2021版高考数学一轮复习浙江专用精练：5-3　正弦、余弦定理及解三角形（试题部分） WORD版含解析.docx

1、5.3正弦、余弦定理及解三角形探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点正弦、余弦定理1.理解正弦定理、余弦定理的推导过程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能灵活运用.2019浙江,14,6分正弦定理两角差的余弦公式2018浙江,13,6分正弦、余弦定理解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与三角形有关的几何问题以及和测量有关的实际问题.2016浙江,16,14分解三角形两角和的正弦公式2015浙江,16,14分解三角形二倍角公式分析解读1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2.高考命题仍会以三角形为

2、载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查.3.预计2021年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点一正弦、余弦定理1.(2019浙江名校协作体联考,3)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=45,B=60,b=3,则a=() A.2B.6C.322D.326答案A2.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知ABC的面积为332,A=60,D是边AC上一点,AD=2DC,BD=2,则AB=,cos C=.答案2;2773.(2020届浙江师大附中11月模拟,14)在ABC中,C=45,AB=6,D为BC边上的点

3、,且AD=5,BD=3,则cos B=,AC=.答案59;8734.(2020届浙江镇海中学期中,19)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=3,a2=c2-3c+9.(1)求A;(2)求sin2B+sin2C的取值范围.解析(1)在ABC中,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=9+c2-(c2-3c+9)2bc=12,又ABC为锐角三角形,所以A=3.(2)解法一:sin2B+sin2C=sin2C+3+sin2C=12sinC+32cosC2+sin2C=34sin 2C-14cos 2C+1,故sin2B+sin2C=12sin2C-6+1,又因为AB

4、C是锐角三角形,所以C6,2,则sin2C-612,1,故sin2B+sin2C的取值范围是54,32.解法二:根据正弦定理可得sin B=b2R,sin C=c2R,2R=asinA,其中R为ABC外接圆的半径.A=3,b=3,所以sin2B+sin2C=34c2+9c2+9-3c,又因为ABC为锐角三角形,所以b2+a2-c20,a2+c2-b20,b2+c2-a20,解得32ca,bc,所以B为ABC中最大的角,当c=5时,cos B=a2+c2-b22ac0,与ABC为钝角三角形矛盾,舍去,当c=3时,cos B=a2+c2-b22aca,所以BA=3,所以C0,则B0,2,又A(0,

5、),故-2A-B0,由cos B求sin B仅有一正解.7.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.解析本题主要考查正弦定理、余弦定理,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5.所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin A=absin B=3314.在ABC中,

6、B+C=-A.所以sin(B+C)=sin A=3314.8.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cos B=23,求c的值;(2)若sinAa=cosB2b,求sinB+2的值.解析本小题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.考查了数学运算的核心素养.(1)因为a=3c,b=2,cos B=23,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,得23=(3c)2+c2-(2)223cc,即c2=13,所以c=33.(2)因为sinAa=cosB2b,由正弦定理得cosB2b=sinBb,所以cos

7、 B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sin B0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.9.(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A

8、=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将

9、已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.10.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得ta

10、n B=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D

11、.6答案C2.(2019课标全国理,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案633.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.答案3;(2,+)4.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)5.(2019课标全国文,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围

12、.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0

13、C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.(2)用正弦定理先表示出a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC面积的取值范围.6.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+

14、c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.思路分析(1)由sin A+3cos A=0,可求得tan A=-3,注意到A是三角形内角,得A=23,再由余弦定理求c.(2)由题意知CAD=2,BAD=6,于是可求得SABDSACD的值,再由SABC=1242sinBAC=23得解.一题多解(2)1题多解1:由余弦定理得cos C=27,在RtACD中,cos C=ACC

15、D,CD=7,AD=3,DB=CD=7,SABD=SACD=1227sin C=737=3.1题多解2:BAD=6,由余弦定理得cos C=27,CD=7,AD=3,SABD=1243sinDAB=3.1题多解3:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=23-2=6,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=12SABC=121224sinCAB=3.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理1.(2017课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0

16、,a=2,c=2,则C=() A.12B.6C.4D.3答案B2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=() A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21134.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为.答案85.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案76.(

17、2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.答案17.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案68.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32

18、+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5.所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin C=cbsin B=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cos C=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=437.9.(2018课标全国理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45

19、=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三

20、角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.10.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.11.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos

21、 B=45,C=4.(1)求AB的长;(2)求cosA-6的值.解析(1)因为cos B=45,0B,所以sin B=1-cos2B=1-452=35.由正弦定理知ACsinB=ABsinC,所以AB=ACsinCsinB=62235=52.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cosB+4=-cos Bcos 4+sin Bsin4,又cos B=45,sin B=35,故cos A=-4522+3522=-210.因为0A0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAk

22、sinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以

23、及两角和的正弦公式.13.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2

24、+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考点二解三角形及其综合应用1.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.答案752.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案13.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由题设知2B,所以0A2.所以A=3

25、.(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,所以AC边上的高为asin C=73314=332.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.4.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,

26、考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B=a23sinA,然后利用正弦定

27、理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将12csin B=a3sinA变形为12sin Csin B=sinA3sinA.(2)三角形面积公式:S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.(3)三角形的内角和为.

28、这一性质经常在化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.5.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,所以ac=

29、172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.6.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3

30、732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.7.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin A

31、cos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=12,所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的边与角的关系,通过正弦定理转化为角之间的关系,再运用三角函数知识求

32、解.8.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(6分)(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.(11分)因为0A34,所以当A=4时,2cos A+cos C取得最大值1.(13分)思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用

33、三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.9.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tanA2=1-cosAsinA;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tanA2+tanB2+tanC2+tanD2的值.解析(1)证明:tanA2=sinA2cosA2=2sin2A22sinA2cosA2=1-cosAsinA.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tanA2+tanB

34、2+tanC2+tanD2=1-cosAsinA+1-cosBsinB+1-cos(180-A)sin(180-A)+1-cos(180-B)sin(180-B)=2sinA+2sinB.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(ABAD+BCCD)=62+52-32-422(65+34)=37.于是sin A=1-cos2A=1-372=2107.连接AC.同理可得cos B=A

35、B2+BC2-AD2-CD22(ABBC+ADCD)=62+32-52-422(63+54)=119,于是sin B=1-cos2B=1-1192=61019.所以tanA2+tanB2+tanC2+tanD2=2sinA+2sinB=27210+219610=4103.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查方程、化归与转化等数学思想.10.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得

36、a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=3310=1010,由题设知0B0,所以A0,4.于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对学生思维的严谨性有较高要求.12.(2015陕

37、西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217,又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=

38、32114.所以ABC的面积为12absin C=332.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分) 1.(2019浙江高考信息优化卷(一),7)在ABC中,BAC,B,C所对的边分别是a,b,c,AD为BC边上的高.已知AD=36a,b=1,则c+1c的最大值为()A.4B.3C.2D.1答案A2.(2019浙江嵊州期末,6)在ABC中,sin(A-B)+sin C=1,且BC=2AC,则B=()A.8B.4C.8或38D.4或34答案A二、填空题(每空3分,共54分)3.(2020届浙江浙南名校联盟联考,13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=1,c=2且2cos

39、 A(bcos C+ccos B)=a,则A=;若M为边BC的中点,则|AM|=.答案3;724.(2020届浙江“超级全能生”联考,14)在ABC中,D为AC的中点,若AB=463,BC=2,BD=5,则cosABC=,sin C=.答案66;2105215.(2019浙江杭州二模,13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-14,则sin C=;当a=2,2sin A=sin C时,b=.答案104;6或266.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,b+c=12,B=120,则b-c=,si

40、n(B+C)=.答案2;33147.(2019浙江名校新高考研究联盟联考,14)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60,且ABC外接圆的半径为3,则a=,若b+c=33,则ABC的面积为.答案3;3328.(2018浙江名校协作体,14)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2b,sin C=34,则sin B=;若2a2+b2+c2=4,则ABC面积的最大值是.答案38;559.(2020届浙江Z20联盟开学联考,14)在ABC中,ACB=90,点D,E分别在线段BC,AB上,AC=BC=3BD=6,EDC=60,则BE=,cosCED=.答案32+6;

41、2210.(2019浙江高考数学仿真卷(三),14)已知锐角ABC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=1,a2-c2=bc,则acosC=,1tanC-1tanA的取值范围是.答案2;1,23311.(2019浙江高考数学仿真卷(一),14)如图,等腰ABC中,AC=BC,AB=1,C=20,ABD=60,BAE=50,则CEcos20=,BDE=.答案2;30三、解答题(共30分)12.(2019浙江宁波北仑中学模拟,18)在ABC中,a,b,c是三个内角A,B,C对应的三边,已知b2+c2=a2+bc.(1)求A的大小;(2)若sin Bsin C=34,试判断ABC的形状,并

42、说明理由.解析(1)由已知得,b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12,0A,A=3.(2)ABC为等边三角形.理由如下:A+B+C=,A=3,C=23-B.由sin Bsin C=34得sin Bsin23-B=34,即sin Bsin23cosB-cos23sinB=34,32sin Bcos B+12sin 2B=34,34sin 2B+14(1-cos 2B)=34,即32sin 2B-12cos 2B=1,sin2B-6=1.又0B23,-62B-676,2B-6=2,即B=3.A=3,ABC为等边三角形.13.(2020届浙江省重点高中统练,18)已知m=3

43、sinx4,1,n=cosx4,cos2x4,记f(x)=mn.(1)若f(x)=1,求cosx+3的值;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求f(2A)的取值范围.解析本题考查平面向量的数量积、三角恒等变换以及解三角形等知识;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)=3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2+12+12cosx2=sinx2+6+12,由f(x)=1可得sinx2+6=12,所以cosx+3=1-2sin2x2+6=1-214=12.(2)由(2a-c)cos B=bcos C可得2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A,所以cos B=12,所以B=3,所以A+C=23,由A0,2,且C=23-A0,2,解得A6,2,所以A+63,23,所以sinA+632,1,所以f(2A)=sinA+6+121+32,32.故f(2A)的取值范围为1+32,32.