2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理难点解析试卷.docx

1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，长方形中，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（）A12B8C10D132、如图，在ABC中，A

2、D，BE分别是BC，AC边上的中线，且ADBE，垂足为点F，设BCa，ACb，ABc，则下列关系式中成立的是（）Aa2+b25c2Ba2+b24c2Ca2+b23c2Da2+b22c23、 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为A9B6C4D34、下列各组数：3、4、54、5、62.5、6、6.58、15、17，其中是勾股数的有()A4组B3组C2组D1组5、如图，在矩形ABCD中，将ABD沿

3、对角线BD对折，得到EBD，DE与BC交于F，则（）AB3CD66、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（）ABCD7、如图，在中，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（）.ABCD8、如图，在中，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（）ABC3D9、下列四组数中，是勾股数的是（）A5，12，13B4，5，6C2，3，4D1，10、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（）A40mB45mC30mD35m第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题

4、，每小题4分，共计20分）1、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）笔直铁路经过A，B两地（1）A，B间的距离为_km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为_km2、我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ji）生其中，出水一尺引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC1尺）如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？则水深DE为_尺

5、3、如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为_4、九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为_5、如图，RtABC的两条直角边，分别以RtABC的三边为边作三个正方形若四个阴影部分面积分别为，则的值为_，的值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米

6、的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？2、已知：如图，四边形ABCD，A90，AD12，AB16，CD15，BC25（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积3、如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？4、如图，在四边形中，于，（1）求证：；（2）若，求四边形的面积5、（1）如图是一个重要公式的几何解

7、释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试证明过程说明：-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13【详解】设BE为x，则DE为x，AE为25-x四边形为长方形EAB=90在中由勾股定理有即化简得解得故选：D【考点】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解2、A【解析】【详解】设EFx，DFy，根据

8、三角形重心的性质得AF2y，BF2EF2x，利用勾股定理得到4x2+4y2c2，4x2+y2b2，x2+4y2a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系【解答】解：设EFx，DFy，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，点F为ABC的重心，AFACb，BDa，AF2DF2y，BF2EF2x，ADBE，AFBAFEBFD90，在RtAFB中，4x2+4y2c2，在RtAEF中，4x2+y2b2，在RtBFD中，x2+4y2a2，+得5x2+5y2（a2+b2），4x2+4y2（a2+b2），得c2（a2+b2）0，即a2+b25c2故选：A【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的

9、距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 也考查了勾股定理3、D【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，或（舍去），故选：D【考点】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型4、C【解析】【详解】解：32+42=52，符合勾股数的定义；42+5262，不符合勾股数的定义；2.5和6.5不是正整数，不符合勾股数的定义；82+152=172，符合勾股数的定义，是勾股数的有：，共2组，故选：C5、A【解析】【分析】根据折叠

10、的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值【详解】解：，AD=，由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，BDF=DBFBF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，解得：EF=，故选：A【考点】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键6、A【解析】【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；B、根据面积得到；C、根据面积得到，整理得；D、根据面积得到，整理得.故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.

11、7、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出APBC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可【详解】解：如图，连接AP，AB=3，AC=4，BC=5，EAF=90，PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF，AP互相平分且EF=AP，EF，AP的交点就是M点当AP的值最小时，AM的值就最小，当APBC时，AP的值最小，即AM的值最小APBC=ABAC，APBC=ABAC，AB=3，AC=4，BC=5，5AP=34，AP=，AM=故选：D【考点】本题考查了矩形

12、的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值8、D【解析】【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度【详解】在AB上取一点G，使AGAF在RtABC中，ACB90，AC3，BC4AB=5，CADBAD，AEAE，AEFAEG（SAS）FEGE，要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，故当C、E、G三点共线时，符合要求，此时，作CHAB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，CH=，即：CE+EF的最小值为，故选：D【考点】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极

13、值问题，灵活构造辅助线是解题关键9、A【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方【详解】解：A、52+122132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；B、42+5262，不是勾股数，故此选项不合题意；C、22+3242，不是勾股数，故此选项不合题意；D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：A【考点】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数10、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中

14、直角三角形即可【详解】解：OA是东北方向，OB是东南方向，AOB=90，又OA=24m，OB=18m，30m故选：C【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键二、填空题1、 20 13【解析】【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x，根据勾股定理即可求出x的值【详解】（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：ABx轴，AB=12（8）=20；（2）过点C作lAB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1（17）=

15、18，AE=12，设CD=x，AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18x）2+122，解得：x=13，CD=13故答案为（1）20；（2）13【考点】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型2、12【解析】【分析】设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可【详解】设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12，水深为12尺，故答案是： 12【考点】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键3、2.5【解析】【分析】由勾股定理得AC2=2

16、0，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案【详解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，ACB=90，AB=5，点O为AB边的中点，CO=AB=2.5，故答案为：2.5【考点】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键4、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，

17、设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，102+（x-1）2=x2，故答案为：102+（x-1）2=x2【考点】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题5、 24 0【解析】【分析】先证明从而可得 再利用图形的面积关系可得： 两式相减可得： 而证明 从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以RtABC的三边为边作三个正方形， 两式相减可得： 而 故答案为：24，0【考点】本题考查的是正方形的性质，

18、全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明是解本题的关键.三、解答题1、这棵树在离地面6米处被折断【解析】【分析】设，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解：设，在中，答：这棵树在离地面6米处被折断【考点】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解有时也可以利用勾股定理列方程求解2、（1）BD20；（2）S四边形ABCD246【解析】【分析】（1）由A90，AD12，AB16，利用勾股定理：BD2AD2+AB2，从而可得答案；（2）利用勾股定理的逆定理证明：

19、CDB90，再由四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和可得答案【详解】解：（1）A90，AD12，AB16，BD2AD2+AB2，BD2122+162，BD20；（2）BD2+CD2202+152625，CB2252625，BD2+CD2CB2，CDB90，S四边形ABCDSRtABD+SRtCBD， 246【考点】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键3、北偏西45（或西北）【解析】【分析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向【详解】解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR

20、=30海里，182+242=302，RPQ是直角三角形，RPQ=90，“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45方向航行，RPS=45，“海天”号沿北偏西45（或西北）方向航行【考点】本题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大4、（1）详见解析；（2）S四边形ABCD=56【解析】【分析】（1）由等角的余角相等可得DAC=ABE，再根据题意可得RtBAERtADC，即可证；（2）根据勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出ACD的面积和ABC的面积相加即可【详解】解：（1）BEAC，ABE+BAE=90，B

21、AD=90，BAE+DAC=90，DAC=ABE，又AB=AD，BEA=ACD，RtBAERtADC(AAS)，BE=AC（2）AB=AD=10，CD=6，ACD=90，RtBAERtADC，BE=AC=8，【考点】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形面积，关键在于牢记基础知识并灵活使用5、（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论【详解】（1）；（2）如图，RtDECRtEAB，DEC=EAB，DE=AE，AED为等腰直角三角形，即， ，【考点】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键