2021新高考2版数学一轮讲义：第三章 第五节　导数的综合应用（二） WORD版含解析.docx

1、第五节导数的综合应用(二)与函数零点有关的证明问题典例1已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.证明(1)f(x)的定义域为(0,+).f (x)=x-1x+ln x-1=ln x-1x.易知f (x)单调递增,又f (1)=-10,故存在唯一x0(1,2),使得f (x0)=0.又当0xx0时, f (x)x0时, f (x)0, f(x)单调递增.所以f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)0,所以f(x)=0在(x0,+)内存在唯一根x=.由1x0得110;当x(3-23,3+

2、23)时, f (x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,当且仅当x=0时,g (x)=0,所以g(x)在(-,+)上单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上, f(x)只有一个零点.函数零点个数的探讨问题典例2设函数f(x)=12x2-mln x,g(x)=x2-(m+1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.解析(

3、1)函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=x-mx=x2-mx,当m0时, f (x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,当m0时, f (x)=(x+m)(x-m)x,所以当0xm时, f (x)m时, f (x)0,函数f(x)单调递增.综上,当m0时, f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,函数f(x)的单调增区间是(m,+),单调减区间是(0,m).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-12x2+(m+1)x-mln x,x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数问题,F(x)=-(x-1)(x-m)x,若m=1,则F(x)0,F(x)为减函数,因为F(1)=320,F

4、(4)=-ln 41,则0xm时,F(x)0;1x0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,+)上单调递减,在(1,m)上单调递增,因为F(1)=m+120,F(2m+2)=-mln(2m+2)0).(1)求f(x)的单调区间;(2)试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)函数f(x)的定义域是(0,+),f (x)=(x)ln x+x1x=x(lnx+2)2x.令f (x)0,解得xe-2,令f (x)0,解得0x2e时, f(x)min0, f(x)无零点,a=2e时, f(x)min=0, f(x)有1个零点,a2e时, f(x)min0, f(x)有2个零点.已知零点个数求参数

5、的取值范围典例3已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在1e,e上有两个零点,求实数m的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=2ln x-x2+2x,则f (x)=2x-2x+2,由题意知切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f (1)=2,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=f(x)-ax+m=2ln x-x2+m,则g(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x,由g(x)=0,得x=1.x1e,e,当1ex0,函数g

6、(x)单调递增,当1xe时,g(x)0,g1e=m-2-1e20,g(e)=m+2-e20,解得1m2+1e2.故实数m的取值范围是1,2+1e2.3-1已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(-,+),f (x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),(i)若a0,则f (x)0,令f (x)=0,得x=-ln a.当x(-,-ln a)时, f (x)0,所以f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.综上,当a0时, f(x)在

7、(-,+)上单调递减;当a0时, f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.(2)(i)若a0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.(ii)若a0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值f(-ln a)=1-1a+ln a.当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;当a(1,+)时,由于1-1a+ln a0,即f(-ln a)0,故f(x)没有零点;当a(0,1)时,1-1a+ln a0,即f(-ln a)-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)有一个零点.设正整数n0满足n0ln3a-1,则f(n0)=en0(

8、aen0+a-2)-n0en0-n02n0-n00.由于ln3a-1-ln a,因此f(x)在(-ln a,+)有一个零点.综上,a的取值范围是(0,1).1.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则实数a的取值范围是() A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)答案C显然当a=0时, f(x)=-3x2+1=0有两个不同的零点(舍去).因为f(x)=ax3-3x2+1,所以f (x)=3axx-2a.当a0时,函数f(x)在(-,0),2a,+上单调递增,在0,2a上单调递减,且f(0)=1,所以f(x)在(-,0)内存在一个零点(

9、舍去).当a0,需f2a0,即1-4a20,解得a0时,由f (x)=0得x=ln a.若xln a,则f (x)ln a,则f (x)0.所以函数f(x)在区间(-,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+)上单调递增, f(x)的最小值为f(ln a)=a(1-ln a).当0a0, f(x)无零点;当a=e时, f(ln a)=a(1-ln a)=0, f(x)只有一个零点;当ae时, f(ln a)=a(1-ln a)0与函数的单调性,可知f(x)在区间(-,ln a)和(ln a,+)上各有一个零点, 故f(x)共有两个零点.当a=0时, f(x)=ex,易知f(x)无零点.当a0

10、时,由f(x)=0,得ex=ax,易知曲线y=ex与直线y=ax只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.综上所述,当0ae时, f(x)无零点;当ae时, f(x)有两个零点.3.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同的零点,求c的取值范围.解析(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,则f (x)=3x2+2ax+b,则斜率k=f (0)=b,又f(0)=c,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y-c=bx,即bx-y+c=0.(2)当a=b=4时, f(x)=x3+4x2

11、+4x+c,则f (x)=3x2+8x+4,因为函数f(x)有三个不同的零点,所以f(x)有两个不同的极值点,且极小值小于0,极大值大于0,由f (x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x1=-2,x2=-23,又f(-2)=c, f-23=-3227+c,所以c0,-3227+c0,解得0c0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f (x)=x-kx=x2-kx,令f (x)0,得xk;令f (x)0,得0x0, f(e)=e2-kln e=e-k20,所以f(x)在区间(1,e上仅

12、有一个零点.5.已知函数f(x)=ln x-x+1x-1.判断f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.解析f(x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f (x)=1x+2(x-1)20,所以f(x)在(0,1),(1,+)上单调递增.证明:因为f(e)=1-e+1e-10,所以f(x)在(1,+)上有唯一零点,设为x1,即f(x1)=0.又01x10时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间12,+上有两个零点,求实数k的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f (x)=-ax+1+a-1x=-(

13、ax-1)(x-1)x(a0),当a(0,1)时,1a1.由f (x)1a或0x1.所以f(x)的单调递减区间为(0,1),1a,+;当a=1时,恒有f (x)0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+);当a(1,+)时,1a1.由f (x)1或0x1a.所以f(x)的单调递减区间为0,1a,(1,+).综上,当a(0,1)时,f(x)的单调递减区间为(0,1),1a,+;当a=1时, f(x)的单调递减区间为(0,+);当a(1,+)时, f(x)的单调递减区间为0,1a,(1,+).(2)由题意知,当a=0时,g(x)=x2-xln x-k(x+2)+2在x12,+上有两个零点,即关于x的方程k=x2-xlnx+2x+2在x12,+上有两个不相等的实数根.令h(x)=x2-xlnx+2x+2,x12,+,则h(x)=x2+3x-2lnx-4(x+2)2,x12,+,令p(x)=x2+3x-2ln x-4,x12,+,则p(x)=(2x-1)(x+2)x,则在12,+上有p(x)0,故p(x)在12,+上单调递增.因为p(1)=0,所以当x12,1时,有p(x)0,即h(x)0,即h(x)0,所以h(x)在(1,+)上单调递增.因为h12=910+ln25,h(1)=1,且当x+时,h(x)+,所以k的取值范围是1,910+ln25.