37、定角夹定高.pdf

1、定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线 BC 外一点 A，A 到直线 BC 距离为定值（定高），BAC 为定角。则 AD 有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形 ABC 当中，BAC 是一个定角，过 A 点作 BC 边的高线，交 BC 边与 D 点，高 AD 为定值。从动态图中（如图定角定高 1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形 ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着 A 点的运动而发生变化的。从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高 AD 是定值，因此三角形 ABC的面积就有一个

2、最小值。我们可以先猜想一下，AD 过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC 的长是最小的，从而三角形 ABC 的面积也是最小的。定角定高1.gsp定角定高.html（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接 OA,OB,OC。过 O 点作 OHBC 于 H 点.（如图 1）显然 OA+OHAD，当且仅当 A,O,D 三点共线时取“=”。由于BAC 的大小是一个定值，而且它是圆 o 的圆周角，因此它所对的圆心角AOB 的度数，也是一个定值。因此 OH 和圆 O 的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH 也和 的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们

3、刚才说的，OA+OHAD，就可以求得圆 O 半径的最小值。简证：OA+OHADOEDH 为矩形，OH=ED，在 RtAOE 中，AOAE，AO+OH=AO+EDAE+ED=AD下面我们根据一道例题来说明它的应用。例：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=4，ADBC，B=60，点 E、F 分别为边 BC、CD 上的两个动点，且EAF=60，则AEF 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理.将ADF 绕 A 点顺时针旋转 120，得ABF，则EAF=60易证AEFAEF，作AEF的外接圆O，作 OHBC

4、 于点 H，AGBC 于点 G，则FOH=60，AG=32 =2 3，设O 的半径为 r，则 OH=2=2.OA+OH AG，+2 2 3，4 33FAE=FAE=12FOE=60FE=3 =12 =12 3 2 3 4 3AEF 的面积最小值为 43以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。解题步骤：1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为 r，用 r 表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距定高”求 r 的取值范围；3.用 r 表示定角定高三角形面积，用 r 取值范围求面积最小

5、值。【针对练习】1.（1）如图 1，在ABC 中，ACB=60，CD 为 AB 边上的高，若 CD=4，试判断ABC 的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.（2）如图 2，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形 ABCD 中，BAD=45，B=D=90，CB=CD=62，点 E、F 分别为边 AB、AD 上的点，若保持 CECF，那么四边形 AECF 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。（1）解：如图 1-1作ABC 的外接圆，连 OA、OB、OC，作 OHAB 于 H设 半径为 r，则 OH=12

6、=12，AB=2AH=232 =3CO+HOCD 即 r+12 4 得 r83=12 =12 3 4=2 3 2 3 83=1633（2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。由于：S四边形 AECF=四边形 ABCD =72 2+72 （+）因此，只要+最小，四边形 AECF面积最大解：如图 1-2 所示在 AB 上找一点 H，使 AH=HC。延长 AB 至 G，使 BG=FD，连 CG，作CEG 的外接圆 证 AC 为BAD 平分线求四边形 ABCD面积。CHB=45，AH=CH=2=12HB=BC=6 2AB=12+6 2四边形 ABCD=2=2 12 =12+6 2 6

7、2=72 2+72CDFCBG，则+=求+=最小面积ECG=135-90=45定角，CB=6 2定高.设 的半径为 r，则 EK=OK=22 =22，EG=2EK=2.CO+OK CB 即 r+22 6 2r 12 2 12.SCEG=12 =12 6 2 2=6 72 2 72求四边形 AECF的最大值。S四边形 AECF=四边形 ABCD =72 2+72 （+）=72 2+72 72 2+72 72 2 72=1442.已知等边ABC，点 P 是其内部一个动点，且 AP=10，M、N 分别是 AB、AC 边上的两个动点，求PMN周长最小时，四边形 AMPN 面积的最大值.分析：PMN 最

8、小值即将军饮马问题。如图 2-1。四边形 AMPN 面积该如何表示？如图 2-2AP=10，则 P 在以 A 为圆心 10 为半径的圆上由轴对称性可知，1=，2=四边形 AMPN=+=1+2=12 12=12 12=1212 1 31=34 2=25 3只要最小，则四边形最大最小，且MAN=60定值，AD=12 1=12 =5 定值，即定角定高问题解：求PMN 周长最小。作 P 关于 AB 的对称点1，作 P 关 AC 的对称点2，连12。此时，PMN周长即为最小（两点之间线段最短）四边形 AMPN 面积表达式。连1、2，过 A 作 AD12 =1，=2，=+=60 1+2=+=6012=1+

9、2=120又=1=2=1012=21=30AD=12 1=51=2=32 1=5 312=21=10 312=12 12=25 3四边形=12 =25 3 当最小时，四边形最大求的最小值。如图 2-3作AMN 的外接圆，连 OA、OM、ON，作 OHMN 于 H.设 的半径为 r，则 OH=12 =12，=2=2 32 =3.AO+OH，即+2 5，r103.=12 =12 5 3=523 2533四边形=12 =25 3 25 3 2533=5033四边形 AMPN 面积最大值为5033这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果

10、没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。【同类配题】1.如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD=4 2，B=45，D=135，点 E，F 分别是射线 CB、CD 上的动点，并且EAF=C=60，求AEF 的面积的最小值.2.如图 4，四边形 ABCD 中，A=135，B=60，D=120，AD=5，AB=6，E、F 分别为边 BC 及射线CD 上的动点，EAF=45，求AEF 面积的最小值.3.如图 5，四边形 ABCD 中，B=D=60，C=90，AD=2AB=2，M、N 分别在直线 BC、CD 边上，MAN=60，求AMN 面积最小值.4.如图 6，四边形 ABCD 边长为 6 的菱形，其中，=60，E、F 分别在射线 AB、BC 上，EDF=90，求EDF 面积的最小值.