Z20 数学答案（后附评分细则）.pdf

1、Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 1 页 共 15 页 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案（后附评分细则）一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8解法一：不妨设()()1,0,2,0ab=，(),cx y=，因为12cacb=，所以()()22221122xyxy+=+，即2240 xxy+=，由图可知，向量 cb与 a 夹角的最大值是 6.解法二：2 cacb=，2 cbbacb+=，又2ba=，()23cbacb=，

2、则()()()222469cbacbacb+=，即()()28120cbacb+=，即()()2128cbacb+=，所以()()()()222 12123cos,288cbacbcba cba cbcbcb+=，向量 cb与 a 夹角的最大值是 6.二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分.每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）11解析：如图，过 A、B 作准线1y=的垂线，垂足分别为 H、G，设线段 AB 的中点为 C，C 在准线上的射影为 D.当线段 AB 为通径时长度最小为 24p=，故 A 正确；题

3、号12345678答案B A B D C C D B 题号9101112答案AC BC ABD ACD yxOacbcbZ20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 2 页 共 15 页 因为1212ABxxkp+=，故 B 正确；因为直线1y=为抛物线准线，由抛物线定义可知弦 AB 的中点到准线的距离 CD 等于()11|22BGAHAB+=，故圆与直线1y=相切，所以点 M 在该圆的圆上或者圆外，故 C 错误；由题意(0,1)M，设211(,)4xA x，222(,)4xB x，直线 AB 方程为1ymx=+，则214ymxxy=+=可得2440

4、 xmx=，所以12124,4xxm x x+=，2212121122111144,44MAMBxxxxkkxxxx+=+=+,1212121212121211044444MAMBxxxxxxxxxxkkxxx x+=+=+=，所以直线 MA 与直线 MB 的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以AMO=BMO，故 D 正确（D 选项也可用平面几何三角形相似得到），故选：ABD.12解析：ln()xf xx=，21ln()xfxx=，()f x在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，又2211lnlneexxxkx=，当0k 时，要使12xx+越小，则取21e1xx=，故有121xx+，

5、故 A 正确；又21exx 与均可趋向于+，故 B 错误；当0k，21exx=，且1(0,1)x，1211ln1xxxx+=+，故 C 正确；21eekkxkx=，令()e,0kg kkk=，()(1)ekg kk=+，()g k在(,1)单调递减，在(1,0)单调递增，1()(1)eg kg=，故 D 正确，故选：ACD.三、填空题（本大题有 4 小题，单空每空 4 分，多空每空 3 分，共 20 分）13；14122n+；1563；16132a=16解析：直线l 的方程可化为()3230a xyxy+=，由 23030 xyxy+=，解得直线l 的恒过定点()2,1，Z20 名校联盟（浙江

6、省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 3 页 共 15 页 又点C 到直线l 的距离为()()222424222521aadaaaa+=+，因为2211sin2=222ABCSrBCArr=，则当 ABC的面积最大为 2 时，ABC为等腰直角三角形，圆心 C 到直线l 的距离为242=22225ardaa+=+，解得132a=四、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17解：（1）()()3sincoscosbACcaB=，()()sin3sincossinsincosBACCAB=，则()3sinsinsinsin

7、cosABBCAB=+，即3sinsinsinsincosABAAB=，sin0,3sincos1,ABB+=即有1sin(),62B+=7(,),666B+23B=；5 分（2）若选O 为 ABC的重心，11 15 3sin33 24OACBACSSacB=；10 分若选O 为 ABC的内心，2222cos49bacacB=+=，7b=，设内切圆半径为r，则有 115 3()24ABCabc rS+=，则有32r=，此时17 324OACSbr=；10 分若选O 为 ABC的外心，2222cos49bacacB=+=，7b=，设外接圆半径为 R，则 2RsinbB=，解得 R7 33=，如图

8、，23AOC=,ABCEFDOABCOABCEOZ20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 4 页 共 15 页 此时,2149 3R sin212OACSAOC=.10 分18解：（I）1111nnnnnaSSSS=+（Nn且2n），1nnnaSS=+，当2n 时，11nnnnSSSS=+，()()111nnnnnnSSSSSS+=+，又0na，所以10nnSS+，11(2)nnSSn=，数列nS是以111Sa=为首项，公差为 1 的等差数列，1(1)1nSnn=+=，所以2nSn=.4 分当2n 时，1121nnnaSSnnn=+=+=，又11

9、a=满足上式，数列 na的通项公式为21nan=.6 分另解：当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn=，当1n=时，11a=，满足上式，所以 na的通项公式为21nan=.6 分（II）当2n 时，221111114441nannnn=，故22211111111111111141223144naannn+=+=，所以对,2nNn，都有222111114naa+.12 分19解：（I）方法一：延长,CB DA交于点 F，连接 PF，在CDF中，BD 是ADC的平分线，且 BDBC，点 B 是 CF 的中点，又 E 是 PC 的中点，BE PF，又 PF 平面 PAD，BE 平面 PAD，

10、直线 BE 平面 PAD.6 分方法二：取CD 的中点为 G，连接GE，E 为 PC 的中点，GE PD，又 PD 平面 PAD，GE 平面 PAD，FPABCDEZ20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 5 页 共 15 页 GE 平面 PAD，又在四边形 ABCD 中，2AD=，4BD=，2 3AB=，则90,60BADBDABDC=,又因为 BDBC，G 为CD 的中点，所以60DBGBDA=,所以 AD BG，可得 BG 平面 PAD，由得平面 BEG 平面 PAD，又 BE 平面 BEG，BE 平面 PAD，直线 BE 平面 PAD.6

11、 分（II）在 ABD中，2AD=，4BD=，2 3AB=，则90BAD=，即 BAAD，由已知得60BDCBDA=，8CD=，又平面 PAD 平面 ABCD，BA 平面 ABCD，所以 BA 平面 PAD，即 BAPA，所以PAD为二面角 PABD的的平面角，所以60PAD=，又2PAAD=，所以 PAD为正三角形，取 AD 的中点为 O，连 OP，则OPAD，OP 平面 ABCD，如图建立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,1,2 3,0,5,4 3,0,1,0,0,0,0,3ABCDP,所以()()()1,0,3,2,2 3,0,4,4 3,0DPBDDC=,设()()11

12、1222,mx y znxyz=分别为平面 PBD 和平面 PCD 的法向量，则00m DPm BD=，即11113022 30 xzxy+=，取11y=，则()3,1,1m=，00n DPn DC=，即22223044 30 xzxy+=+=，取21y=，则()3,1,1n=，所以3cos,5m nm nmn=，则平面 PBD 和平面 PCD 所成夹角的余弦值为 35.12 分20解：（I）由题意得45670.20.30.40.55.5,0.3544xy+=，又417 0.56 0.45 0.34 0.8.22iiix y=+=，PABCDEGPABCDEOxyzZ20 名校联盟（浙江省名校

13、新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 6 页 共 15 页 4148.24 5.5 0.350.5iiix yx y=42222217654126,iix=+=4222141264 5.55iixx=41422140.50.154iiiiix yxybxx=，所以0.350.1 5.50.2aybx=，故得 y 关于 x 的线性回归方程为0.10.2yx=.5 分（II）（）将8x=代入0.10.20.1 80.20.6yx=，估计该省要发放补贴的总金额为0.6 1000 0.5300=（万元）7 分（）设小浙、小江两人中选择考研的的人数为 X，则 X 的所有可能值为

14、0，1，2；2(0)(1)(23)352P Xpppp=+，2(1)(1)(31)(23)661P Xpppppp=+=+，2(2)(31)3P Xpppp=，()()()222()035266113241E Xppppppp=+=，5(0.5)0.5(41)0.758EXpp=，1031 113pp ，1385p,故 p 的取值范围为 1 5,3 8.12 分 注：p 的取值范围未取等不符不扣分21解：（I）因为2 33cea=，所以222243caab=+，即223ab=，Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 7 页 共 15 页 又点(

15、)3,2 在双曲线()2222:10,0 xyCabab=图象上，所以22921ab=，即229213bb=，解得221,3ba=，所以双曲线22:13xCy=.4 分（II）由已知点,A B 在以OP 为直径的圆22220000224xyxyxy+=上，又点,A B 在221xy+=上，则有方程组2222000022,2241,xyxyxyxy+=+=解得直线 AB 的方程为001x xy y+=，设直线 AB 与渐近线33,33yx yx=的交点分别为,M N，由001,3,3x xy yyx+=解得0000313(,)3333Mxyxy+，由001,3,3x xy yyx+=解得0000

16、313(,)3333Nxyxy，所以220022220000000000332 311333(1333333333xyMNxyxyxyxyxy+=+=+）（），又点 O 到直线 AB 的距离为22001dxy=+，则三角形 MON 的面积22002222220000002 31113131122333xySMNdxyxyxy+=+，又因为220013xy=，所以20318333Sy=+20398y=+，由已知333S=，解得203y=，即03y=，因为点 P 在双曲线右支上，解得02 3x=，即点()2 3,3P或()2 3,3P.12 分Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023

17、届高三第一次联考 数学参考答案 第 8 页 共 15 页 22解：（I）当22ea=时，()22211lnln1eef xxxxxxxx=，要证()0f x，即证21ln10exx，设()21ln1,0eg xxx x=，令()2110egxx=，解得2ex=，所以()g x 在()20,e上递增，在()2e,+上递减，则()()2222max1elne1e0eg xg=，所以()0g x，即21ln10exx 成立，所以()0f x 成立.5 分（II）因为对任意的0,()xH x在(0,)+上单调递减，所以()0H x恒成立，即eln1xxxax在(0,)+上恒成立，解法一：令eln1()

18、(0)xxxF xxx=，则22eln()xxxF xx+=，令2()elnxh xxx=+，则()21()2e0 xh xxxx=+，所以()h x 在(0,)+上为增函数，又因为11e2e21e(1)e0,1e10eehh=，所以01,1ex，使得()00h x=，即0200eln0 xxx+=，当00 xx时，()0h x，可得()0F x，所以()F x 在()00,x上单调递减；当0 xx时，()0h x，可得()0F x，所以()F x 在()0,x+上单调递增，所以()000min00eln1()xxxF xF xx=，由0200eln0 xxx+=，可得001ln000000l

19、n111elnlnexxxxxxxx=，Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 9 页 共 15 页 令()ext xx=，则()001lnt xtx=，又由()(1)e0 xt xx=+，所以()t x 在(0,)+上单调递增，所以001lnxx=，可得00ln xx=，所以001exx=，即00e1xx=，所以()0000min000eln111()1xxxxF xF xxx+=，即得1a .12 分解法二：先证 e1xx+（0 x），设函数()e1xh xx=，令()e10 xh x=，解得0 x=，()h x 在)0,+上单调递增，()

20、()00h xh=，即e1xx+成立.设()lnk xxx=+（0 x），()110kxx=+，()k x 在()0,+上单调递增，()1110,110eekk=+=，存在()00,x+，使得00ln0 xx+=.令eln1()(0)xxxF xxx=，则()lnlneeln1eln1ln1ln11xxx xxxxxxF xxxx+=，当 ln0 xx+=时，即0 xx=时，取等号.()min1F x=，即得1a .12 分 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 10 页 共 15 页 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届

21、高三第一次联考 数学试卷阅卷细则13-16（每题 5 分，共 20 分）以数值正确为准，注：第 16 题给出一个正确数值得 3 分.17（本题满分 10 分）（）5 分1、有正确结论，23B=，有过程，5 分（无过程，3 分）2、无正确结论，找得分点：1()3sinsinsinsincosABBCAB=+，2 分21sin()62B+=，2 分323B=，1 分（）5 分1、有正确结论，有过程，5 分（无过程，3 分）2、无正确结论，找得分点：115 3sin24ABCSacB=，2 分 15 334OACABCSS=，3 分 2222cos49bacacB=+=，7b=，2 分解得内切圆半径

22、32r=，2 分17 324OACSbr=，1 分2222cos49bacacB=+=，7b=，2 分 解得 R7 33=，2 分 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 11 页 共 15 页 解得2149 3sin212OACSRAOC=，1 分 18（本题满分 12 分）（）6 分1、有正确结论，得21nan=，有过程，6 分（无过程，2 分）2、无正确结论，找得分点：11nnnaSS=+，2 分22nSn=，2 分321nan=，2 分（）6 分1、有正确证明过程，6 分（无过程，不得分）2、证明有误，找得分点：221111114441

23、nannnn=，3 分 22211111111111111141223144naannn+=+=，3 分19（本题满分 12 分）（）6 分1、有证明过程，6 分（无过程，不得分）2、证明有误，找得分点：方法一：1 BDBC，2 分2 BE PF，2 分3 直线 BE 平面 PAD，2 分方法二：1 取 CD 的中点为 G，GE PD，2 分2 AD BG，2 分3 由平面 BEG 平面 PAD 得直线 BE 平面 PAD，2 分Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 12 页 共 15 页（）6 分1、有正确结论 35，有过程，6 分（无过程

24、，3 分）2、无正确结论，找得分点：60PAD=，1 分 有建系思想，1 分3求出法向量()3,1,1m=，()3,1,1n=，2 分（法向量计算错误但有法向量计算公式的给 1 分）解得余弦值为 35，2 分（结论错误但有法向量夹角计算公式的给 1 分）其他证法酌情给分20（本题满分 12 分）（）5 分1、有正确结论：0.10.2yx=，有过程，5 分（无过程，2 分）2、无正确结论，找得分点：4148.24 5.5 0.350.5iiix yx y=，4222141264 5.55iixx=，41422140.50.154iiiiix yxybxx=，3 分 0.350.1 5.50.2a

25、ybx=，1 分 得0.10.2yx=，1 分（）7 分（）1、有正确结论：300 万元，有过程，2 分（无过程，1 分）2、无正确结论，找得分点：将8x=代入0.10.20.1 80.20.6yx=，1 分 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 13 页 共 15 页（）1、有正确结论：300 万元，有过程，5 分（无过程，2 分）2、无正确结论，找得分点：2(0)(1)(23)352P Xpppp=+，2(1)(1)(31)(23)661P Xpppppp=+=+，2(2)(31)3P Xpppp=，()()()222()03526611

26、3241E Xppppppp=+=，3 分 解 1358p，2 分（1358p或 1358p或 1358p均得 2 分）21（本题满分 12 分）（）4 分1、有正确结论：双曲线22:13xCy=，有过程，4 分（无过程，2 分）2、无正确结论，找得分点：得223ab=，1 分点()3,2 代入()2222:10,0 xyCabab=，得22921ab=，1 分解得221,3ba=，双曲线22:13xCy=，2 分（）8 分1、有正确结论：点()2 3,3P或()2 3,3P，有过程，8 分（无过程，3 分，只写出一个坐标的扣 1 分）2、无正确结论，找得分点：解得直线 AB 的方程为001x

27、 xy y+=，1 分 由001,3,3x xy yyx+=解得0000313(,)3333Mxyxy+，1 分Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 14 页 共 15 页 由001,3,3x xy yyx+=解得0000313(,)3333Nxyxy，1 分220022220000000000332 311333(1333333333xyMNxyxyxyxyxy+=+=+）（），点 O 到直线 AB 的距离为22001dxy=+，三角形 MON 的面积22002222220000002 31113131122333xySMNdxyxyxy+

28、=+20398y=+，3 分4 点()2 3,3P或()2 3,3P，2 分本小题其他解法酌情给分22（本题满分 12 分）（）5 分找得分点累加：要证()0f x，即证21ln10exx，1 分设()21ln1,0eg xxx x=，得()g x 在()20,e上递增，在()2e,+上递减，2 分()()2222max1eln e1e0eg xg=，即21ln10exx 成立，2 分（）7 分1、有正确结论：1a ，有过程，7 分（无过程，2 分）2、无正确结论，找得分点：由()0H x恒成立，得eln1xxxax，2 分令eln1()(0)xxxF xxx=，得()F x 在()00,x上单调递减；在()0,x+上单调递增，2 分Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023 届高三第一次联考 数学参考答案 第 15 页 共 15 页 01,1ex，使得0200eln0 xxx+=，1 分求得()0000min000eln111()1xxxxF xF xxx+=，即1a ，2 分本小题其他解法酌情给分下载免费高中模拟卷到公众号：一枚试卷君（微信扫码）资料免费下载系列1.2023 试题调研第一辑九科完整电子免费下载领 取 方 法：关 注 公 众 号【一 枚 试 卷 君】后 台 回 复“试 题 调 研”即 可 免 费 下 载