2021年新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 3.docx

1、空间直角坐标系A级基础巩固1.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,-5)关于Oxy平面对称的点的坐标是()A.(-1,3,-5)B.(1,3,5)C.(1,-3,5)D.(-1,-3,5)解析:点P(1,3,-5)关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,3,5).答案:B2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若向量a在单位正交基底AB,AD,AA1下的坐标为(2,1,-3),则向量a在单位正交基底DA,DC,DD1下的坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)解析:因为a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=-DA+2DC-

2、3DD1,所以向量a在基底DA,DC,DD1下的坐标为(-1,2,-3),故选B.答案:B3.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在Oyz平面内,若BDC=90,DCB=30,则点D的坐标为0,-12,32.解析:如图,过点D作DEBC,垂足为E.在RtBDC中,BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=3,所以DE=CDsin 30=32,OE=OB-BE=OB-BDcos 60=1-12=12,所以点D的坐标为0,-12,32.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=3i,AD=2j,AA1=5k,则向量AC1在单位正交基底i,j,k下的坐标

3、是(3,2,5).解析:AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=3i+2j+5k,所以向量AC1在基底i,j,k下的坐标是(3,2,5).5.如图,PA正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且AB=AP=1,以DA,AB,AP为单位正交基底建立空间直角坐标系,求MN,DC的坐标.解:设DA=e1,AB=e2,AP=e3,则DC=AB=e2,所以DC的坐标为(0,1,0).因为MN=MA+AP+PN=MA+AP+12PC=MA+AP+12(PA+AD+DC)=-12e2+e3+12(-e3-e1+e2)=-12e1+12e3,所以MN的坐标为-12,0,12.B级拓展

4、提高6.已知向量OA和OB在单位正交基底a,b,c下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1).若OC=25AB,则向量OC在单位正交基底a,b,c下的坐标是()A.-65,-45,-85B.65,-45,-85C.-65,-45,85D.65,45,85解析:因为AB=OB-OA=(2b+c)-(3a+4b+5c)=-3a-2b-4c,所以OC=25AB=-65a-45b-85c,所以向量OC在单位正交基底a,b,c下的坐标是-65,-45,-85,故选A.答案:A7.一个向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为32,-12,3.解析:设p=

5、x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.由题意,得x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3.故向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为32,-12,3.8.在正四棱锥V-ABCD中,O为底面中心,若AB=2,VO=3,建立适当的空间直角坐标系,确定各顶点的坐标.解:答案不唯一,如:以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为顶点V在z轴正半轴上,且VO=3,所以它的横坐标与纵坐标都是0,所以点V的坐标是(0,0,3).因为A,B,C,D四点都在Oxy平面上,所以它们的竖坐标都是零.又因为AB=2,O为底面中心,所以点A的坐标是(

6、1,-1,0),点B的坐标是(1,1,0),点C的坐标是(-1,1,0),点D的坐标是(-1,-1,0).9.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以BCD的中心O为坐标原点,OA所在直线为z轴,OC所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,x轴与BC交于点E,M为AB的中点,求OM的坐标.解:由题意,易知OE=13BD=23,BCD的中线长为322=3,则OC=233.所以OA=AC2-OC2=4-43=263.设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,所以OM=12(OA+OB)=12(OA+OC+CB)=12(OA+OC+32CE)=12OA+OC+32(OE-OC)=34O

7、E-14OC+12OA=12i-36j+63k,所以OM的坐标是12,-36,63.C级挑战创新10.多空题如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:AM=(-2,0,1),OB1=(1,1,2).解析:设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,则AM=AD+DM=-DA+12DD1=-2i+0j+122k=-2i+0j+k=(-2,0,1),OB1=OB+BB1=12DB+BB1=12DA+12DC+BB1=122i+122j+2k=i+j+2k=(1,1,2).11.多空题如图,在长方

8、体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.若AB=AD=2,BB1=1,则AD1的坐标为(0,2,1),AC1的坐标为(2,2,1).解析:设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,则AD1=AD+DD1=0i+2j+k=(0,2,1),AC1=AB+AD+AA1=2i+2j+k=(2,2,1).12.多空题在棱长为2的正四面体AOBC中,D是AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点A的坐标是33,1,263,OD的坐标是233,1,63.解析:设x轴、y轴、z轴上的单位向量分别为i,j,k,过点A作AG平面OBC于点G,连接BG,并延长交OC于点M,如图所示,则G为OBC的重心,OM=j,MG=13MB=13322i=33i.在RtABG中,BG=233,所以AG=AB2-BG2=263.所以GA=263k,所以OA=OM+MG+GA=33i+j+263k,即点A的坐标是33,1,263.因为OB=OM+MB=j+3i,所以OD=12(OA+OB)=1233i+j+263k+(3i+j)=233i+j+63k,即OD的坐标是233,1,63.