吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题.pdf

1、2021-2022 年高二秋季学期期初考试数学试卷答案单选题1-4 BAAA5-8 CCBD1.答案：B2i 1 i2ii 1 i1 i1 i1 i1 i，因此，2i1i的共轭复数为1 i.故选：B.2.答案：A从编号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，共有 1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6；共 15 组，其中 1,3；2,4；3,5；4,6 四组的编号之差的绝对值为 2，故其概率为 415；故选：A3.答案：A数据已从小到大排列，共 8 个数，8 302.4i ，即

2、该组数据的第 30 百分位数是从左往右第三个数 8.4，故选：A4.答案：A由题意知：(1)(1)(3)10aa ，整理得240a，2a ，故选：A5.答案：C根据余弦定理可知2221cos22bcaAbc，因为0180A，所以60A ，根据正弦定理可知22sinsinsinBCAbca，所以222220bcabcbcbc，所以bc，则ABC的形状是等边三角形故选 C.6.答案：C解析：5 2ab，又22215a，2222252 1050abaa bbb ，b5，故选：C7.答案：B解：由题意知，OAOB，则圆柱的高为221 12hOAOB，底面圆的半径为221 12222OAOBr，所以圆柱

3、的体积2222222Vr h，故选:B.8.答案：D曲线234yxx可化为22(2)(3)4xy，(3)y，表示以(2,3)为圆心，半径为 2 的圆的下半圆，作出直线 yxb与该半圆的图形如下：由图可知直线 yxb从点 B 处与圆相切时运动到过(4,3)D处时，直线与圆有两个公共点，将(4,3)代入 yxb得：1b ；由直线 yxb与圆相切，得|23|22b，解得1 2 2b （舍)或1 2 2，所以，b 的范围是12 2,1 故选：D多选题9 BD10.AC11.AC12.ABD9.答案：BD对于 A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P AP B还需满足0P AB，也即,A B

4、不能同时发生，所以 A选项错误.对于 C 选项，A 包含于 B，所以 A 与 B 不是互斥事件，所以 C 选项错误.对于 B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确.对于 D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD10.答案：AC对于 A，因为圆心(0,0)O到直线:cossin1l xy 的距离2200 11cossind，所以22 6 12 5AB，所以 A 正确；对于 B，由于圆心到直线的距离为2200 11cossind，而圆的半径为6，所以圆O 上只有 2 个点到l 的距离为 2，所以 B 错误；对于 C，由于圆心到直线的距离为2200 11cossind

5、，所以线段 AB 的中点到圆心(0,0)O的距离为 1，所以线段 AB 的中点轨迹是以(0,0)O为圆心，1 为半径的圆，即方程为221xy，所以 C 正确；对于 D，当0 时，则cos1,sin0，此时直线为1x，则直线的倾斜角为 2，满足 2；当0 时，由 cossin1xy，得直线的斜率为cos1sintank ，设直线的倾斜角为，则1tantan，即tantan()2，当02时，直线的倾斜角2，而当2 时，直线的倾斜角2，所以 D 错误，故选：AC11.答案：ACA设 akb，所以333knk，所以3,1kn，即3ab，所以1n 满足，故正确；B因为313+3022，所以3,221也是

6、与 a垂直的单位向量，故错误；C因为b在 a上的投影向量为3e，所以3a ba，所以 2233 3333n，所以3n，故正确；D因为a与b所成角为锐角，所以0a b 且,a b 不同向，所以33 301nn，所以3,11,n，故错误；故选：AC.12.答案：ABD由于1,ACBD ACDD，1BDDDD，故 AC 平面11BDD B，所以 ACBE，所以 A 正确；由于/EF BD，EF 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以/EF平面 ABCD，故 B 正确；由于三角形 BEF 和三角形 AEF 的底边都是 EF，而前者是 B 到 EF 的距离，即1BB 的长为 1，而后前者是 A 到

7、EF 的距离，作 EM 垂直于底面，垂足为 M，所以11EMBB，连接 AM，由于在 Rt AEM中，AE 是斜边，即1AEEMBB，故 C 错误；连结 BD 交 AC 于 O，由于 AC 平面11BDD B，所以 AO 平面11BDD B，22AO，因为1111224BEFS，三棱锥 A-BEF 的体积为 112234224为定值，故三棱锥 ABEF的体积为定值，故 D 正确故选 ABD填空题13.答案：35192由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 512，712，34在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512 712 34 3519214.答案：18设 AC 与 BD 交于

8、点 O，则 AC=2AOAPBD，AP=3，在 RtAPO 中，AOcosOAP=AP=3|cosOAP=2|cosOAP=2|=6，由向量的数量积的定义可知，=|cosPAO=36=1815.答案：2244xy由题意得，圆的半径222(3)(3)(3)3raa，直线的方程为：3(3)(3)3yx ，整理得：303 xy，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离2233(3)3313adra，所以224(3)3aa，解得4a，所以圆 C 的方程为2244xy.故答案为：2244xy16.答案：2在ABC中，sinsinBCABBACACB，即2sin105sin(18010545)BC，4sin

9、1054sin75BC ，和ABD中，60DABDBA ，ABD是等边三角形，2BDAB，在BCD中，15DBC，所以2222cosCDBCBDBC BDBDC2216sin 7542 4sin 754 cos1516sin 7542 4sin 752 sin 754 ，2CD 解答题17.(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 方程为2x ，满足原点到直线l 的距离为 2，2 分当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为32yk x，即230kxyk，于是得22321kk，解得512k，直线l 的方程为53212yx，即513126yx，4 分综上，直线l 的方程为2x 或513126yx；5

10、分(2)设直线l 与直线 220 xy交于点 11,A x y，与直线10 xy 交于点 22,B xy因 AB 被点 P 平分，即124xx ，126yy ，则214xx ，216yy ，7 分因112222010 xyxy，则11112211xyxy，解得13x ，18y ，即(3,8)A，直线l 的斜率是8(3)53(2)k ，直线 l 方程为(3)5(2)yx ，即57yx，所以直线l 的方程为：57yx.10 分18.（1）由 2 cos2bAca及正弦定理得 2sincos2sinsinBACA，又CAB，所以2sincos2sinsinBAABA，整理得 2sincos2sinc

11、os2cossinsinBABABAA，即2cos1 sin0BA.3 分因为0,A，所以sin0A，所以1cos2B.又0,B，所以3B.5 分（2）方法一：由正弦定理可得2 34sinsinsinsin 3acbACB，所以24sin0,3aA A，4sincC，则24sin4sin4sin4sin3acACAA224sin4sincos4cossin33AAA132 3cos6sin4 3cossin22AAAA4 3sin4 36A，9 分当且仅当3A时，等号成立，所以 ac的最大值为 4 3.10 分方法二：由余弦定理2222cosbacacB可得，22222122cos()33ac

12、acacacacac，即2()123acac.7 分由基本不等式可得22acac，当且仅当 ac时取等号，所以221232acac，整理得2()48ac，所以4 3ac当且仅当2 3ac时取等号.10 分19.(1)连结 AE,E 为 BC 的中点,1ECCD,DCE为等腰直角三角形,则45DEC,同理可得45AEB,90AED,DEAE,2 分又 PAABCD平面,且 DEABCD 平面,PADE,又 AEPAA,DEPAE 平面,又 PEPAE 平面,DEPE.4 分(2)由(1)知 DCE为腰长为 1 的等腰直角三角形,111 122DCES ,而 PA 是三棱锥 PDCE的高,1111

13、13326C PDEP DCEDCEVVSPA.6 分(3)在 PA 上存在中点G,使得/EGPCD平面.8 分理由如下:取,PA PD 的中点,G H,连结,EG GH CH.,G H 是,PA PD 的中点,/GHAD,且12GHAD,又因为 E 为 BC 的中点,且四边形 ABCD 为矩形,所以 EC/AD,且 EC=12AD,10 分所以 EC/GH,且 EC=GH,所以四边形 EGHC 是平行四边形,所以 EG/CH,又 EG 平面 PCD,CH 平面 PCD,所以 EG/平面 PCD.12 分20.（1）由频率分布直方图得：（0.002+0.004+0.014+0.020+0.03

14、5+a）101，10（0.075+a）1，解得 a0.025，2 分设总共调查了 n 人，则（0.035+0.025）10，解得 n1000，即调查的总人数为 1000 人4 分（2）由频率分布直方图知，各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，（450.02+550.04+650.14+750.20+850.35+950.25）0.8070.8，该区防疫工作不需要大的调整6 分（3）0.00210100020，0.00410100040，即不满意的人数在两段分别有 20，40，每段抽取人数为 202.404，8 分记在第一段的人记作 a，b，在第二段的人为

15、 A，B，C，D，抽取两人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 15 个，10 分而仅有一人来自40，50）的基本事件有：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共 8 个，这 2 人中仅有一人对防疫工作的评分在40，50）内的概率为 P12 分21.（1）连接 AE，因为六边形 ABCDEF 为正六边形，则120AFEDEF ，因为 AFEF，则30AEF，故90AED，因为1EE 底面 ABCDEF，不妨以点 E 为坐标原点，EA、ED、1EE 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则 3

16、,0,0A、3,1,0B、3 1,022C、0,1,0D、13,1,2B、13 1,222C、1 0,0,2E，在正六棱柱111111ABCDEFA B C D E F中，11/BBCC 且11BBCC，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11/BC B C，因为 BC 平面11ADC B，11B C 平面11ADC B，所以，/BC平面11ADC B，所以，BC 到平面11ADC B 的距离等于点 B 到平面11ADC B 的距离，设平面11ADC B 的法向量为111,mx y z，3,1,0AD ，10,1,2AB，由111113020m ADxym AByz，取12 3y，则

17、2,2 3,3m，0,1,0AB，所以，直线 BC 到平面11ADC B 的距离为2 32 571919AB mdm；6 分（2）设平面1ADE 的法向量为222,nxy z，3,1,0AD ，10,1,2DE，由221223020n ADxyn DEyz ，取22 3y，则2,2 3,3n，13cos,19m nm nmn ，由图可知，二面角11BADE为锐角，所以，二面角11BADE的余弦值为1319.12 分22.（1）由已知，222220210 xyxy，2240 xxy，即2224xy，3 分（2）设,Q x y，因为点 P 与点Q 关于点1,4对称，则 P 点坐标为2,8xy，4

18、分点在圆上运动，点Q 的轨迹方程为222284xy,即：22484xy，222408414maxPQ；6 分（3）由题意知l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为 k，且11,E x y，22,F xy，则:2l yk x，联立方程：22222221414024yk xkxkxkxy，22223316141 4033kkkk ，8 分又直线l 不经过点2,0M，则33,00,33k.点2,0M到直线l 的距离241kdk，22 4EFd，22214242EFMSEF dddd，22222216161,0,0,41131kdkdkk，10 分当22d 时，EFMS取得最大值 2，此时，22216172177kkkk，11 分直线l 的方程为720 xy或720 xy.12 分