2022届高考数学二轮专题复习24 利用导数证明不等式.docx

1、利用导数证明不等式1隐零点问题1已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）当时，证明： (其中e为自然对数的底数)【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，当，即时，在递增当时，在上递增当，即时，在上，递增综上所述，当时，的递增区间为；当时，的递增区间为；当时，的递增区间为（2）当时，由化简得，构造函数，在上递增，故存在，使得，即当时，递减；当时，递增，所以时，取得极小值，也即是最小值，所以，故2已知函数（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）当时，求证：【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，是的极值点，即，在上

2、单调递增，在上单调递增，在上单调递增，且，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由可得，所以，令，则，在上单调递增，且，使得，有，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，由得，即有，又在区间上单调递增，结论得证3已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个不大于的极值点，证明：【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）定义域为R，由，得，当时，此时在上单调递增；在上单调递减当时，令，即，因为，所以，令，则或，即在和上单调递增令，则，即在上单调递减当时，令，即因为，所以，令，则或，即在和上单调递增令，则，即在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减当时，在和上单调递增，

3、在上单调递减当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）因为函数有两个不大于的极值点，由（1）知，因为且，所以，所以要证明，只要证明，即要证明，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，因为，所以在上有唯一零点，设为，且当时，单调递减，当时，单调递增，所以因为，即，即，所以，所以，所以原不等式成立2极值点偏移问题1（多选）已知函数有两个极值点，则（）Aa的取值范围为BCD【答案】BCD【解析】由题设，且定义域为，则，当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，当时，所以至多有一个零点；当时，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无

4、穷时趋于负无穷大，综上，在内各有一个零点，且，B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，令，又，所以单调递减，故当时，又，所以，而，因此，故正确；C：，令，显然有，令，显然，因此有，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以单调递增，因为，所以，而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，正确；D：由，则，故，正确，故选BCD2已知函数（1）证明：在R上为增函数；（2）若，证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，令，则，令，则，故在区间上，为减函数；在区间上，为增函数，故，故在R上为增函数（2）由（1）知为增函数，且，故由，可得，

5、则欲证，只需证，即证，即证令，则，令，则，故为增函数，故为增函数，故，则，原式得证3已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有两个不相等的零点，求证：【答案】（1）当时，单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】（1），当时，恒成立，单调递增；当时，由，得，单调递增，由，得，单调递减综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）在上有两个不相等的零点，不妨设，在上有两个不相等的实根，令，由，得，单调递减；由，得，单调递增，要证，即证，又，只要证，即证，即证，即证，即证，即证，令，令，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，在上递增，4已知（1）若

6、函数在上有极值，求实数a的取值范围；（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），定义域为，令，解得；令，解得，所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值要使函数在上有极值，只需，解得，即实数a的取值范围为（2）记函数，则函数有两个不等实根因为，两式相减得，两式相加得，因为，所以要证，只需证明，只需证明，只需证明，证设，只需证明记，则，所以在上单增，所以，所以，即，所以即证3双变量问题1若函数存在两个极值点和，则取值范围为_【答案】【解析】令，则，由且，解得，令，在区间上递减，所以取值范围是，故答案为2已知函数（1）若，求函数的单调

7、区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】（1）解：当时，所以，令，解得或；令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减（2）解：，因为存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，所以，则，所以，所以，令，则，在上单调递减，而，即，3已知函数，在处的切线与直线平行（1）求实数的值，并判断函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求证：【答案】（1），函数在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析【解析】（1）解：函数的定义域，因为，所以解得，令，解得，故在上单调递减，令，解得，故在上单调递增（2）解：由，为函数的两个零点，得

8、，两式相减，得，即，因此，令，由，得，则，构造函数，则，所以在上单调递增，故，又，所以，所以，故，命题得证4其它1已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求证：【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，没有极大值；（2）证明见解析【解析】（1）易知函数定义域为R，令，解得，在上单调递增，解得，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的极小值为，没有极大值（2）解法一：要证，即证，设，要证原不等式成立即证成立，(当且仅当，时等号成立)，由（1）知(等号成立)，在单调递增，当时，得证解法二：要证，即证，设，要证原不等式成立即证成立，设，则，令，则，又，即在单调递增，即在单调递增，即在单调递增，当时，得证2已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意正整数n，【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，令，得或，当，即时，若，则，递增；若，则，递减；当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减，综上所述，当时，在，单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（2）知当时，在上递减，即，2，3，