2022-2023学年高中数学湘教版2019选择性必修第一册同步练习 第3章 3-4　曲线与方程 WORD版含解析.docx

1、3.4曲线与方程A级必备知识基础练1.(2022福建龙岩高二期中)方程x2+y2=1(xy0)的曲线形状是()2.方程(2x+3y-1)x-3=0所表示的曲线是()A.一条直线和一条射线B.两条射线C.两条线段D.两条直线3.(2022四川泸州高二期末)已知方程x2+my2=1(mR),则下列说法正确的是()A.当m0时,方程表示椭圆C.方程不可能表示直线D.方程可能表示抛物线4.(2022广东广州越秀高二期末)方程(2-t)x2+(t-1)y2=1表示曲线C,有以下四个结论:当t=32时,曲线C是圆;当1t2时,曲线C是双曲线;当t=2时,曲线C是抛物线.其中结论正确的个数为()A.1B.2

2、C.3D.45.已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,点M在x轴上,且PMPF=0,延长MP到点N,使得|PM|=|PN|,则点N的轨迹方程是.6.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过点M向x轴作垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM,则点P的轨迹方程为.7.已知圆C的方程为x2+(y-5)2=16,直线l的方程为y=3,点P为平面内一动点,PQ是圆C的一条切线(Q为切点),并且点P到直线l的距离恰好等于切线长|PQ|,则点P的轨迹方程为.8.已知ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=54sin C,求点C的轨迹方程

3、.B级关键能力提升练9.已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是()A.x+2y+3=0B.x-2y-5=0C.x-2y-7=0D.x-2y+7=010.(多选题)关于x,y的方程(m-1)x2+my2=m(m-1)(mR)表示的曲线可能是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线11.P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,OQ=PF1+PF2,则动点Q的轨迹方程是.12.已知定点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),以C为一个焦点作过A,B两

4、点的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为.13.方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为,面积为.14.ABC的一边的两个顶点分别为B(-a,0),C(a,0)(a0),另两边的斜率之积等于m(m0).求顶点A的轨迹方程,并且根据m的取值情况讨论其轨迹.C级学科素养创新练15.过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.参考答案3.4曲线与方程1.C方程x2+y2=1(xy0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C.2.A由(2x+3y-1)x-3=0,得2x+3y-1=0(x3)或x-3=0(

5、x3).2x+3y-1=0(x3)为一条射线,x=3为一条直线,则方程(2x+3y-1)x-3=0表示的曲线是一条直线和一条射线.故选A.3.A方程x2+my2=1(mR),当m0时,若m=1,则方程表示圆,故B错误;当m=0时,方程表示x=-1和x=1两条直线,故C错误;因为方程中没有x或y的一次项,故方程不可能表示抛物线,故D错误.故选A.4.B当t=32时,即x2+y2=2,曲线C是圆,正确;当1t0,t-10,曲线C是椭圆,错误;当t2时,2-t0,曲线C是双曲线,正确;当t=2时,2-t=0,t-1=1,即y2=1,曲线C是直线,错误.故选B.5.y2=4x由于|PM|=|PN|,则

6、P为MN的中点.设N(x,y),则M(-x,0),P0,y2,由PMPF=0,得-x,-y21,-y2=0,化简得点N的轨迹方程是y2=4x.6.x2+y2=2设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM,得x0=x,y0=22y.因为点M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.7.x2=4y设点P的坐标为(x,y),则点P到直线y=3的距离为d=|y-3|.过点P作圆x2+(y-5)2=16的切线,则切线长|PQ|=|CP|2-|CQ|2=x2+(y-5)2-16,由题意可得|y-3|

7、=x2+(y-5)2-16,整理可得点P的轨迹方程为x2=4y.8.解设角A,B,C的对边分别为a,b,c,由sinB+sinA=54sinC,可知b+a=54c=10,即|AC|+|BC|=10,所以点C的轨迹为椭圆(不包含长轴的两个端点),此椭圆的长半轴长为5,半焦距为4,短半轴长为3,则点C的轨迹方程为x225+y29=1(x5).9.D设P(x0,y0),Q(x,y),则x0-2y0+3=0.由|PM|=|MQ|,知M是线段PQ的中点,则-1=x0+x2,2=y0+y2,即x0=-2-x,y0=4-y.将其代入x0-2y0+3=0,得(-2-x)-2(4-y)+3=0,整理得点Q的轨迹

8、方程是x-2y+7=0.故选D.10.ABD对于方程(m-1)x2+my2=m(m-1),当m=1时,方程即y2=0,即y=0,表示x轴.当m=0时,方程即x2=0,即x=0,表示y轴.当m1,且m0时,方程即x2m+y2m-1=1,因为mm-1,所以方程不可能是圆;若m(m-1)0,方程表示椭圆.综合可得方程不可能是抛物线.故选ABD.11.x24a2+y24b2=1(ab0)设点Q的坐标为(x,y),OQ=PF1+PF2,又PF1+PF2=2PO=-2OP,则OP=-12OQ=-12(x,y)=-x2,-y2,即点P的坐标为-x2,-y2.又点P在椭圆上,(-x2)2a2+(-y2)2b2

9、=1,即x24a2+y24b2=1,动点Q的轨迹方程为x24a2+y24b2=1(ab0).12.y2-x23=1(y-1)A,B在以C,F为焦点的椭圆上,|AC|+|AF|=|BC|+|BF|,即|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=32+42-32+02=2,则点F的轨迹为以A,B为焦点的双曲线的下支.设该双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(y-a),则可得a=1,c=2,b2=c2-a2=3.则焦点F的轨迹方程是y2-x23=1(y-1).13.(-1,1)8当x-1,y1时,方程等价为x+y-2=0,当x-1,y1时,方程等价为x-y=0,当x-1,y1时,方程等价为x-y+4

10、=0,当x-1,y1时,方程等价为x+y+2=0,则方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形如图:则围成的图形为正方形,图形的对称中心为(-1,1),A(-1,3),B(1,1),C(-1,-1),D(-3,1),则|BD|=4,|AC|=4,则正方形的面积S=8.14.解设顶点A的坐标为(x,y),易知xa,y0,则kAB=yx+a,kAC=yx-a.由题意,得yx+ayx-a=m,即x2a2-y2ma2=1(y0).当m0时,轨迹是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外);当m0,且m-1时,轨迹是中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点),其中当-1m0时,椭圆的焦点在x轴上;当m-1时,椭圆的焦点在y轴上;当m=-1时,轨迹是圆心在原点,半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).15.解易知OA,OB的斜率存在且不为0,设点M的坐标为(x,y),直线OA的斜率为k(k0),则直线OB的斜率为-1k.直线OA的方程为y=kx,联立y=kx,y2=2px,解得x=0,y=0或x=2pk2,y=2pk,即A2pk2,2pk,同理可得B(2pk2,-2pk).由中点坐标公式,得x=pk2+pk2,y=pk-pk,消去k,得点M的轨迹方程为y2=p(x-2p).