吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题.pdf

1、梅河口市第五中学 2021-2022 学年上学期高二年级（数学试卷答案）单选题1-5CABDC6-8ABA9.BC10.ABD11.AD12.BCD1.解：设直线在 x、y 轴上的截距分别为 a 和(0)a a，则直线 l 的方程为1xyaa，直线过点(3,4)A，341aa，解得：1a ，此时直线l 的方程为10 xy；当0a 时，直线过原点，设直线方程为 ykx，过点(3,4)A，此时直线l 的方程为43yx，即 430 xy；综上，直线l 的方程有 2 条故选：C 2.解：若 12ll，则12120A AB B，即(1)(1)(2)0a aa，解得2a 或1a ，故2a”是“12ll”的

2、充分不必要条件故选：A 3.解：圆22(1)(1)9xy的圆心(1,1)C，半径3r，圆心(1,1)C到直线 34120 xy的距离|3412|1135916dr，直线 34120 xy与圆22(1)(1)9xy的位置关系是相交但不过圆心故选：B4.解：因为抛物线上的点 P 到准线的距离等于到焦点 F 的距离所以过焦点 F 作直线 43160 xy的垂线则 F 到直线的距离为12dd的最小值，如图所示：所以12min22|40 16|443dd 故选：D5.解：双曲线22221xyab，双曲线的渐近线方程是byxa 又抛物线22(0)ypx p的准线方程是2px ，故 A，B 两点的纵坐标分别

3、是2pbya，双曲线的离心率为 2，所以2ca，22222213bcaeaa 则3ba，A，B 两点的纵坐标分别是322pbpya ，又，AOB的面积为3，x 轴是角 AOB 的角平分线 13322pp，得2p 故选：C 6.解：不妨设 CA=CC1=2CB=2，所以110,0,1,0,2,0,2,0,0,0,2,1BCAB,则112,2,1,0,2,1ABC B，所以1111114 15cos,535AB C BAB C BABC B .所以直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为55.故选:A.7.解：由题意方程可得，5a，4b，223cab，即12|6F F 设11|PFt，22|

4、PFt，则根据椭圆的定义可得：1210tt，在12F PF 中，123F PF，根据余弦定理可得：222121 22cos63ttt t，联立得 12643tt，由正弦定理可得：121 21164316 3sin232323F PFSt t设12F PF 内切圆半径为 r，12F PF 的周长为10616L，面积为16 33S，2 3132SrL，故选：B 8.解：由题意可得，对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1)，斜率为12，故对称轴所在的直线方程为12(2)yx，即 230 xy再根据点(7,3)与点(,)

5、m n 重合，可得32177323022nmmn ，求得35315mn，345mn，故选：A 多选题9.解：向量(4,2,4),(6,3,2)ab，(10ab，5，2)，故 A 正确；(2ab，1，6)，故 B 错误；246822a b，故C 错误；|164166a，故 D 正确故选：BC 10.解：对 A：因为圆 M 与直线20 xy相切于点(0,2)A，故直线 AM 与直线20 xy垂直，故 M 落在直线20 xy上，故 A 正确；对 B、C、D：设圆心为(,2)a a，则2|2|2|1(2)2aRaa，1a或 5，2R或 5 2，满足条件的所有圆 C 的半径之积是 10，故 B、D 正确

6、，C 错误；故选：ABD 11.解：对于 A：因为椭圆 C 的长轴长与圆 E 的直径长相等，所以 24a，即2a，设椭圆的左焦点(,0)Fc，由椭圆的定义可知|24PFPFa，所以|(4|)|4|4|242 56PQPFPQPFPQPFQFEF ，所以22|2 5(3)(40)EFc ，解得1c 或 5，因为2ca，所以1c ，即椭圆的焦距为 22c，故 A 正确，对于 B：由2222213bac，所以椭圆的短轴长为 2 3，故 B 错误，对于22:|(13)(04)4 22CPQPFQFEFEQ，故 C 错误，对于 D：设过点 F 的切线方程为(1)yk x，则2|(31)4|21kk，解得

7、473k，故 D 正确，故选：AD 12.解：不妨设ABC的直角边长为 m，则斜边长为2m，如果圆锥曲线是椭圆，当椭圆以两个非直角顶点为焦点且经过直角顶点时，离心率22222cmeamm；当椭圆以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点时，离心率22122cmeamm.如果圆锥曲线是双曲线，则双曲线只能以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点，这时离心率22122cmeamm.故选：BCD.填空题13.614.115.4,2,4或4,2,416.213 如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x 轴交于点 F，作 MBl与点 B，NAl与点 A，由抛物

8、线的解析式可得准线方程为2x ，则2,4ANFF，在 直 角 梯 形 ANFF 中，中 位 线32ANFFBM，由 抛 物 线 的 定 义 有：3MFMB，结合题意，有3MNMF，故336FNFMNM14.解：直线:10l mxy 恒过(0,1)，圆224640 xyxy的圆心(2,3)，半径为 3，所以定点与圆心的距离为：22(02)(1 3)2 2，所以则|MN 的最小值为：222 3(2 2)2，此时直线 MN 与定点和圆心连线的直线垂直可得20131m 故答案为：115.1,1,2A，3,0,4B，2,1,2AB ，/c AB ，存在 ，使得=2,2RcAB，222=22=3=6c，解

9、得2 ，4,2,4c 或4,2,4故答案为：4,2,4或4,2,416.解：如图，1F AAB，A为1F B 的中点，且 O 为12F F 的中点，AO为12F F B 的中位线，又120F B F B ，12F BF B，则1OBFOc设1(B x，1)y，2(A x，2)y，点 B 在渐近线byxa上，2221111xycbyxa，得11xayb又A为1F B 的中点，2222caxby，A在渐近线byxa 上，22bb aca，得2ca，则双曲线的离心率2cea故答案为：2解答题17.解：（1）直角坐标系 xOy 中，已知 ABC的三个顶点(,)A m n，(2,1)B，(2,3)C，B

10、C的斜率为 311222 ，采用点斜式设直线方程为11(2)2yx ，240 xy（2）A点在中线 AD 上，把 A 点坐标代入 2360mn，点 A 到直线240 xy的距离为|24|5mnd，2 5BC，ABC的面积等于 11|24|2 57225mnBC d，求得34mn，或30mn ，所以，点 A 的坐标为(3,4)或(3,0)18.（1）证明：因为 AB 平面 PAC，/ABCD，所以 CD 平面 PAC，所以 CDAC，CDPC，因为1ACPC，2PA，所以222PAACPC，所以 PCAC，因为 CDACC，AC、CD 平面 ABCD，所以 PC 平面 ABCD，又因为 PC 平

11、面 PCD，所以平面 PCD 平面 ABCD；（2）解：由（1）知 CD、CA、CP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设2ABt，0t，则各点坐标如下：(D t，0，0)，(0A，1，0)，(0P，0，1)，(PDt，0，1)，(0PA，1，1)，(0CA，1，0)，设平面 PAD 的法向量为(nx，y，)z，00PD ntxzPA nyz ，令 zt，(1n，t，)t，直线 AC 与侧面 PAD 所成角的正弦值为2|33|12AC ntACnt，解之得1t ，所以 AB 的值为 219.解：（1）双曲线的标准方程为.2,1,122222bayx设存在过点 P 的弦 AB，使得 AB

12、的中点为 P，设 2211,yxByxA12,1222222121yxyx两式相减得2221212121abxxyyxxyy即2212abkAB得：.1,22kk存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1 xy（2）设CD 直线方程为0myx，则点)2,1(P在直线CD 上则3m，直线CD 的方程为03 yx，设 CDyxDyxC,4433的中点为 00,yxQ12,1224242323yxyx两式相减得2200abxykCD，则2100 xy，则002xy又因为 00,yxQ在直线CD 上有0300 yx解得 6,3Q220122yxyx解得 4,3,0,1BA 220322yxyx整理得011

13、62 xx，则1164343xxxx则1041432xxkCD由距离公式得102QDQCQBQA所以DCBA、四点共圆.20.解：（1）因为矩形 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD所在的平面垂直，平面 ABEF 平面ABCDAB，AFAB所以 AF 平面 ABCD，因为 AD 平面 ABCD，所以 AFAD，因为 ABAD，所以,AB AD AF 两两垂直，所以如图，建立空间直角坐标系，则0,0,0A，0,0,1F，1,0,0D，2,2,0C，11,1,2M，10,1,2DM，平面 ABEF 的一个法向量1,0,0m，0DM m DMm，/DM平面 ABEF.（2）1,0,1DF ，1,2

14、,0DC，平面CDF 的一个法向量1,nx y z，由1100n DFn DC 得020 xzxy，令2z，则2x，1y ，12,1,2n，平面 ADF 的一个法向量0,1,02 n，1121221cos,3n nn nn n ，二面角 ADFC为钝二面角，二面角 ADFC的余弦值为13.21.解：（1）设A x,y11，B x,y22，l：2xym由222xmyyx可得 ymy2240，则 y y 124又yx211=2，yx222=2，故y yx x21212=4=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为 yyxx1212-4=-14，所以OAOB故坐标原点O 在圆 M 上（2）由（1）可得

15、 yym12+=2，xxm yym 21212+=+4=24故圆心 M 的坐标为mm2+2，圆 M 的半径rmm2222由于圆 M 过点(4,2)P，因此0AP BP ，故 121244+2+2=0 xxyy即x xxxy yyy121212124+2200由（1）可得 y y12=-4，x x12=4 所以 2mm 210，解得 m 1或 m 12当1m 时，直线l 的方程为20 xy，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 10，圆 M 的方程为xy223110当12m 时，直线l 的方程为240 xy，圆心 M 的坐标为 91(,)42，圆 M 的半径为854，圆 M 的方程为2

16、29185()()4216xy22.解：（1）因为2 22 3CD，所以点 D 在圆内又因为圆 M 过点 D 且与圆 C 相切，所以2 3MCMD，所以2 3MCMDCD，即点 M 的轨迹是以 C，D 为焦点的椭圆，则 22 3a，即3a 又因为222ab，所以21b，故动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程为2213xy（2）当直线 AB 的斜率不存在时，可得直线 AB 的方程为32x ，此时32Ay，所以四边形 OAPB 的面积32S；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，由2213ykxmxy，整理得222316310kxkmxm因为直线 l 与轨迹 E 相交于 A，B

17、 两点，所以2222223612 31112 310k mkmkm设11,A x y，22,B xy，则122631kmxxk，21223131mx xk，所以121222231myyk xxmk设 AB 的中点为 Q，则 Q 的坐标为223,3311kmmkk，因为四边形 OAPB 为平行四边形，所以22622,31 31kmmOPOQkk，所以点 P 的坐标为2262,31 31kmmkk，又因为点在椭圆上，所以222262311331kmmkk，整理得22431mk 又因为2222212222 3311113131kmABkxxkkkk，原点到直线 AB 的距离为21mdk，所以平行四边形 OAPB 的面积2222 33132312AOBmkmSSAB dk，综上可知，平行四边形 OAPB 的面积为定值 32