2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷.docx

1、2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知a=(2，5，8)，b=(-3，4，-4)，则a+b=（）A（5，1，4）B（3，9，12）C（1，1，4）D（1，9，4）2（5分）双曲线x25-y24=1的焦距等于（）A1B2C3D63（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x4y+70平行的直线方程是（）Ax2y+40B2x+y70C2xy10Dx+2y804（5分）在等比数列an中，a1+a22，a5+a64，则a9+a10（）A2B4C6D85（5分）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F0（D2+E24F0）关于直线y

2、x对称，则有（）AD+E0BDECDFDEF6（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60若M是PC的中点，则|BM|=（）A34B34C33D327（5分）已知数列an满足an+1an2n11，且a110，则an的最小值是（）A15B14C11D68（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，ABF2的内切圆的圆心为I，若3IB+4IA+5IF2=0，则该椭圆的离心率是（）A23B55C34D12二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9（

3、5分）下列说法中，正确的有（）A直线ya（x+2）+3（aR）必过定点（2，3）B直线y2x1在y轴上的截距为1C直线3x-y+2=0的倾斜角为60D点（1，3）到直线y20的距离为1（多选）10（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若a10，公差d0，则下列命题正确的是（）A若S5S9，则必有S140B若S5S9，则必有S7是Sn中最大的项C若S6S7，则必有S7S8D若S6S7，则必有S5S6（多选）11（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（）AAG平面PBDB直线FG和直线AB所成的角为4

4、C当点T在平面PBD内，且TA+TG2时，点T的轨迹为一个椭圆D过点E，F，G的平面与四棱锥PABCD表面交线的周长为22+6（多选）12（5分）已知抛物线C：y22px（p0）与圆O：x2+y25交于A，B两点，且|AB|4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A若直线l的斜率为33，则|MN|8B|MF|+2|NF|的最小值为3+22C若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0，62)，则点M的横坐标为32D若点G（2，2），则GFM周长的最小值为3+5三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）等差数列an中a22，a48，则数列an的前5项和S5

5、14（5分）若空间向量a=(1，1，1)，b=(1，0，1)，c=(1，2，m)共面，则实数m 15（5分）写出与两圆（x1）2+y21，x2+y210x+6y+180均相切的一条直线方程为 16（5分）椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心已知长方形R的四条边均与椭圆C：x26+y23=1相切，则C的蒙日圆方程为 ；R的面积的最大值为 四、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设圆的方程为x2+y24x50，（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程18（12分）设Sn为数列an

6、的前n项和，已知an0，且an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an，n为奇数1anan+2，n为偶数，求数列bn的前20项和T2019（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABAC，ABACAA11，M为线段A1C1上一点（1）求证：BMAB1；（2）若直线AB1与平面BCM所成角为4，求点A1到平面BCM的距离20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD为等边三角形，ADBC，ADCD2BC2，E，F分别为棱PD，PB的中点（1）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；（2）在棱PC上是否存在点G，使得DG

7、平面AEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由21（12分）已知公比大于1的等比数列an满足a2+a420，a38（1）求an的通项公式；（2）记bm为an在区间（0，m（mN*）中的项的个数，求数列bm的前50项和S5022（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2=1(a1)，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且sinPF1F2=13（1）求椭圆C的方程；（2）过点S(0，-13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由2022-2023

8、学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知a=(2，5，8)，b=(-3，4，-4)，则a+b=（）A（5，1，4）B（3，9，12）C（1，1，4）D（1，9，4）【解答】解：根据题意可得a+b=(2-3，5+4，8-4)=(-1，9，4)故选：D2（5分）双曲线x25-y24=1的焦距等于（）A1B2C3D6【解答】解：由双曲线x25-y24=1可知：a25，b24，c2a2+b29，解得c3，双曲线的焦距2c6，故选：D3（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x4y+70平行的直线方程是（）Ax2y+40B2

9、x+y70C2xy10Dx+2y80【解答】解：设过点A（2，3）且与直线l：2x4y+70平行的直线方程是2x4y+C0（C7），将点A的坐标代入直线的方程2x4y+C0得2243+C0，解得C8，故所求直线方程为2x4y+80，即x2y+40故选：A4（5分）在等比数列an中，a1+a22，a5+a64，则a9+a10（）A2B4C6D8【解答】解：设等比数列的公比为q，a5+a6a1+a2=q4=2，且a9+a10a5+a6=q4=2，则a9+a102（a5+a6）248故选：D5（5分）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F0（D2+E24F0）关于直线yx对称，则有（）AD+E0BDECD

10、FDEF【解答】解：由圆的对称性知，圆心在直线yx上，故有-E2=-D2，即DE故选：B6（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60若M是PC的中点，则|BM|=（）A34B34C33D32【解答】解：ABAD1，PA1，BP=AP-AB，BM=12AD+（AP-AB）=-12AB+12AD+12AP，ABAD，PABPAD60，BM2=（-12AB+12AD+12AP）2=14（AB2+AD2+AP2）-12|AB|AP|cos60+12|AD|AP|cos60 =14（1+1+1）-121112+121112 =

11、34，|BM|=32故选：D7（5分）已知数列an满足an+1an2n11，且a110，则an的最小值是（）A15B14C11D6【解答】解：an+1an2n11，当n5时，an+1an0，当n5时，an+1an0，a1a2a3a4a5a6a7a8，显然an的最小值是a6，又an+1an2n11，a6a1+（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+（a5a4）+（a6a5）10+（9）+（7）+（5）+（3）+（1）15，即an的最小值是15，故选：A8（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，ABF2的内切圆的圆心为I，若3I

12、B+4IA+5IF2=0，则该椭圆的离心率是（）A23B55C34D12【解答】解：因为3IB+4IA+5IF2=0，所以38IB+58IF2=-12IA，如图，在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF2|5：3，连接IM，则IM=-12IA，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以SIAF2：SIF2B：SIBA3：4：5，所以|AF2|：|F2B|：|AB|3：4：5，不妨设|AF2|3，则|F2B|4，|AB|5，则|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a6，所以|AF1|3，|BF1|2，设|F1F2|x，由余弦定理得cosABF2=|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|22|B

13、F1|BF2|=25+16-925-4=45，即22+42-x2224=45，解得x=65，解得e=2c2a=656=55故选：B二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9（5分）下列说法中，正确的有（）A直线ya（x+2）+3（aR）必过定点（2，3）B直线y2x1在y轴上的截距为1C直线3x-y+2=0的倾斜角为60D点（1，3）到直线y20的距离为1【解答】解：对于A，直线ya（x+2）+3（aR）必过定点（2，3），故A错误，对于B，当x0时，y1，直线y2x1在y轴上的截距为1，故B正确，对于C，直线3x-y+2=0的斜率为3，其倾斜角为60，故C错误，对于D，点（1，

14、3）到直线y20的距离为1，故D正确故选：BCD（多选）10（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若a10，公差d0，则下列命题正确的是（）A若S5S9，则必有S140B若S5S9，则必有S7是Sn中最大的项C若S6S7，则必有S7S8D若S6S7，则必有S5S6【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若S5S9，必有S9S5a6+a7+a8+a92（a7+a8）0，则a7+a80，S14=14(a1+a14)2=14(a7+a8)2=0，A正确；对于B，若S5S9，必有S9S5a6+a7+a8+a92（a7+a8）0，又由a10，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；对于C，若S6S7，则

15、a7S7S60，又由a10，必有d0，则a8S8S70，必有S7S8，C正确；对于D，若S6S7，则a7S7S60，而a6的符号无法确定，故S5S6不一定正确，D错误；故选：ABC（多选）11（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（）AAG平面PBDB直线FG和直线AB所成的角为4C当点T在平面PBD内，且TA+TG2时，点T的轨迹为一个椭圆D过点E，F，G的平面与四棱锥PABCD表面交线的周长为22+6【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知AG位于其体对角线上，则AG平面PBD，故A正确；设P

16、B中点为H，则FGAH，且HAB=4，故B正确；TA+TG2，T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，又平面PBD与其长轴垂直，截面为圆，故C错误；设平面EFG与PB，PD交于点M，N，连接PE，EC，PF，FC，EM，MG，GN，NF，PABC，AEBE，PAECBE，PAECBE，PECE，而PGGC，故EGPC，同理FGPC，而FGEGG，PC平面EFG，而EM平面EFG，则PCEM，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB，EM平面PBC，而PB平面PBC，则EMPB，BMEM=22BE=22，同理，FNDN=22，又PG=3，PM22-

17、22=322，则GMGN=62，而EF=12BD=2，交线长为EF+EM+MG+GN+FN22+6，故D正确故选：ABD（多选）12（5分）已知抛物线C：y22px（p0）与圆O：x2+y25交于A，B两点，且|AB|4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A若直线l的斜率为33，则|MN|8B|MF|+2|NF|的最小值为3+22C若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0，62)，则点M的横坐标为32D若点G（2，2），则GFM周长的最小值为3+5【解答】解：抛物线C：y22px（p0）与圆O：x2+y25交于A，B两点，且|AB|4，由圆和抛物线的对称性可知点（1

18、，2）在抛物线C：y22px（p0）上，所以42p，解得p2，所以抛物线C：y24x，F（1，0），设直线l：xmy+1，与y24x联立得y24my40，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y24m，y1y24，所以|MN|=1+m2|y1y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=4（1+m2），直线l的斜率为33，所以m=3，此时|MN|16，所以A错误；1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=4(y1+y2)+4(y1+y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，则|MF|+2|NF|（|MF|+2|NF|）

19、（1|MF|+1|NF|）3+2|NF|MF|+|MF|NF|3+22，当且仅当|MF|1+2，|NF|1+22时等号成立，所以B正确；如图，过M作准线的垂线，垂足为M，交y轴于M1，取MF中点为D，过D作y轴的垂线，垂足为D1，则MM1OF，DD1为梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得|MM1|MM|M1M|MF|1，所以|DD1|=|OF|+|MM1|2=1+|MF|-12=|MF|2，所以点（0，62）为直径的圆与y轴相切，所以点（0，62）为圆与y轴的切点，所以D点的纵坐标为62，又D为MF中点，所以M点纵坐标为6，又点M在抛物线上，所以M点横坐标为32，所以C正确；过G作DH垂

20、直于准线，垂足为H，所以GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|MG|+|MM|+5|GH|+5=3+5，当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，所以D正确故答案为：BCD三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）等差数列an中a22，a48，则数列an的前5项和S525【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a22，a48可得：a1+d=2a1+3d=8，解得a1=-1d=3，所以ana1+（n1）d3n4，所以a535411，所以S5=5(a1+a5)2=5(-1+11)2=25故答案为：2514（5分）若空间向量a=(1，1，1)，b=(1，0，1)，c=(1，2，m)

21、共面，则实数m1【解答】解：由题可知，c=a+b，故（1，2，m）（1，1，1）+（1，0，1），有+=1=2+=m，解得=2=-1m=1故答案为：115（5分）写出与两圆（x1）2+y21，x2+y210x+6y+180均相切的一条直线方程为 y1【解答】解：由（x1）2+y21，圆心为（1，0），半径为1，由（x5）2+（y+3）216，圆心为（5，3），半径为4，所以圆心距为(5-1)2+(-3-0)2=5=1+4，故两圆外切，如图，公切线斜率存在，设为ykx+m，所以|k+m|1+k2=1|5k+3+m|1+k2=4，所以|5k+3+m|4|k+m|，所以5k+3+m4k+4m或5k+

22、3+m4k4m，所以k3m3或k=-5m+39，代入|k+m|=1+k2，解得k=0m=1或k=43m=-3或k=-247m=-17，所以公切线方程有y1或4x3y90或24x+7y+10故答案为：y1（答案不唯一）16（5分）椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心已知长方形R的四条边均与椭圆C：x26+y23=1相切，则C的蒙日圆方程为 x2+y29；R的面积的最大值为 18【解答】解：设两条互相垂直的切线的交点为P（x0，y0），当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（a，b），或（a，b）当题设中

23、的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是（x0，y0）（x0a，且y0b），所以可设曲线C的过点P的切线方程是yy0k（xx0）（k0）由x2a2+y2b2=1y-y0=k(x-x0)，得(a2k2+b2)x2-2ka2(kx0-y0)x+a2(kx0-y0)2-a2b2=0，由其判别式的值为0，得(x02-a2)k2-2x0y0k+y02-b2=0(x02-a20)，因为kPA，kPB（kPA，kPB为过P点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以kPAkPB=y02-b2x02-a2，由此，得kPAkPB=-1x02+y02=a2+b2，即

24、C的蒙日圆方程为：x2+y29；因为蒙日圆为长方形的外接圆，设r|OA|3，AOB，则矩形面积公式为S=412r2sin=18sin，显然sin1，即矩形四条边都相等，为正方形时，Smax18故答案为：x2+y29；18四、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设圆的方程为x2+y24x50，（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程【解答】解：（1）将x2+y24x50配方得：（x2）2+y29圆心坐标为C（2.0），半经为r3（6分）（2）设直线AB的斜率为k由圆的知识可知：CPAB，kCPk1又Kcp=1-03-2=1，k1直线AB

25、的方程为y11（x3）即：x+y40（12分）18（12分）设Sn为数列an的前n项和，已知an0，且an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an，n为奇数1anan+2，n为偶数，求数列bn的前20项和T20【解答】解：（1）由题意n1，nN*时，an+an2=2Sn，令n1，得an1，所以n2，nN*时，an1+an122Sn1，两式相减得：n2，nN*时，an+an2-（an1+an12）2an，an2-an12an+an1，an0，anan11，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，ann；（2）由（1）得1anan+2=1n(n+2)=12（1n-1

26、n+2），T20（b1+b3+b19）+（b2+b4+b20）（1+3+5+19）+12（12-14）+（14-16+120-122）=(1+19)102+12（12-122）=22052219（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABAC，ABACAA11，M为线段A1C1上一点（1）求证：BMAB1；（2）若直线AB1与平面BCM所成角为4，求点A1到平面BCM的距离【解答】（1）证明：因为AA1平面ABC，AB，AC平面ABC，所以AA1AB，AA1AC，而ABAC，因此建立如图所示的空间直角坐标系：则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（

27、0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1）（a0，1），BM=(-1，a，1)，AB1=(1，0，1)，因为BMAB1=-11+a0+11=0，所以BMAB1，即BMAB1，（2）解：设平面BCM的法向量为n=(x，y，z)，BM=(-1，a，1)，BC=(-1，1，0)，所以有nBM=-x+ay+z=0nBC=-x+y=0，取x1，则n=（1，1，1a），因为直线AB1与平面BCM所成角为4，所以|cosAB1，n|=sin4|AB1n|AB1|n|=22|1+1-a|12+12+(1-a)22=22，解得a=12，即n=(1，1，12)，因为A1B=(1，0，-1)，所以点A1到平

28、面BCM的距离为d=|A1Bn|n|=1320（12分）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD为等边三角形，ADBC，ADCD2BC2，E，F分别为棱PD，PB的中点（1）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；（2）在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由【解答】解：（1）取AD的中点O，连接OP，OB，因为在四边形ABCD中，ADBC，AD2BC，所以ODBC，ODBC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBCD，因为CD平面PAD，所以OB平面PAD，又OA平面PAD，OP平面PAD，所以OBOA，OBOP，又在等边PAD

29、中，O是AD的中点，所以OPOA，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，3)，故E(-12，0，32)，F(0，1，32)，设平面AEF的法向量n=(x，y，z)，则nEA=32x-32z=0nEF=12x+y=0，则可取n=(2，-1，23)，因为CD平面PAD，所以m=DC=(0，2，0)即为平面PAD的一个法向量，设平面AEF与平面PAD所成的锐二面角为，则cos=|cosm，n|=|mn|m|n|=1717，即平面AEF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为1717；（2）设点G满足PG=P

30、C=(-，2，-3)，0，1，所以G(-，2，3-3)，则DG=(-+1，2，3-3)，因为DG平面AEF，所以DGn=2(-+1)-2+23(3-3)=0，解得=45，即棱PC上存在点G，使得DG平面AEF，且PGPC=4521（12分）已知公比大于1的等比数列an满足a2+a420，a38（1）求an的通项公式；（2）记bm为an在区间（0，m（mN*）中的项的个数，求数列bm的前50项和S50【解答】解：（1）由于数列an是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有a1q+a1q3=20a1q2=8，解得：a12，q2或a1=32，q=12（舍）所以an=2n（2）由题意，2

31、nm，即nlog2m，当m1时，b10，当m2，3时，b2b31当m2k，2k+11）时，bmk，共有2k个，kN*则S50b1+（b2+b3）+（b4+b5+b7）+（b32+b33+b50）0+12+24+38+416+51919322（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2=1(a1)，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且sinPF1F2=13（1）求椭圆C的方程；（2）过点S(0，-13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：

32、（1）sinPF1F2=|PF2|PF1|=13，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=32a，|PF2|=a2，|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2，|F1F2|=2c，a=2c，a2c2+1，c=1，a=2，椭圆方程为：x22+y2=1（2）动直线l的方程为：y=kx-13，由 y=kx-13x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k3x-169=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k3(2k2+1)，x1x2=-169(2k2+1).=169k2+649(1+2k2)=16k2+6490由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，则MA=(x1，y1-m)，MB=(x2，y2-m)，MAMB=0x1x2+(y1-m)(y2-m)=0(1+k2)x1x2-k(13+m)(x1+x2)+(13+m)2=0 6（m21）k2+（3m2+2m5）0，由题意知上式对kR成立，m210且3m2+2m50，解得m1存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）