天津市南开中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题.pdf

1、试卷第 1 页，共 4 页天津南开中学 2023 届第二次月考试卷一、单选题 1设集合1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4UAB=，则()UAB=（）A.3B.1,6C.5,6D.1,32已知 aR，则“6a”是“236a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（）A64 B65 C64.5 D66 4函数()3 sin 3291xxxf x+=图象大致为（）ABCD5三个数20.620.4,log 0.3,2abc=之间的大小关系是（）A acbB abcCbacDbca6已知曲线4yx

2、=在点()1,4 处的切线的倾斜角为 2，则1 sincos12 cos4+=+（）A22B2 2C 12D1资料第一时间更新，认准公众号：一枚试卷君试卷第 2 页，共 4 页7将函数()sin2f xx=的图象先向右平移 3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()2g 的值为（）A 12B32C12D328.已知nS 是等差数列na的前n 项和，公差0d，11a=，若125,a a a 成等比数列，则93+nnSa的最小值为A136B2C 101D 949设函数22,0()ln,0 xx xf xx x=（1）若方程()

3、f xa=有四个不同的实根1234,x x x x，则1234xxxx的取值范围是(0,1)（2）若方程()f xa=有四个不同的实根1234,x x x x，则1234xxxx+的取值范围是(0,)+（3）若方程()f xax=有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e（4）方程21()()()10fxaf xa+=的不同实根的个数只能是 1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 10已知复数2(1)1izi=+，则 z=_.11732xx展开式中的常数项是_(用数字作答)12已知各项都为正的等差数列na中，若23415aaa+=，1362,

4、4,16aaa+成等比数列，则10a _.试卷第 3 页，共 4 页13甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A，2A 和3A 表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则()P B=_14若正数,a b 满足 11ab+=1，则41611ab+的最小值为_15如图，在梯形 ABCD中，/AB CD 且22DCABBC=，E 为 BC 的中点，AC 与 DE 交于点O 若125CB CDOA OD=，

5、则BCD的余弦值为_ 三、解答题 16在ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且()()22cos2 cos 2CacACbb+=(1)求 B；(2)如图，若 D 为ABC 外一点，且712BCD=，ABAD，1AB=，3AD=，求sinBDC并求 BC17.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，/ABDC，2ADDCAP，1AB，点 E 为棱 PC 的中点.（）证明 BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求平面 FAB 与平面 ABP 的夹角余弦值.试卷第 4 页，共 4 页 18已

6、知等差数列 na为递增数列，nS 为数列 na的前 n 项和，561099,100a aS=(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足13nnnab=，求 nb的前n 项和nT：19记nS 是公差不为0 的等差数列 na的前n 项和，已知3453aaS+=，154a aS=，数列 nb满足()11322nnnbbn=+，且111ba=(1)求 na的通项公式，并证明数列12nnb+是等比数列；(2)若数列 nc满足111)4(11)nnnnncaa+=，求 nc的前n 项和的最大值最小值.(3)求证：对于任意正整数n，1211132nbbb+20已知函数()2()xf xxa e=（）若

7、3a=，求()fx 的单调区间和极值；（）若12xx、为()fx 的两个不同的极值点，且()()211222121212xxxxef xef xex xx x+，求a 的取值范围；（）对于任意实数1 1,2 2a，不等式()233332af aaab+恒成立，求b 的取值范围.答案第 1 页，共 4 页参考答案：1B 2B 3B 4B 5C 6C 7C 8.A 9.B10 1i 11 14 1219 13 922 1416 1531716(1)23B=(2)12BDC=，42 3BC=（1）由()()22cos2 cos 2CacACbb+=，得()()22cos 2cos12CacBb+=，

8、即()2coscosacBbC+=，由正弦定理，得()2sinsincossincosACBBC+=，整理，得 2sincossincossincosABCBBC=+，()2sincossinsinABBCA=+=，又()0,A，sin0A，1cos2B=，又()0,B，23B=；（2）连接 BD，因为 ADAB，1AB=，3AD=，所以2222132BDABAD，tan3ADABDAB=，所以3ABD=，所以3CBDABCABD=又712BCD=，所以12BDCBCDCBD=，在BCD中，由正弦定理可得 sinsinBDBCBCDBDC=，即27sinsin1212BC=，所以2sin2si

9、n341242 37sinsin1234BC=+17.证明：由 PA 底面 ABCD，ADAB，可以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，2ADDCAP=，1AB=，(0A，0，0)，(1B，0，0)，(0D，2，0)，(2C，2，0)，(0P，0，2)，点 E 为棱PC 的中点，则(1E，1，1).(0BE=，1，1)，(2DC=，0，0)BE 0DC=，BEDC；答案第 2 页，共 4 页(1BD=，2，0)，(1PB=，0，2)，设平面 PBD 的法向量(mx=，y，)z，由m BDm=0PB=得 2020 xyxz+=，令1y=，则(2m=，1，1)cosm，233|62m

10、BEBEmBE=直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为33.(1BC=，2，0)，(2CP=，2，2)，(2AC=，2，0)，由 F 点在棱 PC 上，设(2CFCP=，2，2)(01)，则(22F，22，2)，(1 2BF=，22，2)由 BFAC，得 BF 2(1 2)2(22)0AC=+=，解得34=即1(2BF=，12，3)2 设平面 FBA 的法向量为(nx=，y，)z，由 n ABn=0BF=，得 01130222xxyz=+=，令1z=，则(0n=，3，1)，取平面 ABP 的法向量(0i=，1，0)，cosn，33 101010 1i=所求夹角的余弦值为 3 1010.1

11、8(1)因为()11010101002aaS+=，所以11020aa+=，所以5620aa+=，又5699a a=，且 na为递增数列，则可解得569,11aa=，所以公差为 2，所以()95221nann=+=.答案第 3 页，共 4 页(2)因为112133nnnnanb=，所以01221135232133333nnnnnT=+，123113523213333331nnnnTn+=+，-11231111(1)2111121211213312122133333333313nnnnnnnnnnT=+=+=，1133nnnT+=；19.(1)设等差数列 na的公差为()0d d，由3451543

12、aaSa aS+=得：()()1111115 4233524 3442adadada adad+=+=+，解得：122ad=，()2212nann=+=.111 1ba=，则113122b+=，由()11322nnnbbn=+得：113122 22nnnnbb=+，1131122 2nnnnbb+=+，数列12nnb+是以 32 为首项，32 为公比的等比数列，3122nnnb+=，32nnnb=.（2）()()()()11212111(1)(1)21 212121nnnnncnnnn+=+，记 nc的前n 项和为nW，则111111111(1)1335572121nnWnn=+111(1)2

13、1nn=+，当n 为奇数时1121nWn=+随着n 的增大而减小，可得413nW，当n 为偶数时1121nWn=+随着n 的增大而增大，可得 415nW，所以nW 的最大值为 43，最小值为 45.答案第 4 页，共 4 页(3)1323nnn（当且仅当1n=时取等号），1211111331213nnbbb+=20.()()22()22xxxfxx exaeexxa=+=+解：()()()23,()2331xxafxexxexx=+=+当时()0,31fxxx=令得或x(),3 3()3,11()1,+()fx+00+()f x极大值极小值()()()3(),3,1,3,16()(3),()(1)2f xf xff xfee+=极大极小的单调递增区间为单调递减区间为；（2）|12aa()()()()()()()()()()()2232232232222221 13(3),332 22333231 133,22 232133331313111 1,102 2aaaaaaaaaaaeaababaaeaaag aaaeaa agaaeaaeaaeaaaaaaeaaa +=+=+=+=+不等式恒成立,即恒成立设都有令()0,0g aa=得a121,02010,212()ga+0()g a极大值()()max00g ag=，所以，b 的取值范围是()0,+