2+5a 1a+2=a+1+2.5，7-1a=a+3.5，a2-3.5a+1=0，解得 a=7+334或 a=7-334(舍去)；当 x=52 时，y=-ax2+5ax+2=6.25a+2，当 a=7+334时，6.25a+2 7-1a，a=7+334不符合题意；综上所述，a=0.5【点睛】本题主要考

105、查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键24(2023江苏无锡统考中考真题)已知二次函数 y=22x2+bx+c的图像与 y 轴交于点 A，且经过点 B(4,2)和点 C(-1,2)51(1)请直接写出 b，c 的值；(2)直线 BC 交 y 轴于点 D，点 E 是二次函数 y=22x2+bx+c图像上位于直线 AB 下方的动点，过点 E作直线 AB 的垂线，垂足为 F求 EF 的最大值；若 AEF 中有一个内角是 ABC 的两倍，求点 E 的横坐标【答案】(1)b=-3，c=-2(2)4 33；2 或 175【分析】(1)待定系

106、数法求解析式即可求解；(2)过点 E 作 y 轴平行线分别交 AB、BD 于 G、H令 x=0，求得 A(0,-2)，勾股定理求得 AB，得出cosABD=63，则 cosFEG=63，进而可得 EF=63 EG，求得直线 AB 的解析式为 y=22 x-2，设 E m,22 m2-3 22m-2，则 G m,22 m-2，进而表示出 EG，最后根据二次函数的性质即可求解根据已知 tanABC=22，令 AC=2，AB=2，在 BC 上取点 D，使得 AD=BD，得出 tan(2ABC)=2 2，然后根据 tanMFA=tanCBA=tanFEN=22，设 AM=2a，MF=2a进而分两种情况

107、讨论，当 FAE=2ABC 时，tanFAE=2 2，则相似比为 1:2 2，得出 E(6a,-2-3 2a)代入抛物线解析式，即可求解；当 FEA=2ABC 时，tanFEA=2 2，同理可得 E 52 a,-2+22 a，代入抛物线解析式即可求解【详解】(1)二次函数 y=22x2+bx+c的图像与 y 轴交于点 A，且经过点 B(4,2)和点 C(-1,2)2=2242+4b+c2=221-b+c解得：b=-3c=-2 b=-3，c=-2，y=22x2-3x-2；(2)如图 1，过点 E 作 y 轴平行线分别交 AB、BD 于 G、H y=22x2-3x-2，当 x=0 时，y=-2，A

108、(0,-2)，AD=2 2，BD=4，AB=AD2+BD2=2 6，cosABD=BDAB=63 GFE=GHB=90，FGE=HGB，FEG=ABD，cosFEG=63，EFEG=63，52 EF=63 EG A(0,-2),B(4,2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+d d=-24k+d=2解得：k=22d=-2 直线 AB 解析式为 y=22 x-2设 E m,22 m2-3 22m-2，G m,22 m-2，EG=-22 m2+2 2m=-22(m-2)2+2 2，当 m=2 时，EG 取得最大值为 2 2，EF 的最大值为63 2 2=4 33如图 2，已知 tanABC=22，

109、令 AC=2，则 BC=2，在 BC 上取点 D，使得 AD=BD，ADC=2ABC，设 CD=x，则 AD=BD=2-x，则 x2+(2)2=(2-x)2，解得 x=12，tanADC=ACCD=2 2，即 tan 2ABC=2 2如图 3 构造 AMF FNE，且 MN x 轴，相似比为 AF:EF，又 tanMFA=tanCBA=tanFEN=22，设 AM=2a，则 MF=2a分类讨论：当 FAE=2ABC 时，则 tanFAE=EFAF=2 2，AMF 与 FNE 的相似比为 1:2 2，FN=2 2AM=4a，NE=2 2MF=4 2a，E 6a,-2-3 2a，代入抛物线求得 a

110、1=13，a2=0(舍)E 点横坐标为 6a=2当 FEA=2ABC 时，则 tanFEA=AFEF=2 2，相似比为 2 2:1，FN=AM2 2=12 a，NE=MF2 2=22 a，E 52 a,-2+22 a，53代入抛物线求得 a1=3425，a2=0(舍)E 点横坐标为 52 a=175 综上所示，点 E 的横坐标为 2 或 175【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键25(2023辽宁统考中考真题)如图，抛物线 y=-12 x2+bx+c 与 x

111、轴交于点 A 和点 B 4，0，与 y 轴交于点 C 0，4，点 E 在抛物线上 (1)求抛物线的解析式；(2)点 E 在第一象限内，过点 E 作 EF y 轴，交 BC 于点 F，作 EH x 轴，交抛物线于点 H，点 H 在点 E 的左侧，以线段 EF,EH 为邻边作矩形 EFGH，当矩形 EFGH 的周长为 11 时，求线段 EH 的长；(3)点 M 在直线 AC 上，点 N 在平面内，当四边形 OENM 是正方形时，请直接写出点 N 的坐标【答案】(1)抛物线的解析式为 y=-12 x2+x+4；(2)EH=4；(3)点 N 的坐标为 4，4或-72，32【分析】(1)利用待定系数法即

112、可求解；(2)先求得直线 BC 的解析式为 y=-x+4，设 E x，-12 x2+x+4，则 F x，-x+4，利用对称性质求得H 2-x，-12 x2+x+4，推出 GH-EF=-12 x2+2x，GF-EH=2x-2，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；(3)先求得直线 AC 的解析式为 y=2x+4，分别过点 M、E 作 y 的垂线，垂足分别为 P、Q，证明 OEP MOQ，推出 PE=OQ，PO=MQ，设 E m，-12 m2+m+4，则 M12 m2-m-4，m，由点 M 在直线AC 上，列式计算，可求得 m 的值，利用平移的性质即可求解【详解】(1)解：抛物线 y=-12

113、 x2+bx+c 经过点 B 4，0和 C 0，4，-12 42+4b+c=0c=4，解得 b=1c=4，抛物线的解析式为 y=-12 x2+x+4；54(2)解：点 B 4，0和 C 0，4，设直线 BC 的解析式为 y=kx+4，则 0=4k+4，解得 k=-1，直线 BC 的解析式为 y=-x+4，设 E x，-12 x2+x+4，且 0 x 4，则 F x，-x+4，GH-EF=-12 x2+x+4-x+4=-12 x2+2x，解析式的对称轴为-12 -12=1，H 2-x，-12 x2+x+4，GF-EH=x-4-x=2x-2，依题意得 2-12 x2+2x+2x-2=11，解得 x

114、=5(舍去)或 x=3，EH=4；(3)解：令 y=0，则-12 x2+x+4=0，解得 x=-2 或 x=4，A-2，0，同理，直线 AC 的解析式为 y=2x+4，四边形 OENM 是正方形，OE=OM，EOM=90，分别过点 M、E 作 y 的垂线，垂足分别为 P、Q，如图，OPE=MQO=90，OEP=90-EOP=MOQ，OEP MOQ，PE=OQ，PO=MQ，设 E m，-12 m2+m+4，PE=OQ=-m，PO=MQ=-12 m2+m+4，则 M12 m2-m-4，m，点 M 在直线 AC 上，m=2 12 m2-m-4+4，解得 m=4 或 m=-1，当 m=4 时，M 0，

115、4，E 4，0，即点 M 与点 C 重合，点 E 与点 B 重合时，四边形 OENM 是正方形，此时 N 4，4；当 m=-1 时，M-52，-1，E-1，52，点 O 向左平移 52 个单位，再向下平移 1 个单位，得到点 M，则点 E 向左平移 52 个单位，再向下平移 1 个单位，得到点 N，N-1-52，52-1，即 N-72，3255综上，点 N 的坐标为 4，4或-72，32【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论