小学数学讲义秋季六年级A版第13讲抽屉原理进阶.pdf

1、1第 11 级下优秀 A 版教师版第 13 讲六年级暑期最值问题综合六年级秋季数字谜中的计数六年级秋季抽屉原理进阶六年级寒假组合模块选讲（一）六年级春季组合模块选讲（二）复杂的抽屉原理构造问题，重点是数论中抽屉原理的应用漫画释义知识站牌第十三讲抽屉原理进阶第 11 级下优秀 A 版教师版21.理解抽屉原理 1 和 2 的联系和区别2.掌握数论中抽屉的构造技巧1.某班 32 名同学是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？【分析】5 月有 31 天，学生人数天数，把 31 天看作 31 个抽屉，将 32 名同学看作 32 个苹果这样，把 32 个苹果放进 31 个抽屉里，至少有一

2、个抽屉里放至少两个苹果因此至少有 2 名同学是同一天出生2.班上有 50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【分析】根据抽屉原理，至少要拿50151 本书3.教室里有 5 名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这 5名学生中，至少有两个人在做同一科作业【分析】将 5 名学生看作 5 个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共 4 个抽屉 由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有 2 个苹果即至少有两名学生在做同一科的作业4.一个口袋中装有 500 粒珠子，共有 5 种颜色，每种颜色各 100

3、粒如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有 5 粒颜色相同？【分析】至少要取(51)5121（粒）5.有红、黄、白三种颜色的小球各10 个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5 个小球是同色的【分析】根据最不利原则，至少需要摸出 43113 （个）“任意367个人中，必有生日相同的人”“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套”“从数1，2，.，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同”.大家都会认为上面所述结论是正确的这些结论是依据什么原理得出的呢？这就是我们今天要学习的抽屉原理知识点回顾课堂引入教学目标3第 11 级下优秀 A 版教师版第 13 讲抽屉

4、原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式：抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件；抽屉原理 2：将多于 mn 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于1m 件应用抽屉原理解题的步骤：第一步：分析题意分清什么是“苹果

5、”，什么是“抽屉”，也就是什么作“苹果”，什么可作“抽屉”第二步：制造抽屉这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路第三步：运用抽屉原理观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类，叫做 m 的剩余类或同余类，用0，1，2，1m 表示.每一个类含有无穷多个数，例如1中含有 1，1m ，21m，31m ，.在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意1n 个自然数中，总

6、有两个自然数的差是 n 的倍数模块一：抽屉原理的基本应用例 1：最不利原则例 2：抽屉原理的基本应用模块二：抽屉原理在数论中的应用例 3：数论中和或差是固定值的构造例 4：数论中剩余类的构造例 5：数论中剩余类的构造试说明 400 人中至少有两个人的生日相同.【分析】将一年中的 366 天或365 天视为 366 个或 365个抽屉，400 个人看作 400 个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35 个或 34 个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同.例 1例题思路经典精讲第 11 级下优秀 A 版教师版4【想想练练】五

7、年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多【分析】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有 1 个朋友因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3，19把这 20 名同学看作 20 个“苹果”，又把同学的朋友数目看作 19 个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有 2 名同学，他们的朋友人数一样多（A 版（1）（2）一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：至少有 5 张牌的花色相同；四种花色的牌都有；至少有 3 张牌是红桃至少从中

8、取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花和 3 张红桃（学案对应：学案 1）【分析】一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌，共 54 张为了“保证”5 张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌，再把四种花色看作 4 个抽屉，要想有 5 张牌属于同一个抽屉，只需再摸出44117(张)，也就是共摸出 19 张牌即至少摸出 19 张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相同因为每种花色有 13 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计133241(张)，这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了即至少摸出 42

9、张牌才能保证四种花色的牌都有最“坏”的情形是先摸出了 2 张王牌和黑桃、梅花、方块三种花色所有牌共计133241张，只剩红桃牌这时只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了，即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有 3 张红桃牌因为每种花色有 13 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出 2 张王牌、方块和黑桃两种花色的所有牌共计：132228(张)，然后是摸出所有的梅花和 3 张红桃(想想若摸出所有的红桃和 2 张梅花，是最坏的情况么？)，共计：2813344张从 1，4，7，10，37，40 这 14 个数中任取 8 个数，试证：其中至少有 2 个数的和是 41.（学案对应：学案 2）【分

10、析】构造和为 41的抽屉：(1,40)，(4,37)，(7,34)，(10,31)，(13,28)，(16,25)，(19,22)，现在取8 个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有 2 个数的和是 41.【想想练练】请证明：在 1，4，7，10，100 中任选 20 个数，其中至少有不同的两组数其和都等于 104【分析】1，4，7，10，100 共有 34 个数，将其分为(4，100)，(7，97)，(49，55)，(1)，(52)，共有 18 个抽屉从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数，则至少有 18 个数取自前 16个抽屉，所以至少有 4 个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉

11、”的两个数，其和是 104例 2例 35第 11 级下优秀 A 版教师版第 13 讲证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数（学案对应：学案 3）【分析】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那么它们的差 ab是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，它们除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的

12、差一定是 7 的倍数（小学数学奥林匹克决赛）从 1，2，3，4，1988，1989 这些自然数中，最多可以取_个数，其中每两个数的差不等于 4（学案对应：学案 4）【分析】将 11989 排成四个数列：1，5，9，1985，19891958年6月7号的美国数学月刊上有这样一道题目：“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识”这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用6个点 A、B、C、D、E、F 分别代表参加集会的任意6个人如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线考虑 A 点与其余各点间的5条连线 AB，AC，.，A

13、F，它们的颜色不超过2种根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设 AB，AC，AD 同为红色如果 BC，BD，CD 3条连线中有一条（不妨设为 BC）也为红色，那么三角形 ABC 即一个红色三角形，A、B、C 代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 三条连线全为蓝色，那么三角形 BCD 即一个蓝色三角形，B、C、D 代表的3个人以前彼此不相识不论哪种情形发生，都符合问题的结论例 4例 5第 11 级下优秀 A 版教师版62，6，10，19863，7，11，19874，8，12，1988每个数列相邻两项的差是 4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 4，每个数列中不能取相邻的项

14、因此，第一个数列只能取出一半，因为有(1989 1)41498 项，所以最多取出 249 项，例如 1，9，17，1985同样，后三个数列每个最多可取 249 项因而最多取出 2494996个数，其中每两个的差不等于 4【想想练练】(南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛)从 1 至 36 个数中，最多可以取出_个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数【分析】构造公差为5 的数列，如图，有五条链，看成5 个抽屉，每条链上取 1 个数，最多取 5 个数161116212631362712172227323813182328334914192429345101520253035答案：4 只袜子据说

15、世界上没有两个人的手指纹是一样的，因此警方在处理犯罪问题时很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人可是你知道不知道：在 12 亿中国人当中，最少有两个人的头发是一样的多？道理是很简单，人的头发数目是不会超过 12 亿这么大的数目字！假定人最多有 N 根头发现在我们想像有编上号码 1，2，3，4，一直到 N 的房子谁有多少头发，谁就进入编号和他的头发数相同的房子去因此张乐平先生的“三毛”应该进入“3 号房子”现在假定每间房巳进入一个人，那么还剩下“12 亿减 N”个人，这数目不会等于零，我们现在随便挑一个放进一间和他头发数相同的房子，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的同志了下面来解决下面一

16、个实际问题有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜就乱丢，在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双这最少数目应该是多少？7第 11 级下优秀 A 版教师版第 13 讲（2006 年华罗庚金杯数学邀请赛）自制的一副玩具牌共计52 张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅每种牌都有1点，2 点，13点牌各一张）洗好后背面向上放好，一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有 2 张牌的点数和颜色都相同如果要求一次抽出的牌中必定有3 张牌的点数是相邻的（不计

17、颜色），那么至少要取张牌【分析】由于点数有13 种情况，颜色有黑、红两种情况，根据最不利的原则，我们可以取黑、红颜色的1,2,3,12,13点各一张，共计13 226张，那么再取一张必然会出现颜色相同，因此至少取 26127 张牌，才能保证其中必定有2 张牌的点数和颜色都相同可以构造点数相邻的抽屉如下(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),(10,11,12),(13)，根 据 最 不 利 原 则，可 以 取 点 数 分 别 为1,2,4,5,7,8,10,11,13各四张，共计 9436张，如果再取一张必然必定有 3张牌的点数是相邻的（不计颜色）.1.某次数学、英语测试，所有参加测试

18、者的得分都是自然数，最高得分 198，最低得分169，没有得 193 分、185 分和 177 分，并且至少保证有 6 人得同一分数，参加测试的至少人【分析】1981691327 种得分，2751136 人2.一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正确，得 3 分；回答完全错误或不回答，得 0 分至少_人参加这次测验，才能保证至少有 3 人得得分相同【分析】根据评分标准可知，最高得分为 50 分，最低得分为 0 分，在 050 分之间，1 分，2 分，4分，7 分，47 分，49 分不可能出现共有 51645（种）不同得分根据抽屉原理，至少有 45

19、 2191（人）参赛，才能保证至少有 3 人得分相同3.证明：任给 12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数【分析】两位数除以 11 的余数有 11 种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余数情况把所有两位数分成 11 种12 个不同的两位数放入 11 个抽屉，必定有至少 2 个数在同一个抽屉里，这 2 个数除以 11 的余数相同，两者的差一定能整除 11两个不同的两位数，差能被 11 整除，这个差也一定是两位数（如 11，22），并且个位与十位相同所以，任给 12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字

20、相同的两位数杯赛提高思考题第 11 级下优秀 A 版教师版84.（第八届小数报数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为 10 类：个位数字是 1 的为第 1 类，个位数字是 2 的为第 2 类，个位数字是 9 的为第 9 类，个位数字是 0 的为第 10 类任意取出 6 个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是 10 的倍数吗？任意取出 7 个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是 10 的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例【分析】（1）不一定有例如 1、2、3、4、5、10 这 6 个数中，任意两个数的和都不是 10 的倍数（2）一定有将第 1

21、类与第 9 类合并，第 2 类与第 8 类合并，第 3 类与第 7 类合并，第 4类与第 6 类合并，制造出 4 个抽屉；把第 5 类、第 10 类分别看作 1 个抽屉，共 6 个抽屉任意 7 个互不同类的自然数，放到这 6 个抽屉中，至少有 1 个抽屉里放 2 个数因为 7 个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数当两个互不同类的数放到前 4 个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是 10 的倍数5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？【分析】任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2 三种情形之一现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两

22、个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论第一种情形：有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除第二种情形：至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2因此这三个数之和能被 3 整除综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数6.求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a，b，c，d，e，f，使得()()()ab cd ef是 105 的倍数【分析】1053 5 7

23、对于任意的 8 个自然数，必可选出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4 个数中，又可选出2 个数，使它们的差是 3 的倍数抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件；抽屉原理 2：将多于 mn 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于1m 件任意1n 个自然数中，总有两个自然数的差是 n 的倍数1.有一个布袋中有 40个相同的小球，其中编上号码 1、2、3、4 的各有10 个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有 3 个小

24、球的号码相同？【分析】将 1、2、3、4 四种号码看作 4 个抽屉，要保证一个抽屉中至少有 3 个苹果，最“坏”的情家庭作业知识点总结9第 11 级下优秀 A 版教师版第 13 讲况是每个抽屉里有 2 个“苹果”，共有：428(个)，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出 9 个小球，才能保证其中至少有 3 个小球的号码相同2.一副扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数？【分析】如果不算大、小王，每个花色 13张牌，只需 14张便一定有两张相同点数的牌，加上大、小王，则需要 16 张牌3.从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中

25、一定有两个数之和是 34【分析】我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，(16,18),凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 344.从1，2，3，100这100个数中任意挑出 51个数来，证明在这 51个数中，一定有两个数的差为 50【分析】将100 个数分成 50 组：1,51，2,52，3,53，50,100，将其看作50 个抽屉，在选出的51 个数中，必有两个属于一组，这一组的差

26、为50 这道题也同样可以从小数入手考虑5.从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的 2 倍？【分析】这 12 个数分成 6 个组：第 1 组：1，2，4，8第 2 组：3，6，12第 3 组：5，10第 4 组：7第 5 组：9第 6 组：11每组中相邻两数都是 2 倍关系，不同组中没有 2 倍关系选没有 2 倍关系的数，第 1 组最多 2 个（1，4 或 2，8 或1，8），第 2 组最多 2 个（3，12），第 3 组只有 1 个，第 4，5，6 组都可以取，一共 221 1 1 18 个如果任意取 9 个数，

27、因为第 3，4，5，6 组一共 5 个数中，最多能取 4 个数，剩下945个数在 2 个组中，根据抽屉原理，至少有 3 个数是同一组的，必有 2 个数是同组相邻的数，是 2 倍关系6.证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是 5 的倍数【分析】把自然数按照除以 5 的余数分成 5 个剩余类，即 5 个抽屉.任取 6 个自然数，根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以 5 的余数相同，因此它们的差是 5 的倍数【学案1】有红、黄、白三种颜色的小球各10 个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有 5 个小球是同色的？【分析】根据最不利原则，至少需要摸出 43113 （个

28、）A版学案第 11 级下优秀 A 版教师版1【学案2】从 1、2、3、4、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12【分析】在这 20 个自然数中，差是 12 的有以下 8 对：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1另外还有 4 个不能配对的数9，10，11，12，共制成 12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 12，根据抽屉原理至少任选 13 个数，即可办到（取 12 个数：从 12 个抽屉中各取一个数（例如取 1，2，3，12），那么这 12 个数中任

29、意两个数的差必不等于 12）【学案3】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3 整除？【分析】因为任何整数除以 3，其余数只可能是0，1，2 三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”一个整数除以3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）这两个数的差必能被 3整除【学案4】从 1，2，3，4，1994 这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于 9【分析】方法一：把 1994 个数一

30、次每 18 个分成一组，最后 14 个数也成一组，共分成 111 组即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；1963，1964，1979，1980；1981，1982，1994每一组中取前 9 个数，共取出9 111999（个）数，这些数中任两个的差都不等于 9因此，最多可以取 999 个数方法二：构造公差为9 的9 个数列（除以 9 的余数）1,10,19,28,1990，共计 222 个数2,11,20,29,1991，共计222 个数3,12,21,30,1992，共计222 个数4,13,22,31,1993，共计222 个数5,14,23,32,1994，共计 222 个数6,15,24,33,1986，共计 221个数7,16,25,34,1987，共计 221个数8,17,26,35,1988，共计 221个数9,18,27,36,1989，共计 221个数每个数列相邻两项的差是 9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 9，每个数列中不能取相邻的项因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111 9999 个数