北京市海淀区北京八一中学2021届高三下学期开学月考数学试题 PDF版含答案.pdf

1、2020-2021 学年八一中学高三年级下学期开学月考数学试卷 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题（本大题共 10 小题，共 40 分）1.已知集合1,2,3,4,5,1,3,4UA，则UC A（）.2,5A.3,5B.4,5C.1,2,3,4,5D 2.抛物线24xy的准线方程是（）.1A y 1.16B x .1C x 1.16D y 3.已知命题20:,0,pxR x则p 是（）20.,0AxR x20.,0BxR x 20.,0C xR x20.,0D xR x 4.已知数列 na为各项均为正数的等比数列，且131,9aa，则数列 na的前 5项和是（）.61A.121B.25C

2、.61121D或 5.从 2 名教师和 5 名学生中，选出 3 人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的 3 人中至多有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）.20A.25B.30C.55D 6.已知 ab，且0ab，则下列不等式中一定不成立的是（）11.A ab11.22abB 33.C ab22.loglogDab 7.已知角 的终边与单位圆交于点43,55P，则cos 2 （）24.25A 7.25B 7.25C16.25D 8.在 ABC中,2,3ABAC,且3AB AC，则ACABR取最小值时 的值为（）3.4A 3.4B3.2C3.4D 9.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面

3、5m，水面宽30ABm，若水面下降5 m，则水面宽是（结果精确到 0.1 m）（）（参考数值：21.41，52.24，72.65）.43.8Am .44.8Bm .52.3Cm .53.0Dm 10.如图，等腰直角ABC中，2,ACBC点 P 为平面 ABC 外一动点，满足90,PBAABPB，给出下列四个结论：存在点 P，使得平面 PAC 平面 PBC；存在点 P，使得平面 PAC 平面 PAB；设 PAC的面积为 S，则 S 的取值范围是0,4；设二面角 APBC的大小为，则 的取值范围是 0,4.其中正确结论是（）第二部分（非选择题共 40 分）二、填空题（本大题共 5 小题，共 25

4、分）11.复数1 ii (i 是虚数单位)的虚部是_.12.在62x 的展开式中，3x 的系数是_.13.设 O 为坐标原点，直线 xa与双曲线2222:10,0 xyCabab的两条渐近线分别交于,D E 两点，若 ODE的面积为 4，则 C 的焦距的最小值为_.14.某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第 n 个月的月平均最高气温 G n 可近似地用函数 cosG nAxk来刻画，其中正整数 n 表示月份且1,12n，例如1n 表示 1 月份，A 和 k 是正整数,0,0,.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：该地区月平均最高气温最高的 7 月份

5、与最低的 1 月份相差 30 摄氏度；1 月份该地区月平均最高气温为 3 摄氏度，随后逐月递增直到 7 月份达到最高；每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同.根据已知信息，得到 G n 的表达式是_.15.已知函数4,0,(),0.xxe xf xexx，若存在120,0 xx，使得12()()f xf x，则12()x f x的取值范围是_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分）16.（本题 14 分）如图，四棱柱1111ABCDA B C D中，底面 ABCD 为矩形，1DD 平面 ABCD，,E F 分别是11,BB DC 的中点，11,2.DADCDD(I)求证:EF/平

6、面 ABCD；()求直线1DC 与平面 EAD 所成角的正弦值.17.(本题 13 分)在锐角 ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c，设 ABC 的面积为,ABCS已知7c，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求 a 与sinC 的值.条件：3;b 条件：3 3=2ABCS；条件：7cos=.14B 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.18.(本题 13 分)唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，唐三彩的制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取

7、 3 件作检验，这3 件唐三彩中优质品的件数记为 n，如果 n=2，再从这批唐三彩中任取 3 件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果 n=3，再从这批唐三彩中任取1 件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品率为 13，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为 13，且各件唐三彩是否为优质品相互独立.(I)求这批唐三彩通过检验的概率.(II)已知每件唐三彩的检验费用都为 100 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩做质量检验所需的总费用记为 X 元，求 X 的分布列及期望.19.(本题 15 分)已知函数1()1.

8、f xx(I)求曲线()yf x在点1,(1)f处的切线方程；(II)设函数()()lng xf xtx，当1t 时，求()g x 的零点个数.20.(本题 15 分)已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右顶点分别为点,A B，且4AB，椭圆 C 离心率为 1.2 (I)求椭圆 C 的标准方程.(II)过椭圆 C 的右焦点，且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于,M N 两点，直线,AM BN 的交于点 Q，求证：点 Q 在直线4x 上.21.(本 题15 分)设 数 列：1212:,:,nnA a aa B b bb已 知,0,11,2,1,2,ija bin jn定义n n 数

9、表111212122212(,)nnnnnnxxxxxxX A Bxxx，其中1,0,ijijijabxab (I)若:1,1,1,0,:0,1,0,0,AB，写出(,)X A B；(II)若,A B 是不同的数列，求证：n n 数表(,)X A B 满足1,2,1,2,ijjixxin jn的充分必要条件为 a11,2,kkbkL n；(III)若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个，求证：n n 数表(,)X A B 中 1 的个数不大于22n.答案 BBBCCCBDAA.:106;.5-1：0,4-.15)121(18)656cos(15)(.1424.13160.121.112en

10、nxG 16.（1）证明：取CD 的中点G，连接,FG BG 因为 F 是1DC 的中点，所以 FG/1CC，112FGCC 因为 E 是1BB 的中点，所以 EB/1CC，112EBCC 所以 FG/EB，FGEB 所以四边形 FGBE 是平行四边形，所以 EF/BG 因为 EF 平面 ABCD，BG 平面 ABCD，所以 EF/平面 ABCD.（2）因为底面 ABCD 为矩形，1DD 平面 ABCD，所以11,DADC DDDA DDDC，以点 D 为坐标原点，分别以直线1,DA DC DD 为,x y z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，因为11,2DADCDD，所以10,0,0,1,0,

11、0,1,2,1,0,2,2,DAEC 所以11,0,0,1,2,1,0,2,2DADEDC，设平面 EAD 的法向量为,nx y z，所以00n DAn DE ，即020 xxyz，令1y ，则2,z 所以0,1,2n，所以11110cos,10DC nDC nDC n，所以直线1DC 与平面 EAD 所成角的正弦值 1010.17.选0,B，sin0B22sincos1BB，22727sin11428B，3 21sin14B由正弦定理得：sinsinbcBC，即37sin3 2C，3sin2C由余弦定理得：2797cos142 7aBa220aa，2a或1a （舍）18.第一次取出的 3 件

12、唐三彩中恰有 2 件优质品为事件1A第一次取出的 3 件唐三彩中全是优质品为事件2A，第二次取出的 3 件唐三彩中全是优质品为事件1B,第二次取出的 1 件唐三彩是优质品为事件2B,这批唐三彩通过检验为事件 A,依据题意有)()(2211BABAA所以243531)31()31(32)31()()()(332232211CBAPBAPAP（2）X 的可能取值为 300，400，600272031)32()32()300(23333CCXP271)31()400(3 XP9232)31()060(323CXPX300400600P2720271922710000)(XE19.因为11)(xxf，

13、所以21)(xxf1)1(.0)1(1ff所以曲线），在点（)(1)(xfxfy 处的切的方程是1xy（2）因为xtxfxgln)()(所以2211)(xtxxtxxg当0)(0 xgt时，所以），在（0)(xg为增函数，所以），在（0)(xg有且只有一个零点。时10 ttx1所以，)(xg在)1,0(t上为减函数，在)1(，t为则增函数0)1(g所以在)1,0(t只有一个零点。因为01)(1,0)1()1(111ttteegtegtg且所以),1(0tx使得0)(0 xg，所以)(xg有两个零点1t时，101)(2xxxxg，)1,0()(在xg上为减函数，在)(1,为增函数所以0)1()(

14、min gxg所以)(xg有且只有一个零点。综上所述：当时或10tt，），在（0)(xg有且只有一个零点。时10 t，)(xg有两个零点20.解：（）因为，椭圆离心率为 12，所以22224,1,2.acaabc解得24a，23b.所以椭圆的方程是22143xy.3 分（）若直线 的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为1,0，所以直线l 的方程是1x.所以点的坐标是31,2，点 N 的坐标是31,2.所以直线 AM 的方程是122yx，直线 BN 的方程是322yx.所以直线 AM，BN 的交点的坐标是4,3.所以点在直线上.5分若直线 的斜率存在时，如图.设斜率为k.所以直线 的方程为1y

15、k x.联立方程组221,1,43yk xxy消去 y，整理得2223484120kxk xk.6分显然0.不妨设11,M x y，22,N xy，所以2122834kxxk，212241234kxxk.8分4AB CClCMQQ4x ll411yxOQNMBAABMNQOxy14所以直线 AM 的方程是1122yyxx.令4x，得1162yyx.直线 BN 的方程是2222yyxx.令4x，得2222yyx.10分所以12126222yyxx1212612122k xk xxx12121261222122k xxk xxxx分子1212612221k xxk xx 12211212232222kx xxxx xxx.12122258kx xxx22222 4125 8283434kkkkk2222824402432234kkkkk0.15分所以点在直线上.Q4x