2024年星光杯初赛暨GMC第三届冬季网络数学竞赛（高中组）一试（A）.pdf

1、 1 2024 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛（高中组）一试（A）答题时间：12 小时，满分：150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。1.若复数 zabi满足114zz，则点,a b 的轨迹所围成的封闭图形面积为（）A.2B.3C.2 3D.3 32.设双曲线C：222211xyaa的左、右焦点分别为1F、2F，P 在C 上一点，且120PF PF，若12PF F的面积为2a，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.2D.53.正整数4096576 的不同正因数个数为（）A.144B.225C.256D.2894.已知方程3210 xx 的三个复

2、数根分别为1x、2x、3x，令123Mx x x，12312231 33xxxNx xx xx x，则 M 与 N 的大小关系是（）A.MNB.MNC.MND.无法确定5.定义域为0,的函数 f x 满足 122f xfxx，在区间0,a 上总存在一个实数 M，使得0,x ，f xM成立，若2 263M，则 a 的最小可能值为（）A.1B.2C.3D.4#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#2 6.在 ABC中，内角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，满足cos2cos3cosabcABC则 tan A 的值为（）A.1

3、B.1C.6011D.67.设复数1zi ，若2024nz，则正整数n 的最大值为（）A.20B.21C.22D.238.若不等式8122ababab对于任意的正实数a、b 恒成立，则实数 的取值范围为（）A.,9 3B.,9 3C.0,9 3D.0,9 3二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.集合21Ax mxm，1425xxBy y，若 AB ，则实数m 的可能取值为（）A.1B.0C.2D.310.一组样本数据1x，2x，nx 的均值为3，方差为 4，再插入另外一组样本数据1nx ，2nx ，2n

4、x，且该样本数据的均值为6，方差为5，则下列说法正确的是（）A.总体样本数据的均值为4B.总体样本数据的方差为5.75C.总体样本数据的稳定程度比其他两组低D.将总体样本数据扩大两倍，均值变大，方差不变11.在 ABC中，90B，22ACAB，D 是 AC 的中点，P、Q 分别为 ABD、BCD的内切圆上的动点，则下列说法正确的是（）#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#3 A.21344PB PCPBPC B.ABD内切圆的半径为33C.BCD内切圆的半径为32 32D.PB PCQA QB 的最小值与最大值之和为41 2

5、2 3三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分。12.抛物线：22ypx（0p）的弦 AB 过其焦点 F，过 F 作直线 AB 的垂线交 分别于C、D，若26ABCD，11,A x y，22,B xy，33,C x y，44,D xy，则1234xxxx的值为 _13.已知不等式23331 cos11sinxxxx对于任意的0 x恒成立，则实数 的最大值为 _14.给定大于2 的正整数n，Ri（1in），则12cosijijij nS 的取值范围为 _.#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#4 四、解答题：本

6、题共 5 小题，共 77 分。15.（13 分）如图所示，在正三棱柱111ABCA BC中，2AB，12 3AA，E、F 分别为1AC、1BB 的中点.（1）求证：EF/平面 ABC（2）求三棱锥11BA BC的表面积.#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#5 16.（15 分）已知数列 na满足112a，1112nnaa.（1）令cosnna，0,2n，求数列 n的通项公式；（2）设1nniiSa，求证：1nSn#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#6

7、17.（15 分）已知函数 2222xf xaaxx eax.（1）当0a 时，讨论 f x 的单调性；（2）若函数 f x 在0,上存在极小值，求实数a 的取值范围.#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#7 18.（17 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆：22221xyab（0ab）的离心率为 12，左、右焦点为1F、2F，过1F 的直线交 于 A、B 两点，2ABF的周长为8.（1）求椭圆 的方程；（2）是否存在定圆C 与以 AB 为直径的圆相切？若存在，请求出所有满足条件的定圆C 方程；若不存在，请说明理由.#Q

8、QABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#8 19.（17 分）函数的凹凸性是描述一个函数图象弯曲方向的一个重要性质，定义：二阶导函数非负的函数 f x 称作“下凸函数”，即 0fx.（1）若 f x 为下凸函数，求证：对于任意实数a、b，总有0,1，使得 11fabf af b（2）给定正整数2n，函数 f x 满足以下性质：f x 为下凸函数；00f；f x 在0,上恒正.求最小的实数C，使得对于任意实数ix（1in），均有11maxijijij nij nfxxC fxx 恒成立.#QQABSQIQggCgAABAAAhCQwEqCEAQkAGCCIoOQAAAsAAAiANABAA=#