2022-2023学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 基本不等式的应用学案 新人教B版必修第一册.docx

1、第2课时基本不等式的应用课堂探究素养提升强化创新性题型1利用基本不等式证明不等式经典例题例1已知a、b、c0，求证：a2b+b2c+c2aabc.方法归纳(1)在利用ab2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式ab2ab或a+b2ab(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用跟踪训练1已知x0，y0，z0.求证：(yx+zx)(xy+zy)(xz+yz)8.状元随笔分别对yxzx，xyzy，xzyz用基本不等式同向不等式相乘题型2灵活利用基本不等式ab2ab求最值例2(1)已知a0，b

2、0，a2b1，1a+1b的最小值为()A3B22C322D322(2)若a0，b0，abab，则ab的最小值为()A2B4C6D8方法归纳常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用均值不等式求最值跟踪训练2(1)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A8B4C2D0(2)设x，y为正数，若xy21，则1x+2y的最小值是_，此时x_题型3利用基本不等式解决实际问题例3

3、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？状元随笔两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数

4、的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案跟踪训练3某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元该船每年捕捞总收入50万元(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？状元随笔1.盈利等于总收入支出，注意支出，由两部分组成2利用基本不等式求平均利润第2课时基本不等式的应用课堂探究素养提升例1【证明】a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，a2bb2 a2bb2a.当且仅当a2bb时等号成立b2cc2 b2cc2b.当且仅当

5、b2cc时等号成立c2aa2 c2aa2c，当且仅当c2aa时等号成立相加得a2bbb2ccc2aa2a2b2c，a2b+b2c+c2aabc.跟踪训练1证明：因为x0，y0，z0，所以yx+zx2yzx0，xy+zy2xzy0，xz+yz2xyz0，所以yx+zxxy+zyxz+yz8yzxzxyxyz8，当且仅当xyz时等号成立例2【解析】(1)1a+1ba+2ba+a+2bb32ba+ab322baab322，当2baab即a21，b222时等号成立所以(1a+1b)min322.(2)因为a0，b0，ababa+b24，所以ab4，当ab2时取等号，则ab的最小值为4.【答案】(1)D

6、(2)B跟踪训练2解析：(1)由x2yxy0，得2x+1y1，且x0，y0.所以x2y(x2y)(2x+1y)4yx+xy424yxxy4448，当且仅当x2y时等号成立(2)1x+2y(1x+2y)(xy2)2y2x+2xy22y2x2xy4，当且仅当y2x2xy即y2x，x12时等号成立答案：(1)A(2)412例3【解析】设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管费等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)(元)设平均每天所支付的总费用为y元，则y1x9x(x1)90061 8009x900x10 8092 9x900x10 80910 989(元)，当且仅当9x900x，即x10时，等号成立故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少跟踪训练3解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元则y50n9812n+nn1242n240n982(n10)2102，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元(2)年平均利润为yn2n+49n2022 n49n2012，当且仅当n49n，即n7时上式取等号所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元